Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 02

Współczynnik kierunkowy w równaniu y = ax + b

PPrezentacja dla nauczyciela

Odczytasz współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z równania kierunkowego prostej. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Równanie kierunkowe pozwala szybko odczytać nachylenie i punkt przecięcia wykresu z osią Oy.

xyy = 2x + 1y = 2x − 2y = −½x
Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.
1. W równaniu $y=ax+b$ liczba $b$ to
1. W równaniu $y=ax+b$ liczba $b$ to
2. Zmiana wyrazu wolnego $b$ przy niezmienionym $a$
2. Zmiana wyrazu wolnego $b$ przy niezmienionym $a$
3. Prosta $y=-2x+5$ przecina oś $Oy$ w punkcie
3. Prosta $y=-2x+5$ przecina oś $Oy$ w punkcie

Jak to rozpoznać?

W równaniu y=ax+b liczba a jest współczynnikiem kierunkowym, a b współrzędną y punktu przecięcia z osią Oy. Jeśli a=0, prosta jest pozioma. Zmiana b przesuwa prostą w pionie, ale nie zmienia jej nachylenia.

Wzory i zasady do zapamiętania

y = ax + b: współczynnik kierunkowy a, wyraz wolny b. Punkt przecięcia z osią Oy: (0, b).

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Prosta y = ax + b przechodzi przez punkty (0, 3) i (2, −1). Wyznacz a i b.

  1. Punkt (0, 3) leży na osi Oy, więc b = 3.
  2. Podstawiamy (2, −1): −1 = a · 2 + 3.
  3. 2a = −4, więc a = −2.
  4. Sprawdzenie: y = −2x + 3, dla x = 2 mamy y = −1.

Odpowiedź: a = −2, b = 3.

4. W równaniu $y=\frac{3}{4}x-2$ współczynnik kierunkowy wynosi
4. W równaniu $y=\frac{3}{4}x-2$ współczynnik kierunkowy wynosi
5. Prosta $y=3$, czyli $y=0\cdot x+3$, jest
5. Prosta $y=3$, czyli $y=0\cdot x+3$, jest
6. Prosta $y=ax+2$ przechodzi przez punkt $(3,8)$. Współczynnik $a$ jest równy
6. Prosta $y=ax+2$ przechodzi przez punkt $(3,8)$. Współczynnik $a$ jest równy

Rozwiąż samodzielnie

  1. Dla prostej y = −3x + 5 podaj współczynnik kierunkowy i punkt przecięcia z osią Oy.

    Pokaż rozwiązanie
    Współczynnik kierunkowy a = −3, a wyraz wolny b = 5. Prosta przecina oś Oy w punkcie (0, 5).

  2. Zapisz równanie prostej o współczynniku kierunkowym 0, która przechodzi przez punkt (0, −4).

    Pokaż rozwiązanie
    Prosta pozioma ma postać y=b. Ponieważ przechodzi przez (0,−4), jej równanie to y=−4.
7. W równaniu $y=-3x+5$ wyraz wolny wynosi
7. W równaniu $y=-3x+5$ wyraz wolny wynosi
8. Równanie prostej poziomej przechodzącej przez $(0,-4)$ to
8. Równanie prostej poziomej przechodzącej przez $(0,-4)$ to
9. Prosta $y=4x+b$ przechodzi przez $(1,-1)$. Wtedy $b$ wynosi
9. Prosta $y=4x+b$ przechodzi przez $(1,-1)$. Wtedy $b$ wynosi

Zadania dodatkowe

  1. Odczytaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny prostej y = −⅔x + 4. Podaj punkt przecięcia z osią Oy.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. W postaci y = ax + b współczynnik kierunkowy to a = −⅔, a wyraz wolny b = 4.

    Krok 2. Oś Oy to prosta x = 0, więc y = −⅔·0 + 4 = 4.

    Odpowiedź: a = −⅔, b = 4, punkt przecięcia (0, 4).

  2. Prosta y = ax + 3 przechodzi przez punkt (2, 7). Oblicz a.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Podstawiamy x = 2 i y = 7: 7 = a·2 + 3.

    Krok 2. 2a = 4, więc a = 2.

    Krok 3. Sprawdzenie: y = 2x + 3, dla x = 2 otrzymujemy y = 7.

    Odpowiedź: a = 2.

10. Prosta $y=-\frac{2}{3}x+4$ przecina oś $Oy$ w punkcie
10. Prosta $y=-\frac{2}{3}x+4$ przecina oś $Oy$ w punkcie
11. Współczynnik kierunkowy prostej $y=5$ wynosi
11. Współczynnik kierunkowy prostej $y=5$ wynosi
12. Prosta $y=2x+b$ przechodzi przez $(1,1)$. Wtedy $b$ wynosi
12. Prosta $y=2x+b$ przechodzi przez $(1,1)$. Wtedy $b$ wynosi

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Odczytasz współczynnik kierunkowy i wyraz wolny z równania kierunkowego prostej. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. W równaniu $y=-\frac{1}{2}x+6$ wyraz wolny to
13. W równaniu $y=-\frac{1}{2}x+6$ wyraz wolny to
14. Proste $y=3x+1$ i $y=3x-8$ mają
14. Proste $y=3x+1$ i $y=3x-8$ mają
15. Prosta $y=7$ przecina oś $Oy$ w punkcie
15. Prosta $y=7$ przecina oś $Oy$ w punkcie

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna · Prywatność i dane