GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 01
Punkty i kierunek prostej
PPrezentacja dla nauczyciela
Odczytasz położenie punktów i rozpoznasz, czy prosta rośnie, maleje, czy jest pozioma lub pionowa. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.
Wprowadzenie
Zanim porównasz proste, ustal, jak biegną w układzie współrzędnych. Współczynnik kierunkowy opisuje zmianę y przypadającą na zmianę x.
Jak to rozpoznać?
Dla prostej niepionowej wzrost x o Δx powoduje zmianę y o Δy. Współczynnik kierunkowy to iloraz Δy/Δx. Prosta rosnąca ma dodatni współczynnik, malejąca ujemny, a pozioma współczynnik równy 0. Prosta pionowa nie jest wykresem funkcji y=ax+b i nie ma współczynnika kierunkowego.
a = Δy / Δx. Gdy a > 0 — prosta rośnie; a < 0 — maleje; a = 0 — jest pozioma.
Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.
Prosta przechodzi przez A = (−2, 1) i B = (4, 7). Wyznacz współczynnik kierunkowy i opisz jej kierunek.
- Δx = 4 − (−2) = 6, Δy = 7 − 1 = 6.
- a = Δy / Δx = 6 / 6 = 1.
- a jest dodatnie, więc prosta rośnie od lewej do prawej.
Odpowiedź: a = 1; prosta rosnąca.
Rozwiąż samodzielnie
Punkt A ma współrzędne (−2, 1), a punkt B (1, 4). O ile zmienia się x i o ile zmienia się y przy przejściu z A do B?
Pokaż rozwiązanie
Δx = 1 − (−2) = 3, a Δy = 4 − 1 = 3. Na każde 3 jednostki w prawo przypadają 3 jednostki w górę.Prosta przechodzi przez punkty (−1, 2) i (3, 2). Jaki jest jej kierunek i współczynnik kierunkowy?
Pokaż rozwiązanie
Oba punkty mają tę samą współrzędną y, więc prosta jest pozioma. Jej współczynnik kierunkowy wynosi 0.
Zadania dodatkowe
Wśród prostych y = −3, x = 4, y = 2x − 1 oraz x = −½ wskaż proste poziome i pionowe.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Prosta pozioma ma równanie y = liczba, więc jest nią y = −3.
Krok 2. Prosta pionowa ma równanie x = liczba, więc są to x = 4 oraz x = −½.
Krok 3. Prosta y = 2x − 1 jest ukośna — nie jest ani pozioma, ani pionowa.
Odpowiedź: pozioma y = −3; pionowe x = 4 i x = −½.
Prosta przechodzi przez punkty A = (1, 3) i B = (1, −5). Jaki ma kierunek? Podaj jej równanie.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Obie współrzędne x są równe 1, więc prosta jest pionowa.
Krok 2. Równanie prostej pionowej ma postać x = 1.
Krok 3. Współczynnik kierunkowy nie istnieje, bo x₂ − x₁ = 1 − 1 = 0, a przez zero nie dzielimy.
Odpowiedź: prosta pionowa x = 1.
Quiz kontrolny
Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.
Odczytasz położenie punktów i rozpoznasz, czy prosta rośnie, maleje, czy jest pozioma lub pionowa. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.