GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 03

Jeden, brak lub nieskończenie wiele rozwiązań

PPrezentacja dla nauczyciela

Rozpoznasz trzy rodzaje układów i powiążesz je z położeniem prostych. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Dwie różne proste przecinają się raz albo są równoległe. Gdy równania opisują tę samą prostą, każda jej para punktów jest rozwiązaniem.

Dwie różne proste równoległe nie mają punktu wspólnego; proste pokrywające się mają ich nieskończenie wiele.

Mini-przykład. W układzie x + y = 4, 2x + 2y = 9 lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością pierwszej, ale 2·4 = 8 ≠ 9 — proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

Ile rozwiązań ma układ x + y = 3, 2x + 2y = 6?
Pokaż rozwiązanie
Drugie równanie to dwukrotność pierwszego razem z prawą stroną (2·3 = 6), więc oba opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Ile rozwiązań ma układ y = 2x + 1, y = 2x − 3?
Pokaż rozwiązanie
Przy x stoi ta sama liczba 2, a wyrazy wolne są różne (1 i −3), więc proste są równoległe i różne. Układ jest sprzeczny — 0 rozwiązań.

1. Ile rozwiązań ma układ, którego wykresy są dwiema przecinającymi się prostymi?

Dokładnie dwa rozwiązania Brak rozwiązań Dokładnie jedno rozwiązanie Nieskończenie wiele rozwiązań

2. Układ dwóch równań opisuje tę samą prostą. Ile ma rozwiązań?

Brak rozwiązań Dokładnie jedno rozwiązanie Dokładnie dwa rozwiązania Nieskończenie wiele

3. Układ $2x+4y=6$, $x+2y=4$ jest

sprzeczny oznaczony nieoznaczony układem z dwoma rozwiązaniami

Jak to rozpoznać?

Układ oznaczony ma jedno rozwiązanie: proste przecinają się. Układ sprzeczny nie ma rozwiązań: proste są równoległe i różne. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań: proste pokrywają się.

Rozstrzyga o tym proporcjonalność lewych stron. Jeśli lewe strony nie są proporcjonalne (np. 3x−y oraz x+2y), proste mają różne nachylenie i przecinają się dokładnie raz. Jeśli są proporcjonalne (np. 3x−y oraz 6x−2y), proste są równoległe albo się pokrywają — decyduje prawa strona.

Wzory i zasady do zapamiętania

Przecinające się → 1 rozwiązanie; równoległe różne → 0; ta sama prosta → nieskończenie wiele.

Strategia

Porównaj równania po przekształceniu. Jeśli drugie jest wielokrotnością pierwszego wraz z prawą stroną — proste się pokrywają; jeśli nie zgadza się wyraz wolny — są równoległe.

Przykład rozwiązany

Określ liczbę rozwiązań układu: \[\begin{cases}3x - y = 6 \\ 6x - 2y = 10\end{cases}\]

Dzielimy drugie równanie przez 2: 3x − y = 5.
Lewa strona jest taka sama jak w pierwszym równaniu, a prawa jest inna (5 i 6).
Proste są równoległe i różne.

Odpowiedź: Układ sprzeczny — 0 rozwiązań.

4. Po podzieleniu drugiego równania przez $2$ otrzymano $3x-y=5$, a pierwsze równanie to $3x-y=6$. Co to oznacza?

Proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny Proste pokrywają się, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele Układ ma jedno rozwiązanie, bo prawe strony się różnią Oba równania są sprzeczne wewnętrznie

5. Jak rozpoznać, że dwa równania opisują tę samą prostą?

Mają ten sam wyraz wolny Jedno jest wielokrotnością drugiego wraz z prawą stroną Mają przeciwne współczynniki przy $x$ Oba przechodzą przez początek układu

6. Układ $2x+y=5$, $4x+2y=10$ jest

sprzeczny oznaczony nieoznaczony układem z dwoma rozwiązaniami

Rozwiąż samodzielnie

Określ liczbę rozwiązań układu: 2x+4y=6, x+2y=3.
Pokaż rozwiązanie
Drugie równanie pomnożone przez 2 daje pierwsze. Opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Określ liczbę rozwiązań układu: 3x−2y=5, 6x−4y=2.
Pokaż rozwiązanie
Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego, ale 2≠2·5. Otrzymujemy równoległe różne proste, więc układ jest sprzeczny.
Podaj punkt przecięcia prostych x + y = 5 i x − y = 1.
Pokaż rozwiązanie
Lewe strony nie są proporcjonalne (przy y mamy 1 i −1), więc proste przecinają się dokładnie raz. Para (3, 2) spełnia oba równania: 3 + 2 = 5 oraz 3 − 2 = 1. Punkt przecięcia to (3, 2).

7. Ile rozwiązań ma układ $2x+4y=6$, $x+2y=3$?

Zero rozwiązań Dokładnie jedno rozwiązanie Dokładnie dwa rozwiązania Nieskończenie wiele

8. Ile rozwiązań ma układ $3x-2y=5$, $6x-4y=2$?

Zero Jedno Dwa Nieskończenie wiele

9. Gdy lewe strony równań są proporcjonalne, o różnicy między układem sprzecznym a nieoznaczonym decyduje

znak współczynnika przy $x$ zgodność prawej strony z tą samą wielokrotnością suma wszystkich współczynników obu równań wartość $x=0$

Zadania dodatkowe

Określ liczbę rozwiązań układu 4x − 6y = 8, 2x − 3y = 4.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Dzielimy pierwsze równanie przez 2: 2x − 3y = 4.
Krok 2. Otrzymaliśmy dokładnie drugie równanie, więc oba opisują tę samą prostą.
Odpowiedź: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Określ liczbę rozwiązań układu 2x + y = 5, 4x + 2y = 7.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego.
Krok 2. Prawa strona powinna wtedy wynosić 2·5 = 10, a wynosi 7.
Odpowiedź: proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny — 0 rozwiązań.

10. Układ $4x-6y=8$, $2x-3y=4$ jest

sprzeczny oznaczony nieoznaczony układem z dwoma rozwiązaniami

11. Układ $2x+y=5$, $4x+2y=7$ jest

układem z jednym rozwiązaniem układem z dwoma rozwiązaniami nieoznaczony sprzeczny

12. Który warunek gwarantuje, że układ dwóch równań liniowych jest oznaczony?

Lewe strony równań nie są proporcjonalne Proste mają ten sam wyraz wolny Proste są równoległe Jedno równanie jest wielokrotnością drugiego

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Rozpoznasz trzy rodzaje układów i powiążesz je z położeniem prostych. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Który układ jest sprzeczny?

$x+y=4$, $2x+2y=8$ $x+y=4$, $2x+2y=10$ $x+y=4$, $x-y=2$ $x+y=4$, $2x-y=5$

14. Równania $3x-y=6$ i $6x-2y=12$ opisują

dwie równoległe różne proste dwie przecinające się proste tę samą prostą prostą i parabolę

15. Proste $2x-y=-1$ i $2x-y=3$ są

pokrywające się przecinające się w punkcie $(0, 1)$ prostopadłe równoległe i różne