Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26

← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit

Matematyka · liceum · poziom podstawowy

Układy równań — matematyka liceum, poziom podstawowy › Moduł 07 z 15

W materiale Wprowadzenie Jak to rozpoznać? Rozwiąż samodzielnie Zadania dodatkowe Quiz kontrolny

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 07

Układy z nawiasami i ułamkami

PPrezentacja dla nauczyciela

Uprościsz równania przed rozwiązaniem układu. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Najpierw usuń nawiasy i pomnóż równanie przez wspólny mianownik. Dopiero potem wybierz metodę rozwiązania.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Przykład w skrócie: w układzie x/2 + y = 5, x − y = 1 mnożymy pierwsze równanie przez 2: x + 2y = 10. Po odjęciu drugiego równania zostaje 3y = 9, więc y = 3 i x = 4.

Usuń mianownik i rozwiąż: (x+y)/2 = 4, x − y = 2.
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy pierwsze równanie przez 2: x + y = 8. Dodajemy x − y = 2: 2x = 10, więc x = 5 i y = 3. Para (5, 3).
Rozwiąż: 2(x+1) + y = 7, x + y = 3.
Pokaż rozwiązanie
Rozwijamy nawias: 2x + y = 5. Odejmujemy x + y = 3: x = 2 i y = 1. Para (2, 1).

Quiz na żywo — 3 pytania

1. Od czego zacząć rozwiązywanie układu, w którym są nawiasy i ułamki?

Od uproszczenia obu równań: usunięcia nawiasów i mianowników Od narysowania obu prostych i odczytu przecięcia Od podniesienia obu równań do kwadratu Od dodania równań w postaci wyjściowej

2. Po co mnożymy równanie przez wspólny mianownik, zanim wybierzemy metodę?

Żeby zmienić wartość jednej ze stron równania Żeby usunąć ułamki i dostać równanie bez dzielenia Żeby rozwiązanie było zawsze liczbą całkowitą Żeby można było dodać równania bez sprawdzania

3. Mnożąc równanie przez $6$, trzeba

pomnożyć przez $6$ tylko liczniki ułamków pomnożyć przez $6$ tylko lewą stronę dopisać $\cdot 6$ na końcu równania pomnożyć przez $6$ każdy składnik po obu stronach

Jak to rozpoznać?

Dla (x+y)/2=3 oraz x−y=2 pierwsze równanie mnożymy przez 2: x+y=6. Dodajemy równania: 2x=8, zatem x=4 i y=2.

Wzory i zasady do zapamiętania

Mnożąc równanie przez wspólny mianownik, pomnóż każdy składnik po obu stronach.

Strategia

Uważaj na minus przed nawiasem i na ułamek obejmujący całe wyrażenie. Po uproszczeniu przepisz układ czytelnie.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż: \[\begin{cases}(x + y)/3 = 4 \\ x - y = 2\end{cases}\]

Mnożymy pierwsze równanie przez 3: x + y = 12.
Dodajemy równania: 2x = 14, więc x = 7.
Z drugiego równania: 7 − y = 2, więc y = 5.

Odpowiedź: (7, 5).

Przykład rozwiązany

Rozwiąż: \[\begin{cases}x/2 + y/3 = 4 \\ x + y = 10\end{cases}\]

Mnożymy pierwsze równanie przez 6: 3x + 2y = 24.
Z drugiego równania y = 10 − x.
Podstawiamy: 3x + 2(10 − x) = 24, więc x + 20 = 24 i x = 4.
y = 10 − 4 = 6. Sprawdzenie: 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4.

Odpowiedź: (4, 6).

Quiz na żywo — 3 pytania

4. Równanie $(x+y)/4=2$ po pomnożeniu przez $4$ przyjmuje postać

$x+y=2$ $4x+4y=2$ $x+y=8$ $x+y=6$

5. Rozwiązaniem układu $\frac{x+y}{2}=3$ i $x-y=2$ jest para

$(4, 2)$ $(2, 4)$ $(3, 2)$ $(6, 0)$

6. Po rozwinięciu $3(x-2)-y=4$ otrzymujemy

$3x-2-y=4$ $3x+6-y=4$ $3x-6+y=4$ $3x-6-y=4$

Rozwiąż samodzielnie

Rozwiąż: (x+y)/3=2, x−y=4.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsze równanie mnożymy przez 3: x+y=6. Dodajemy x−y=4: 2x=10, x=5. Wtedy y=1.
Rozwiąż: 4 − (x − y) = 6, x + 3y = 10.
Pokaż rozwiązanie
Po opuszczeniu nawiasu: 4 − x + y = 6, więc y = x + 2. Podstawiamy: x + 3(x + 2) = 10, czyli 4x = 4 i x = 1. Wtedy y = 3. Para (1, 3).

Quiz na żywo — 3 pytania

7. Po pomnożeniu pierwszego równania układu $\frac{x+y}{3}=2$, $x-y=4$ przez $3$ i dodaniu równań otrzymujemy

$2x=2$ $2x=10$ $2x=6$ $x=6$

8. Rozwiązaniem układu $\frac{x+y}{3}=2$ i $x-y=4$ jest para

$(1, 5)$ $(5, -1)$ $(5, 1)$ $(2, 4)$

9. Równanie $4-(x-y)=6$ po opuszczeniu nawiasu ma postać

$4-x-y=6$ $4-x+y=6$ $4+x-y=6$ $4-x+y=-6$

Zadania dodatkowe

Rozwiąż: (x − y)/2 = 1, x + 2y = 8.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Mnożymy pierwsze równanie przez 2: x − y = 2.
Krok 2. Z tego x = y + 2; podstawiamy: (y + 2) + 2y = 8.
Krok 3. 3y = 6, więc y = 2 i x = 4.
Odpowiedź: (4, 2).
Rozwiąż: x/2 + y/3 = 3, x − y = 1.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Mnożymy pierwsze równanie przez 6: 3x + 2y = 18.
Krok 2. Drugie równanie mnożymy przez 2: 2x − 2y = 2.
Krok 3. Dodajemy równania: 5x = 20, więc x = 4.
Krok 4. Z x − y = 1 mamy y = 4 − 1 = 3.
Odpowiedź: (4, 3). Sprawdzenie: 4/2 + 3/3 = 2 + 1 = 3.

Quiz na żywo — 3 pytania

10. W układzie $\frac{x-y}{2}=1$, $x+2y=8$ po pomnożeniu pierwszego równania przez $2$ i podstawieniu $x=y+2$ otrzymujemy

$3y=6$ $3y=8$ $5y=6$ $y=6$

11. W układzie $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=3$ i $x-y=1$ po pomnożeniu pierwszego równania przez $6$ otrzymujemy

$2x+3y=18$ $3x+2y=3$ $3x+2y=18$ $x+y=18$

12. W zadaniu z ułamkami mamy $3x+2y=18$ oraz $x-y=1$. Po pomnożeniu drugiego równania przez $2$ i dodaniu równań otrzymujemy

$5x=20$ $5x=18$ $3x=20$ $5y=20$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Quiz na żywo — 3 pytania

13. Co warto zrobić przed eliminacją niewiadomej?

Uprościć nawiasy i mianowniki Podnieść równania do kwadratu Zamienić $x$ z $y$ Podzielić jedno równanie przez drugie

14. W układzie $\frac{x+y}{5}=3$, $x-y=4$ pierwsze równanie po pomnożeniu przez $5$ ma postać

$x+y=3$ $x+y=8$ $5x+5y=3$ $x+y=15$

15. Po opuszczeniu nawiasu w $2-(x+y)=5$ otrzymujemy

$2-x+y=5$ $2-x-y=5$ $2+x+y=5$ $2-x-y=-5$

Zapamiętaj

Uprościsz równania przed rozwiązaniem układu. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

← Spis kursu Moduł 06 · Dobór metody i równania równoważnePoprzednia Moduł 08 · Układamy układ z treści zadaniaNastępna

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań