GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 01

Dwie niewiadome i para rozwiązań

PPrezentacja dla nauczyciela

Odczytasz, co oznacza para (x, y), i sprawdzisz, czy spełnia oba równania. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Układ równań opisuje warunki, które muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca każde równanie.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. W układzie x + y = 5, x − y = −1 para (2, 3) daje 2 + 3 = 5 oraz 2 − 3 = −1, więc spełnia oba równania.

Czy para (1, 2) spełnia układ x + y = 3, x − y = −1?
Pokaż rozwiązanie
1 + 2 = 3 — prawda oraz 1 − 2 = −1 — prawda. Para spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem.
Sprawdź, czy para (4, 1) spełnia układ x + y = 5, x − y = 2.
Pokaż rozwiązanie
4 + 1 = 5 — prawda, ale 4 − 1 = 3, a nie 2. Para nie spełnia drugiego równania, więc nie jest rozwiązaniem układu.

1. Który warunek musi spełniać rozwiązanie układu dwóch równań?

Spełniać oba równania jednocześnie Spełniać przynajmniej jedno równanie Mieć zawsze dodatnie współrzędne Być jedyną parą liczb naturalnych

2. Czy para $(2, 1)$ spełnia układ $x+y=3$, $2x-y=3$?

Nie, bo spełnia tylko drugie równanie Tak, bo spełnia oba równania Nie, bo spełnia tylko pierwsze równanie Tak, bo $x$ jest dodatnie

3. W jakiej kolejności zapisujemy współrzędne pary rozwiązania?

Najpierw $y$, potem $x$ Kolejność jest dowolna Najpierw $x$, potem $y$ Zawsze od mniejszej liczby

Jak to rozpoznać?

W równaniu 2x+y=7 wiele par może być poprawnych — samo jedno równanie nie wyznacza pary. Dopiero drugie równanie, x−y=−1, zawęża wybór. Sprawdźmy parę (2,3): 2·2+3=7 oraz 2−3=−1. Oba równania są prawdziwe, więc para (2,3) spełnia układ. Dla porównania para (3,3) daje 2·3+3=9≠7, więc odpada.

Wzory i zasady do zapamiętania

(x, y) jest rozwiązaniem układu, gdy po podstawieniu x i y oba równania są prawdziwe.

Strategia

Podstawiaj x i y w tej kolejności. Sprawdź każde równanie osobno; spełnienie tylko jednego nie wystarcza.

Przykład rozwiązany

Sprawdź, czy para (2, 5) spełnia układ: \[\begin{cases}2x + y = 9 \\ x - y = -3\end{cases}\]

Pierwsze równanie: 2 · 2 + 5 = 4 + 5 = 9 — prawda.
Drugie równanie: 2 − 5 = −3 — prawda.
Oba warunki są spełnione.

Odpowiedź: Tak, para (2, 5) jest rozwiązaniem układu.

4. Para $(3, 2)$ i układ $3x+y=11$, $x+2y=2$. Co można stwierdzić?

Jest rozwiązaniem, bo pierwsze równanie daje $11$ Jest rozwiązaniem, bo obie liczby są dodatnie Nie jest rozwiązaniem, bo pierwsze równanie daje $12$ Nie jest rozwiązaniem, bo drugie równanie daje $7$, a nie $2$

5. Po podstawieniu pary $(3, 2)$ do równania $5x-2y=9$ otrzymano $15-4=11$. Co to oznacza?

Para nie spełnia tego równania, bo $11 \neq 9$ Para spełnia to równanie, bo lewa strona jest dodatnia Równanie jest sprzeczne, bo wyszła liczba $11$ Trzeba zamienić $x$ z $y$ i sprawdzić ponownie

6. Na wykresie układu dwóch równań liniowych rozwiązanie odpowiada

miejscu zerowemu pierwszej prostej punktowi przecięcia obu prostych początkowi układu współrzędnych dowolnemu punktowi pierwszej prostej

Rozwiąż samodzielnie

Sprawdź, czy para (1,4) spełnia układ: x+y=5, 2x−y=−2.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsze równanie: 1+4=5. Drugie: 2·1−4=−2. Oba są prawdziwe, więc (1,4) jest rozwiązaniem.
Sprawdź parę (3,1) dla układu: 2x+y=7, x−y=1.
Pokaż rozwiązanie
2·3+1=7, ale 3−1=2≠1. Para nie spełnia drugiego równania, więc nie jest rozwiązaniem układu.
Sprawdź, czy para (0, 0) spełnia układ x + y = 0, 2x − y = 0.
Pokaż rozwiązanie
0 + 0 = 0 oraz 2·0 − 0 = 0. Oba równania są prawdziwe, więc para (0, 0) jest rozwiązaniem.

7. Czy para $(1, 4)$ spełnia układ $x+y=5$, $2x-y=-2$?

Nie, bo $1+4 \neq 5$ Nie, bo $2 \cdot 1-4 \neq -2$ Tak, bo oba równania są prawdziwe Tak, bo obie liczby są dodatnie

8. Para $(3, 1)$ nie jest rozwiązaniem układu $2x+y=7$, $x-y=1$, ponieważ

$2 \cdot 3+1 \neq 7$ $3+1 \neq 7$ $3-1 \neq 7$ $3-1=2$, a nie $1$

9. Która para spełnia układ $x-y=4$, $2x+y=5$?

$(3, -1)$ $(-1, 3)$ $(3, 1)$ $(1, 3)$

Zadania dodatkowe

Sprawdź, czy para (3, −1) spełnia układ x − y = 4, 2x + y = 5.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Pierwsze równanie: 3 − (−1) = 4 — prawda.
Krok 2. Drugie równanie: 2·3 + (−1) = 5 — prawda.
Odpowiedź: para spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem układu.
Sprawdź, czy para (2, −1) spełnia oba równania układu x + y = 1, x − y = 3.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Pierwsze równanie: 2 + (−1) = 1 — prawda.
Krok 2. Drugie równanie: 2 − (−1) = 3 — prawda.
Odpowiedź: para spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem układu.
Uzupełnij brakującą współrzędną: para (x, 2) spełnia równanie 3x + y = 8.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Podstawiamy y = 2: 3x + 2 = 8.
Krok 2. 3x = 6, więc x = 2.
Odpowiedź: x = 2, czyli para (2, 2).

10. Czy para $(2, -1)$ spełnia układ $x+y=1$, $x-y=3$?

Tak, bo oba równania są prawdziwe Nie, bo $2+(-1) \neq 1$ Nie, bo $2-(-1) \neq 3$ Tak, bo obie liczby są całkowite

11. Para $(x, 3)$ spełnia równanie $2x-y=5$. Ile wynosi $x$?

$1$ $2$ $4$ $8$

12. Która para nie spełnia równania $4x+y=10$?

$(2, 2)$ $(1, 6)$ $(3, -2)$ $(2, -2)$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Odczytasz, co oznacza para (x, y), i sprawdzisz, czy spełnia oba równania. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Rozwiązaniem układu $x+y=7$, $x-y=1$ jest para

$(4, 3)$ $(3, 4)$ $(4, -3)$ $(6, 1)$

14. Czy para $(5, -2)$ spełnia układ $2x+y=8$, $x+3y=-1$?

Nie, bo spełnia tylko pierwsze równanie Tak, bo spełnia oba równania Nie, bo spełnia tylko drugie równanie Tak, bo pierwsza współrzędna jest dodatnia

15. Uczeń sprawdził parę $(2, 5)$ w układzie $2x+y=9$, $x-y=-3$ i napisał: „$2 \cdot 2+5=9$, więc para jest rozwiązaniem”. Jaki błąd popełnił?

Pomylił kolejność współrzędnych Dodał równania zamiast podstawić Sprawdził tylko pierwsze równanie Źle obliczył $2 \cdot 2+5$