Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 14

Zadania maturalne z układami

PPrezentacja dla nauczyciela

Połączysz modelowanie, metodę rozwiązania i interpretację odpowiedzi. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

W zadaniu maturalnym ważne są: poprawny model, widoczne przekształcenia i odpowiedź odnosząca się do treści.

x y (17, 28) k: x + y = 45 l: 2x − y = 6
Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. Suma dwóch liczb wynosi 30, a podwojona pierwsza jest o 3 większa od drugiej. Zapisujemy x+y=30 oraz 2x−y=3. Dodając równania, otrzymujemy 3x=33, więc x=11 i y=19. Sprawdzenie: 11+19=30 oraz 2·11−19=3.

  1. Suma dwóch liczb wynosi 24. Podwojona pierwsza jest o 6 większa od drugiej. Wyznacz liczby.

    Pokaż rozwiązanie
    x+y=24 oraz 2x−y=6. Po dodaniu 3x=30, więc x=10 i y=14. Sprawdzenie: 10+14=24 oraz 2·10−14=6.

  2. Za 2 kg jabłek i 3 kg gruszek zapłacono 31 zł, a za 4 kg jabłek i 1 kg gruszek 29 zł. Wyznacz ceny za kilogram.

    Pokaż rozwiązanie
    Niech a,g oznaczają ceny. 2a+3g=31, 4a+g=29. Drugie mnożymy przez 3: 12a+3g=87. Odejmujemy pierwsze: 10a=56, a=5,6. Wtedy 4·5,6+g=29, g=6,6 zł/kg. Sprawdzenie: 2·5,6+3·6,6=31 oraz 4·5,6+6,6=29.
1. Suma dwóch liczb wynosi 19, a podwojona pierwsza jest o 5 większa od drugiej. Który układ opisuje zadanie?
2. W zadaniu otwartym warto zapisać kolejne kroki rozwiązania, ponieważ:
3. Odpowiedź do zadania maturalnego z układem równań powinna:

Jak to rozpoznać?

Jeśli dwie liczby mają sumę 19, a podwojona pierwsza jest o 5 większa od drugiej, zapisujemy x+y=19 oraz 2x−y=5. Dodajemy równania: 3x=24, x=8, y=11. Wynik sprawdzamy w obu warunkach.

Wzory i zasady do zapamiętania

Model → rozwiązanie układu → sprawdzenie → odpowiedź z kontekstem. Odpowiedź formułuj pełnym zdaniem, np. „Pierwsza liczba to 8, a druga to 11”.

Strategia

Oznacz niewiadome, zapisz każde zdanie jako równanie, wybierz metodę i zachowaj zapis obliczeń. Na końcu odpowiedz pełnym zdaniem.

Przykład rozwiązany — styl maturalny

Suma dwóch liczb wynosi 45. Podwojona pierwsza jest o 6 większa od drugiej. Wyznacz liczby.

  1. Model: x + y = 45 oraz 2x = y + 6.
  2. Układ: x + y = 45, 2x − y = 6.
  3. Rozwiązanie: dodajemy równania stronami i otrzymujemy 3x = 51, więc x = 17.
  4. Sprawdzenie: 17 + 28 = 45 oraz 2·17 − 28 = 6.
  5. Odpowiedź pełnym zdaniem: pierwsza liczba jest równa 17, a druga 28.

Odpowiedź: 17 i 28.

4. Suma dwóch liczb wynosi 19, a podwojona pierwsza jest o 5 większa od drugiej. Większa z liczb to:
5. Po dodaniu stronami równań $x+y=19$ i $2x-y=5$ otrzymujemy:
6. Suma dwóch liczb wynosi 45, a podwojona pierwsza jest o 6 większa od drugiej. Mniejsza liczba to:

Rozwiąż samodzielnie

  1. Suma dwóch liczb wynosi 27. Trzykrotność pierwszej jest o 3 mniejsza od dwukrotności drugiej. Wyznacz liczby i sprawdź wynik.

    Pokaż rozwiązanie
    x+y=27, 3x=2y−3, czyli 3x−2y=−3. Z y=27−x: 3x−2(27−x)=−3, 5x=51, x=10,2, y=16,8. Sprawdzenie: 10,2+16,8=27 oraz 3·10,2−2·16,8=30,6−33,6=−3 — zgadza się.

  2. Za 2 kg jabłek i 3 kg gruszek zapłacono 31 zł, a za 4 kg jabłek i 1 kg gruszek 29 zł. Wyznacz ceny za kilogram i sprawdź oba zakupy.

    Pokaż rozwiązanie
    Niech a,g oznaczają ceny. 2a+3g=31, 4a+g=29. Drugie mnożymy przez 3: 12a+3g=87. Odejmujemy pierwsze: 10a=56, a=5,6. Wtedy 4·5,6+g=29, g=6,6 zł/kg. Sprawdzenie: 2·5,6+3·6,6=31 oraz 4·5,6+6,6=29.

  3. Suma dwóch liczb całkowitych wynosi 35, a ich różnica 7. Wyznacz te liczby i uzasadnij, że spełniają warunek całkowitości.

    Pokaż rozwiązanie
    x+y=35 oraz x−y=7. Dodając, 2x=42, więc x=21 i y=14. Obie liczby są całkowite i dodatnie. Sprawdzenie: 21+14=35 oraz 21−14=7.
7. Za 2 kg jabłek i 3 kg gruszek zapłacono 31 zł, a za 4 kg jabłek i 1 kg gruszek 29 zł. Cena 1 kg jabłek wynosi:
8. Suma dwóch liczb wynosi 27. Trzykrotność pierwszej jest o 3 mniejsza od dwukrotności drugiej. Który układ jest poprawny?
9. W zadaniu o dwóch liczbach otrzymano $x=10,2$ i $y=16,8$. Jak sprawdzić wynik?

Zadania dodatkowe

  1. W dwóch klasach jest razem 49 uczniów. W klasie A jest o 3 uczniów więcej niż w klasie B. Ilu uczniów jest w każdej klasie? Sprawdź, czy otrzymane liczby są całkowite.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Oznaczmy liczby uczniów przez a i b: a+b=49 oraz a−b=3.

    Krok 2. Dodajemy równania: 2a=52, więc a=26 i b=23.

    Krok 3. Sprawdzenie: 26+23=49 oraz 26−23=3. Obie liczby są całkowite i dodatnie.

    Odpowiedź: w klasie A jest 26 uczniów, a w klasie B 23 uczniów.

  2. Za 3 kg jabłek i 2 kg gruszek zapłacono 26 zł, a za 2 kg jabłek i 4 kg gruszek 28 zł. Wyznacz ceny za kilogram.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. 3a + 2g = 26 oraz 2a + 4g = 28.

    Krok 2. Mnożymy pierwsze przez 2: 6a + 4g = 52.

    Krok 3. Odejmujemy drugie: 4a = 24, więc a = 6.

    Krok 4. 18 + 2g = 26, więc g = 4.

    Odpowiedź: jabłka 6 zł/kg, gruszki 4 zł/kg. Sprawdzenie: 3·6+2·4=26 oraz 2·6+4·4=28.

  3. Suma dwóch liczb wynosi 38. Podwojona pierwsza jest o 4 większa od drugiej. Wyznacz liczby.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. x + y = 38.

    Krok 2. 2x = y + 4, czyli 2x − y = 4.

    Krok 3. Dodajemy równania: 3x = 42, więc x = 14 i y = 24.

    Krok 4. Sprawdzenie: 2·14 − 24 = 4.

    Odpowiedź: 14 i 24.

10. W dwóch klasach jest razem 49 uczniów. W klasie A jest o 3 uczniów więcej niż w klasie B. Ilu uczniów jest w klasie A?
11. Za 3 kg jabłek i 2 kg gruszek zapłacono 26 zł, a za 2 kg jabłek i 4 kg gruszek 28 zł. Cena 1 kg gruszek wynosi:
12. W zadaniu o zakupach otrzymano jabłka po 6 zł/kg i gruszki po 4 zł/kg. Które sprawdzenie potwierdza wynik?

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Połączysz modelowanie, metodę rozwiązania i interpretację odpowiedzi. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. W zadaniu maturalnym z układem równań punkty przyznaje się za:
14. Po rozwiązaniu zadania o cenach 5,6 zł/kg i 6,6 zł/kg należy sprawdzić:
15. Uczeń zapisał układ $x+y=19$ i $2x+y=5$ zamiast $2x-y=5$. Błąd polega na:

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań