Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · MODUŁ 09

Prosta przez dwa punkty

PPrezentacja dla nauczyciela

Ułożysz równanie prostej przez dwa punkty i wykorzystasz je do sprawdzenia równoległości lub prostopadłości. Zobacz przykład na wykresie, rozwiąż zadania i sprawdź swoją odpowiedź w quizie.

Wprowadzenie

Z dwóch punktów wyznacz nachylenie, a następnie podstaw jeden z punktów do postaci kierunkowej. Zachowaj kolejność współrzędnych w całym rachunku.

xyprosta AB: A(−2, −1), B(2, 3)prosta porównawcza
Schemat na układzie współrzędnych. Kolory odróżniają proste; własności potwierdź rachunkiem, nie samym wyglądem rysunku.
1. Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ to
1. Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ to
2. Punkty $A=(-2,1)$ i $B=(3,1)$ wyznaczają prostą
2. Punkty $A=(-2,1)$ i $B=(3,1)$ wyznaczają prostą
3. Po wyznaczeniu $a$ z dwóch punktów wyraz wolny $b$ najprościej znaleźć,
3. Po wyznaczeniu $a$ z dwóch punktów wyraz wolny $b$ najprościej znaleźć,

Jak to rozpoznać?

Dla x₁≠x₂ liczysz a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁), po czym korzystasz z y−y₁=a(x−x₁). Gdy x₁=x₂, równanie ma postać x=x₁. Gotowe równanie porównujesz z równaniem drugiej prostej.

Wzory i zasady do zapamiętania

a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁), a potem y−y₁=a(x−x₁).

Strategia

Najpierw sprowadź równania do wygodnej postaci. Zapisz współczynniki kierunkowe i dopiero wtedy zastosuj warunek. Sprawdź też, czy nie pojawia się prosta pionowa.

Przykład rozwiązany

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez A = (−1, 4) i B = (3, −4).

  1. a = (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
  2. y = −2x + b; podstawiamy A: 4 = −2 · (−1) + b = 2 + b.
  3. b = 2.

Odpowiedź: y = −2x + 2.

4. Prosta przez $(0,2)$ i $(3,8)$ ma równanie
4. Prosta przez $(0,2)$ i $(3,8)$ ma równanie
5. Prosta przez punkty $(4,1)$ i $(4,-5)$ ma równanie
5. Prosta przez punkty $(4,1)$ i $(4,-5)$ ma równanie
6. Współczynnik kierunkowy prostej przez $(-1,3)$ i $(1,-1)$ wynosi
6. Współczynnik kierunkowy prostej przez $(-1,3)$ i $(1,-1)$ wynosi

Rozwiąż samodzielnie

  1. Wyznacz równanie prostej przez A=(1,−2) i B=(5,6).

    Pokaż rozwiązanie
    a=(6−(−2))/(5−1)=8/4=2. Podstawiamy A: y+2=2(x−1), czyli y=2x−4.

  2. Czy prosta przez P=(−2,1) i Q=(−2,6) jest prostopadła do y=−3? Zapisz jej równanie.

    Pokaż rozwiązanie
    Prosta przez P i Q jest pionowa, x=−2. Prosta y=−3 jest pozioma, więc te proste są prostopadłe.
7. Prosta przez $A=(1,-2)$ i $B=(5,6)$ ma równanie
7. Prosta przez $A=(1,-2)$ i $B=(5,6)$ ma równanie
8. Prosta przez $A=(2,5)$ i $B=(6,13)$ ma równanie
8. Prosta przez $A=(2,5)$ i $B=(6,13)$ ma równanie
9. Prosta przez $A=(4,-1)$ i $B=(4,7)$ ma równanie
9. Prosta przez $A=(4,-1)$ i $B=(4,7)$ ma równanie

Zadania dodatkowe

  1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (−3, 4) i B = (1, −4).

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. a = (−4 − 4)/(1 − (−3)) = −8/4 = −2.

    Krok 2. y = −2x + b; podstawiamy A: 4 = −2·(−3) + b = 6 + b.

    Krok 3. b = −2.

    Odpowiedź: y = −2x − 2.

  2. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (5, 2) i B = (−1, 2).

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Obie współrzędne y są równe 2, więc prosta jest pozioma.

    Krok 2. a = (2 − 2)/(−1 − 5) = 0.

    Odpowiedź: y = 2.

10. Prosta przez $A=(-4,3)$ i $B=(2,3)$ ma równanie
10. Prosta przez $A=(-4,3)$ i $B=(2,3)$ ma równanie
11. Prosta przez $A=(-1,-3)$ i $B=(3,5)$ przecina oś $OY$ w punkcie
11. Prosta przez $A=(-1,-3)$ i $B=(3,5)$ przecina oś $OY$ w punkcie
12. Dane są punkty $A=(-2,1)$, $B=(4,5)$ i $C=(7,7)$. Prosta $AB$
12. Dane są punkty $A=(-2,1)$, $B=(4,5)$ i $C=(7,7)$. Prosta $AB$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź. Pomyłka to wskazówka, który warunek warto powtórzyć.

Zapamiętaj

Ułożysz równanie prostej przez dwa punkty i wykorzystasz je do sprawdzenia równoległości lub prostopadłości. Równość nachyleń oznacza równoległość, a iloczyn nachyleń równy −1 — prostopadłość, z osobnym uwzględnieniem prostych pionowych.

13. Uczeń liczy nachylenie prostej przez $(1,2)$ i $(4,8)$ jako $\frac{4-1}{8-2}$. Poprawna wartość nachylenia to
13. Uczeń liczy nachylenie prostej przez $(1,2)$ i $(4,8)$ jako $\frac{4-1}{8-2}$. Poprawna wartość nachylenia to
14. Prosta przez $(0,-3)$ i $(2,1)$ ma miejsce zerowe
14. Prosta przez $(0,-3)$ i $(2,1)$ ma miejsce zerowe
15. Dwa różne punkty o tej samej współrzędnej $x$ wyznaczają prostą, która
15. Dwa różne punkty o tej samej współrzędnej $x$ wyznaczają prostą, która

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — geometria analityczna · Prywatność i dane