Dwie niewiadome i para rozwiązań — układy równań

Co dziś robimy

1. 12 minWprowadzenie Czy para (1, 2) spełnia układ x + y = 3, x − y = −1? Pokaż rozwiązanie 1 + 2 = 3 — prawda…
2. 9 minJak to rozpoznać? Pierwsze równanie: 2 · 2 + 5 = 4 + 5 = 9 — prawda.
3. 9 minRozwiąż samodzielnie Sprawdź, czy para (1,4) spełnia układ: x+y=5, 2x−y=−2. Pokaż rozwiązanie Pierwsze…
4. 9 minZadania dodatkowe Sprawdź, czy para (3, −1) spełnia układ x − y = 4, 2x + y = 5. Pokaż rozwiązanie Krok 1.
5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe

Wprowadzenie

Układ równań opisuje warunki, które muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca każde równanie.

• Czy para (1, 2) spełnia układ x + y = 3, x − y = −1? Pokaż rozwiązanie 1 + 2 = 3 — prawda oraz 1 − 2 = −1 — prawda. Para spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem.
• Sprawdź, czy para (4, 1) spełnia układ x + y = 5, x − y = 2. Pokaż rozwiązanie 4 + 1 = 5 — prawda, ale 4 − 1 = 3, a nie 2.
• W układzie x + y = 5, x − y = −1 para (2, 3) daje 2 + 3 = 5 oraz 2 − 3 = −1, więc spełnia oba równania.

Jak to rozpoznać?

W równaniu 2x+y=7 wiele par może być poprawnych — samo jedno równanie nie wyznacza pary. Dopiero drugie równanie, x−y=−1, zawęża wybór. Sprawdźmy parę (2,3): 2·2+3=7 oraz 2−3=−1. Oba równania są prawdziwe, więc para (2,3) spełnia układ.

• Pierwsze równanie: 2 · 2 + 5 = 4 + 5 = 9 — prawda.
• Drugie równanie: 2 − 5 = −3 — prawda.
• Oba warunki są spełnione.
• Odpowiedź: Tak, para (2, 5) jest rozwiązaniem układu.

Rozwiąż samodzielnie

• Sprawdź, czy para (1,4) spełnia układ: x+y=5, 2x−y=−2. Pokaż rozwiązanie Pierwsze równanie: 1+4=5. Drugie: 2·1−4=−2. Oba są prawdziwe, więc (1,4) jest rozwiązaniem.
• Sprawdź parę (3,1) dla układu: 2x+y=7, x−y=1. Pokaż rozwiązanie 2·3+1=7, ale 3−1=2≠1. Para nie spełnia drugiego równania, więc nie jest rozwiązaniem układu.
• Sprawdź, czy para (0, 0) spełnia układ x + y = 0, 2x − y = 0. Pokaż rozwiązanie 0 + 0 = 0 oraz 2·0 − 0 = 0. Oba równania są prawdziwe, więc para (0, 0) jest rozwiązaniem.

Zadania dodatkowe

• Sprawdź, czy para (3, −1) spełnia układ x − y = 4, 2x + y = 5. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Pierwsze równanie: 3 − (−1) = 4 — prawda. Krok 2.
• Sprawdź, czy para (2, −1) spełnia oba równania układu x + y = 1, x − y = 3. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Pierwsze równanie: 2 + (−1) = 1 — prawda. Krok 2.
• Uzupełnij brakującą współrzędną: para (x, 2) spełnia równanie 3x + y = 8. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Podstawiamy y = 2: 3x + 2 = 8. Krok 2. 3x = 6, więc x = 2.

Co zabrać z lekcji

• Czy para (1, 2) spełnia układ x + y = 3, x − y = −1? Pokaż rozwiązanie 1 + 2 = 3 — prawda oraz 1 − 2 = −1 — prawda.
• Pierwsze równanie: 2 · 2 + 5 = 4 + 5 = 9 — prawda.
• Sprawdź, czy para (1,4) spełnia układ: x+y=5, 2x−y=−2. Pokaż rozwiązanie Pierwsze równanie: 1+4=5. Drugie: 2·1−4=−2.
• Sprawdź, czy para (3, −1) spełnia układ x − y = 4, 2x + y = 5. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Pierwsze równanie: 3 − (−1) = 4 — prawda. Krok 2.