GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 09

Zadania o cenach i zakupach

PPrezentacja dla nauczyciela

Zamodelujesz łączny koszt kilku rodzajów produktów. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Ceny jednostkowe i liczby kupionych produktów tworzą liniowe zależności. Dwie różne paragonowe sytuacje dają układ dwóch równań.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Wzory i zasady do zapamiętania

Koszt zakupu = liczba sztuk × cena jednostkowa, zsumowane dla wszystkich produktów.

Przykład w skrócie: 3 bułki i 2 drożdżówki kosztują 13 zł, a 1 bułka i 2 drożdżówki 7 zł. Odejmując równania stronami, dostajemy 2b = 6, więc b = 3 i d = 2 zł.

Trzy bilety i dwa napoje kosztują 32 zł, a jeden bilet i dwa napoje 16 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Oznaczamy b i n: 3b + 2n = 32, b + 2n = 16. Odejmujemy równania: 2b = 16, więc b = 8 i n = 4 zł.
Za 2 zeszyty i 3 długopisy zapłacono 18 zł, a za 4 zeszyty i 1 długopis 16 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Mamy 2z + 3d = 18 oraz 4z + d = 16. Z drugiego d = 16 − 4z; podstawiamy: 2z + 48 − 12z = 18, więc 10z = 30, z = 3 i d = 4 zł.

1. Koszt zakupu kilku rodzajów produktów opisuje wyrażenie

suma iloczynów liczby sztuk i ceny jednostkowej iloczyn sumy sztuk i sumy cen jednostkowych stosunek liczby sztuk do ceny jednostkowej różnica cen jednostkowych pomnożona przez liczbę sztuk

2. Po co w zadaniu o zakupach potrzebne są dwa różne paragony?

Żeby sprawdzić, czy ceny są liczbami całkowitymi Bo dwa różne równania pozwalają wyznaczyć dwie nieznane ceny Bo jeden paragon zawsze zawiera błąd Żeby ustalić, który produkt jest droższy

3. Sok kosztuje $4$ zł, a kanapka $5$ zł. Ile kosztują $2$ soki i $3$ kanapki?

$17$ zł $20$ zł $23$ zł $27$ zł

Jak to rozpoznać?

Dwa soki i trzy kanapki kosztują 23 zł, a jeden sok i dwie kanapki 14 zł. Niech s i k oznaczają ceny. Odejmujemy dwukrotność drugiego równania od pierwszego: −k=−5, więc k=5, a s=4.

Strategia

Zachowaj spójność jednostek: cena w zł, ilość w sztukach. Sprawdź oba rachunki kosztu po wyznaczeniu cen.

Przykład rozwiązany

Trzy bilety normalne i dwa ulgowe kosztują 61 zł, a dwa normalne i trzy ulgowe 54 zł. Wyznacz ceny biletów.

3n + 2u = 61 oraz 2n + 3u = 54.
Mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 2: 9n + 6u = 183 oraz 4n + 6u = 108.
Odejmujemy: 5n = 75, więc n = 15.
3 · 15 + 2u = 61, więc 2u = 16 i u = 8.

Odpowiedź: Bilet normalny 15 zł, ulgowy 8 zł.

Przykład rozwiązany

Dwa bilety normalne i trzy ulgowe kosztują 60 zł. Bilet ulgowy jest o 5 zł tańszy od normalnego. Wyznacz ceny biletów.

2n + 3u = 60 oraz u = n − 5.
Podstawiamy: 2n + 3(n − 5) = 60.
5n − 15 = 60, więc 5n = 75 i n = 15.
u = 15 − 5 = 10. Sprawdzenie: 2 · 15 + 3 · 10 = 30 + 30 = 60.

Odpowiedź: Bilet normalny 15 zł, ulgowy 10 zł.

4. W układzie $3n+2u=61$ i $2n+3u=54$ aby wyeliminować $u$, można

dodać równania bez mnożenia pomnożyć pierwsze przez $2$, drugie przez $3$ i dodać odjąć od siebie wyrazy wolne $61-54$ pomnożyć pierwsze przez $3$, drugie przez $2$ i odjąć równania

5. Po odjęciu równań $9n+6u=183$ i $4n+6u=108$ otrzymujemy

$5n=75$ $5n=291$ $13n=291$ $5u=75$

6. Bilety spełniają $3n+2u=61$ i $2n+3u=54$, a $n=15$. Bilet ulgowy kosztuje

$15$ zł $8$ zł $16$ zł $12$ zł

Rozwiąż samodzielnie

Dwa bilety autobusowe i trzy tramwajowe kosztują 31 zł. Jeden autobusowy i jeden tramwajowy kosztują 12 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Oznaczmy ceny a,t: 2a+3t=31, a+t=12. Podwajamy drugie: 2a+2t=24. Odejmujemy: t=7, a=5 zł.
Za 4 bułki i 2 drożdżówki zapłacono 18 zł, a za 2 bułki i 3 drożdżówki 19 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Niech b,d będą cenami. 4b+2d=18, 2b+3d=19. Pierwsze dzielimy przez 2: 2b+d=9. Odejmujemy od drugiego: 2d=10, d=5, b=2 zł.

7. Dwa bilety autobusowe i trzy tramwajowe kosztują $31$ zł, a jeden autobusowy i jeden tramwajowy $12$ zł. Bilet tramwajowy kosztuje

$5$ zł $12$ zł $7$ zł $6$ zł

8. Za $4$ bułki i $2$ drożdżówki zapłacono $18$ zł, a za $2$ bułki i $3$ drożdżówki $19$ zł. Bułka kosztuje

$5$ zł $3$ zł $4$ zł $2$ zł

9. Dzieląc równanie $4b+2d=18$ przez $2$ otrzymujemy

$2b+d=9$ $2b+2d=9$ $2b+d=18$ $4b+d=9$

Zadania dodatkowe

Trzy soki i dwie wody kosztują 19 zł, a dwa soki i trzy wody 16 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. 3s + 2w = 19 oraz 2s + 3w = 16.
Krok 2. Mnożymy pierwsze przez 3, a drugie przez 2: 9s + 6w = 57 oraz 4s + 6w = 32.
Krok 3. Odejmujemy: 5s = 25, więc s = 5.
Krok 4. 15 + 2w = 19, więc w = 2.
Odpowiedź: sok 5 zł, woda 2 zł.
Za cztery bilety normalne i dwa ulgowe zapłacono 62 zł. Bilet ulgowy jest o 8 zł tańszy od normalnego. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. 4n + 2u = 62 oraz u = n − 8.
Krok 2. Podstawiamy: 4n + 2(n − 8) = 62.
Krok 3. 6n − 16 = 62, więc 6n = 78 i n = 13.
Krok 4. u = 13 − 8 = 5.
Odpowiedź: bilet normalny 13 zł, ulgowy 5 zł. Sprawdzenie: 4·13 + 2·5 = 52 + 10 = 62.

10. Trzy soki i dwie wody kosztują $19$ zł, a dwa soki i trzy wody $16$ zł. Sok kosztuje

$2$ zł $5$ zł $3$ zł $16$ zł

11. W zadaniu o biletach mamy $4n+2u=62$ oraz $u=n-8$. Po podstawieniu otrzymujemy

$6n=78$ $6n=62$ $4n=62$ $6n=46$

12. Ceny biletów wyszły $n=13$ zł i $u=5$ zł. Który rachunek potwierdza treść zadania?

$4\cdot 13+2\cdot 5=62$ $4\cdot 13+2\cdot 5=52$ $13+5=62$ $4\cdot 5+2\cdot 13=62$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

13. Cena $x$ zeszytów po $a$ zł i $y$ długopisów po $b$ zł wynosi

$ax+by$ $a+b+x+y$ $xy(a+b)$ $a/x+b/y$

14. Dwa soki i kanapka kosztują $13$ zł, a sok i kanapka $8$ zł. Ceny soku i kanapki to

$4$ i $4$ zł $5$ i $3$ zł $3$ i $5$ zł $6$ i $2$ zł

15. Po wyznaczeniu cen w zadaniu zakupowym najlepiej

zaokrąglić ceny do pełnych złotych odrzucić mniejszą cenę sprawdzić oba koszty z treści zamienić jednostki na procenty

Zapamiętaj

Zamodelujesz łączny koszt kilku rodzajów produktów. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.