Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26

Pomiń nawigację

← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit

Matematyka · liceum · poziom podstawowy

Równoległość i prostopadłość prostych — matematyka liceum, poziom podstawowy › Moduł 10 z 13

W materiale Wprowadzenie Jak to rozpoznać? Rozwiąż samodzielnie Zadania dodatkowe Quiz kontrolny

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 10

Punkt przecięcia i wzajemne położenie prostych

PPrezentacja dla nauczyciela

Rozpoznasz proste równoległe, pokrywające się i przecinające się, korzystając z ich równań. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Dwie proste o różnych współczynnikach kierunkowych przecinają się w jednym punkcie. Przy równych współczynnikach sprawdź jeszcze wyrazy wolne.

Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.

Quiz na żywo — 3 pytania

1. Rozwiązaniem układu dwóch równań prostych jest para $(x,y)$. Geometrycznie oznacza ona

1. Rozwiązaniem układu dwóch równań prostych jest para $(x,y)$. Geometrycznie oznacza ona

punkt wspólny obu prostych miejsce zerowe pierwszej prostej punkt przecięcia obu prostych z osią $OY$ odległość między prostymi

2. Kiedy trzeba porównać nie tylko współczynniki kierunkowe, ale i wyrazy wolne?

2. Kiedy trzeba porównać nie tylko współczynniki kierunkowe, ale i wyrazy wolne?

gdy nachylenia są różne gdy nachylenia są jednakowe gdy proste są prostopadłe gdy obie proste przechodzą przez początek układu

3. Dwie pokrywające się proste mają

3. Dwie pokrywające się proste mają

dokładnie jeden punkt wspólny brak punktów wspólnych nieskończenie wiele punktów wspólnych dokładnie dwa punkty wspólne

Jak to rozpoznać?

Dla y=a₁x+b₁ i y=a₂x+b₂: gdy a₁≠a₂, proste przecinają się; gdy a₁=a₂ i b₁≠b₂, są różne i równoległe; gdy a₁=a₂ i b₁=b₂, pokrywają się. Punkt przecięcia obliczysz, rozwiązując układ równań.

Wzory i zasady do zapamiętania

Przecięcie: a₁≠a₂. Równoległe różne: a₁=a₂, b₁≠b₂. Pokrywające się: a₁=a₂, b₁=b₂.

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Znajdź punkt przecięcia prostych y = x − 1 i y = −2x + 5.

Przyrównujemy: x − 1 = −2x + 5.
3x = 6, więc x = 2.
y = 2 − 1 = 1.
Sprawdzenie: y = −2 · 2 + 5 = 1.

Odpowiedź: (2, 1).

Quiz na żywo — 3 pytania

4. Proste $y=-2x+3$ i $y=-2x-4$ są

4. Proste $y=-2x+3$ i $y=-2x-4$ są

prostopadłe pokrywające się przecinające się równoległe i różne

5. Proste $y=3x+1$ i $2y=6x+2$

5. Proste $y=3x+1$ i $2y=6x+2$

pokrywają się są równoległe różne są prostopadłe mają dokładnie jeden punkt wspólny

6. Jeśli proste niepionowe mają różne współczynniki kierunkowe, to

6. Jeśli proste niepionowe mają różne współczynniki kierunkowe, to

są równoległe przecinają się raz pokrywają się są obie poziome

Rozwiąż samodzielnie

Znajdź punkt przecięcia prostych y=2x−1 oraz y=−x+5.
Pokaż rozwiązanie
2x−1=−x+5, więc 3x=6 i x=2. Wtedy y=2·2−1=3. Punkt przecięcia to (2,3).
Określ wzajemne położenie prostych 3x−2y+4=0 oraz 6x−4y−8=0.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza: y=3/2 x+2. Druga: y=3/2 x−2. Współczynniki kierunkowe są równe, wyrazy wolne różne, więc proste są równoległe i różne.

Quiz na żywo — 3 pytania

7. Punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ i $y=-x+5$ to

7. Punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ i $y=-x+5$ to

$(2,3)$ $(3,2)$ $(2,-3)$ $(-2,3)$

8. Proste $3x-2y+4=0$ i $6x-4y-8=0$ są

8. Proste $3x-2y+4=0$ i $6x-4y-8=0$ są

prostopadłe równoległe i różne pokrywające się przecinające się w punkcie $(0,2)$

9. Proste $2x+y-5=0$ i $y=5-2x$

9. Proste $2x+y-5=0$ i $y=5-2x$

przecinają się raz są równoległe i różne pokrywają się są prostopadłe

Zadania dodatkowe

Znajdź punkt przecięcia prostych y = 3x − 4 i y = −x + 8.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Przyrównujemy prawe strony: 3x − 4 = −x + 8.
Krok 2. 4x = 12, więc x = 3.
Krok 3. y = 3·3 − 4 = 5.
Odpowiedź: (3, 5).
Określ wzajemne położenie prostych 2x + 3y = 12 i 4x + 6y = 6.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Pierwsza prosta: 3y = −2x + 12, więc y = −⅔x + 4.
Krok 2. Druga prosta: 6y = −4x + 6, więc y = −⅔x + 1.
Krok 3. Współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne.
Odpowiedź: proste są równoległe i różne — nie mają punktu przecięcia.

Quiz na żywo — 3 pytania

10. Punkt przecięcia prostych $y=3x-4$ i $y=-x+8$ to

10. Punkt przecięcia prostych $y=3x-4$ i $y=-x+8$ to

$(4,3)$ $(3,5)$ $(5,3)$ $(3,-5)$

11. Proste $2x+3y=12$ i $4x+6y=6$

11. Proste $2x+3y=12$ i $4x+6y=6$

pokrywają się przecinają się w punkcie $(3,2)$ są równoległe i różne są prostopadłe

12. Dla jakiej wartości $m$ proste $y=(m-1)x+2$ i $y=3x-1$ przecinają się w dokładnie jednym punkcie?

12. Dla jakiej wartości $m$ proste $y=(m-1)x+2$ i $y=3x-1$ przecinają się w dokładnie jednym punkcie?

dla każdego $m$ tylko dla $m=4$ dla $m=1$ dla $m\neq4$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Rozpoznasz proste równoległe, pokrywające się i przecinające się, korzystając z ich równań. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

Quiz na żywo — 3 pytania

13. Uczeń twierdzi, że proste $y=5x-2$ i $y=5x+7$ pokrywają się, bo mają ten sam współczynnik kierunkowy. Poprawny wniosek to

13. Uczeń twierdzi, że proste $y=5x-2$ i $y=5x+7$ pokrywają się, bo mają ten sam współczynnik kierunkowy. Poprawny wniosek to

proste są równoległe i różne proste pokrywają się proste są prostopadłe proste przecinają się w punkcie $(0,7)$

14. Proste $x=3$ i $x=-1$

14. Proste $x=3$ i $x=-1$

przecinają się raz pokrywają się są równoległe i różne są prostopadłe

15. Ile punktów wspólnych mają proste $y=-\frac12x+3$ i $2y+x=6$?

15. Ile punktów wspólnych mają proste $y=-\frac12x+3$ i $2y+x=6$?

dokładnie jeden ani jednego dokładnie dwa nieskończenie wiele

← Spis kursu Moduł 09 · Prosta przez dwa punktyPoprzednia Moduł 11 · Zastosowania w czworokątach na układzie współrzędnychNastępna

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna · Prywatność i dane