GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 11

Zastosowania w czworokątach na układzie współrzędnych

PPrezentacja dla nauczyciela

Użyjesz równań prostych do sprawdzania boków równoległych i prostopadłych w figurze. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Współrzędne wierzchołków pozwalają badać własności figur bez polegania na wyglądzie rysunku. Oblicz nachylenia boków lub zapisz równania prostych zawierających te boki.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

1. Sprawdzając na podstawie współrzędnych, czy czworokąt jest równoległobokiem, porównujesz

współczynniki kierunkowe obu par boków przeciwległych długości przekątnych współczynniki kierunkowe boków sąsiednich odległości wierzchołków od początku układu

2. Aby wykazać, że czworokąt jest prostokątem, trzeba sprawdzić, że

wszystkie boki mają równe długości dwie pary boków równoległych i kąty proste przekątne są prostopadłe przeciwległe boki są równoległe

3. Bok czworokąta jest pionowy. Jego nachylenie

wynosi $0$ wynosi $1$ nie jest liczbą jest równe stosunkowi współrzędnych $x$

Jak to rozpoznać?

W równoległoboku przeciwległe boki są równoległe; w prostokącie sąsiednie boki są prostopadłe. Aby potwierdzić własność na płaszczyźnie, oblicz współczynniki kierunkowe dla odcinków albo porównaj wektory kierunkowe. Dla boków pionowych użyj ich stałej współrzędnej x.

Wzory i zasady do zapamiętania

Boki równoległe: równe współczynniki kierunkowe. Boki prostopadłe: iloczyn współczynników −1 lub pionowa ⟂ pozioma.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Sprawdź, czy czworokąt A = (−1, −1), B = (2, 1), C = (4, 5), D = (1, 3) jest równoległobokiem.

a_AB = (1 − (−1))/(2 − (−1)) = 2/3.
a_DC = (5 − 3)/(4 − 1) = 2/3, więc AB ∥ DC.
a_BC = (5 − 1)/(4 − 2) = 2; a_AD = (3 − (−1))/(1 − (−1)) = 2, więc BC ∥ AD.
Obie pary przeciwległych boków są równoległe.

Odpowiedź: Tak, to równoległobok.

4. Boki o współczynnikach kierunkowych $0$ i nieokreślonym są

równoległe pokrywające się prostopadłe przecinające się pod kątem $45°$

5. W prostokącie sąsiednie boki są

równoległe zawsze tej samej długości zawsze nachylone pod kątem $45°$ prostopadłe

6. Jeśli przeciwległe boki czworokąta mają odpowiednio równe współczynniki kierunkowe, to są

równoległe prostopadłe równej długości na pewno przekątnymi

Rozwiąż samodzielnie

Wierzchołki A=(0,0), B=(4,0), C=(4,3), D=(0,3). Uzasadnij, że przeciwległe boki są równoległe, a sąsiednie prostopadłe.
Pokaż rozwiązanie
AB i CD są poziome (y=0 oraz y=3), więc są równoległe. BC i DA są pionowe (x=4 oraz x=0), więc są równoległe. Każda prosta pozioma jest prostopadła do pionowej, więc sąsiednie boki są prostopadłe.
Punkty A=(−1,1), B=(2,3), C=(1, 9/2) są kolejnymi wierzchołkami trójkąta. Sprawdź, czy AB jest prostopadły do BC.
Pokaż rozwiązanie
a_AB=(3−1)/(2−(−1))=2/3. a_BC=(9/2−3)/(1−2)=(3/2)/(−1)=−3/2. Iloczyn wynosi −1, więc AB ⟂ BC.

7. Czworokąt $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,3)$, $D=(0,3)$. Boki $AB$ i $BC$ są

prostopadłe, bo pierwszy jest poziomy, a drugi pionowy równoległe, bo oba mają dodatnie nachylenie prostopadłe, bo oba nachylenia są równe ukośne i ich nachylenia są przeciwne

8. Punkty $A=(-1,1)$, $B=(2,3)$, $C=(1,\frac92)$. Iloczyn nachyleń boków $AB$ i $BC$ wynosi

$1$ $-1$ $-\frac23$ $\frac32$

9. Czworokąt $A=(1,1)$, $B=(5,1)$, $C=(5,4)$, $D=(1,4)$ jest

równoległobokiem, ale nie prostokątem rombem, który nie jest prostokątem prostokątem trapezem, który nie jest równoległobokiem

Zadania dodatkowe

Dane są wierzchołki A = (1, 1), B = (4, 1), C = (4, 5), D = (1, 5). Uzasadnij, że ABCD jest prostokątem.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. AB i CD są poziome (y = 1 oraz y = 5), więc AB ∥ CD.
Krok 2. BC i AD są pionowe (x = 4 oraz x = 1), więc BC ∥ AD.
Krok 3. Bok poziomy i pionowy są prostopadłe, więc każdy kąt czworokąta jest prosty.
Odpowiedź: dwie pary boków równoległych i kąty proste — to prostokąt.
Sprawdź, czy czworokąt o wierzchołkach A = (−2, 1), B = (2, 3), C = (4, 7), D = (0, 5) jest równoległobokiem.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. a_AB = (3 − 1)/(2 − (−2)) = 2/4 = 0,5.
Krok 2. a_DC = (7 − 5)/(4 − 0) = 2/4 = 0,5, więc AB ∥ DC.
Krok 3. a_BC = (7 − 3)/(4 − 2) = 2 oraz a_AD = (5 − 1)/(0 − (−2)) = 2, więc BC ∥ AD.
Odpowiedź: obie pary przeciwległych boków są równoległe — czworokąt jest równoległobokiem.

10. Czworokąt $A=(-2,1)$, $B=(2,3)$, $C=(4,7)$, $D=(0,5)$ jest równoległobokiem, ponieważ

przekątne są równej długości $a_{AB}=a_{DC}=0{,}5$ oraz $a_{BC}=a_{AD}=2$ wszystkie boki mają różne długości $a_{AB}\cdot a_{BC}=-1$

11. W czworokącie $A=(1,1)$, $B=(4,1)$, $C=(4,5)$, $D=(1,5)$ przekątna $AC$ ma nachylenie

$0$ $\frac45$ $\frac43$ $\frac34$

12. Boki czworokąta mają kolejno nachylenia $2$, $2$, $-\frac12$, $-\frac12$. Czworokąt jest

tylko równoległobokiem, bez kątów prostych trapezem równoramiennym kwadratem o bokach nachylonych pod kątem $45°$ prostokątem

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Użyjesz równań prostych do sprawdzania boków równoległych i prostopadłych w figurze. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Uczeń sprawdza prostokąt, licząc tylko nachylenia boków przeciwległych, i mówi: „obie pary są równe, więc to prostokąt”. Brakuje sprawdzenia,

czy sąsiednie boki są prostopadłe czy przekątne są równej długości czy boki są równej długości czy wierzchołki leżą w pierwszej ćwiartce

14. Odcinki o nachyleniach $-\frac23$ i $\frac32$ są

równoległe prostopadłe pokrywające się o jednakowej długości

15. Czworokąt ma boki o nachyleniach $3$, $-\frac13$, $3$, $-\frac13$ w kolejności. Można stwierdzić, że

jest rombem jest trapezem, ale nie równoległobokiem nie można nic powiedzieć bez długości boków ma dwie pary boków prostopadłych, więc jest prostokątem