Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 12

Geometria i wymiary figur

PPrezentacja dla nauczyciela

Wykorzystasz układ do wyznaczenia boków, obwodu lub wymiarów. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

W geometrii niewiadome często oznaczają długości. Warunki na obwód, sumę boków lub różnicę długości tworzą równania.

a a b b Obwód = 2a + 2b
Boki prostokąta oznaczamy a i b. Obwód to suma czterech boków: a+b+a+b = 2a+2b.

Mini-przykład. Prostokąt ma obwód 26 cm, a długość jest o 3 cm większa od szerokości. Oznaczmy długość przez a, szerokość przez b. Wtedy a+b=13 oraz a−b=3. Dodając równania, otrzymujemy 2a=16, więc a=8 cm i b=5 cm. Sprawdzenie: 2·8+2·5=26 cm.

  1. Prostokąt ma obwód 28 cm, a dłuższy bok jest o 2 cm większy od krótszego. Wyznacz oba boki.

    Pokaż rozwiązanie
    a+b=14 oraz a−b=2. Dodając, 2a=16, więc a=8 cm i b=6 cm. Sprawdzenie: 2·8+2·6=28 cm.

  2. Trójkąt ma boki 7 cm, 9 cm i c. Jego obwód wynosi 24 cm. Wyznacz brakujący bok.

    Pokaż rozwiązanie
    Korzystamy ze wzoru Obw = a+b+c: 7+9+c=24, więc c=8 cm. Sprawdzenie: 7+9+8=24 cm.
1. Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ wynosi:
2. Dlaczego wymiary figury nie mogą być ujemne?
3. Prostokąt ma obwód 34 cm, a bok $a$ jest o 3 cm dłuższy od boku $b$. Który układ opisuje zadanie?

Jak to rozpoznać?

Prostokąt ma obwód 34 cm, a długość jest o 3 cm większa od szerokości. Oznaczmy długość przez a, szerokość przez b. Mamy 2a+2b=34 oraz a−b=3. Po uproszczeniu a+b=17. Dodając równania: 2a=20, a=10, b=7 cm.

Wzory i zasady do zapamiętania

Obwód prostokąta: P=2a+2b. Obwód trójkąta: Obw = a + b + c. Długości boków muszą być dodatnie.

Strategia

Zapisz wzór geometryczny, a dopiero potem podstaw oznaczenia. Po obliczeniu sprawdź oba warunki i jednostki.

Przykład rozwiązany

Prostokąt ma obwód 36 cm, a długość jest o 4 cm większa od szerokości. Wyznacz boki.

  1. 2a + 2b = 36, więc a + b = 18.
  2. a − b = 4.
  3. Dodajemy równania: 2a = 22, więc a = 11.
  4. b = 18 − 11 = 7.
  5. Sprawdzenie: 2·11 + 2·7 = 36 cm.

Odpowiedź: 11 cm i 7 cm.

Przykład 2 — trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny ma obwód 20 cm. Każde ramię jest o 1 cm dłuższe od podstawy. Wyznacz boki.

  1. Oznaczmy podstawę przez x, a ramię przez y. Wtedy x + 2y = 20 oraz y = x + 1.
  2. Podstawiamy: x + 2(x + 1) = 20, więc 3x + 2 = 20.
  3. x = 6, y = 7.
  4. Sprawdzenie: 6 + 2·7 = 20 cm.

Odpowiedź: podstawa 6 cm, ramiona po 7 cm.

4. Prostokąt ma obwód 34 cm, a długość jest o 3 cm większa od szerokości. Dłuższy bok ma:
5. Po dodaniu stronami równań $a+b=17$ i $a-b=3$ otrzymujemy:
6. Prostokąt ma obwód 36 cm, a długość jest o 4 cm większa od szerokości. Boki mają:

Rozwiąż samodzielnie

  1. Prostokąt ma obwód 50 cm, a jeden bok jest o 5 cm dłuższy od drugiego. Wyznacz boki.

    Pokaż rozwiązanie
    a+b=25, a−b=5. Dodając, 2a=30, a=15, b=10 cm. Sprawdzenie: 2·15+2·10=50 cm.

  2. Trójkąt równoramienny ma obwód 38 cm. Każde ramię jest o 4 cm dłuższe od podstawy. Wyznacz długości boków.

    Pokaż rozwiązanie
    Oznaczmy podstawę przez x, a ramię przez y. Mamy x+2y=38 oraz y−x=4. Podstawiamy y=x+4: x+2(x+4)=38, więc 3x=30, x=10, y=14 cm. Boki: 10 cm, 14 cm, 14 cm. Sprawdzenie: 10+2·14=38 cm.

  3. Prostokąt ma obwód 40 cm. Jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Wyznacz boki.

    Pokaż rozwiązanie
    Niech krótszy bok ma b, a dłuższy a=3b. Wtedy 2·3b+2b=40, czyli 8b=40 i b=5 cm, a=15 cm. Sprawdzenie: 2·15+2·5=40 cm.
7. Prostokąt ma obwód 50 cm, a jeden bok jest o 5 cm dłuższy od drugiego. Krótszy bok ma:
8. Trójkąt równoramienny ma obwód 38 cm, a każde ramię jest o 4 cm dłuższe od podstawy. Podstawa ma:
9. Który układ opisuje trójkąt równoramienny o obwodzie 38 cm, w którym ramię $y$ jest o 4 cm dłuższe od podstawy $x$?

Zadania dodatkowe

  1. Prostokąt ma obwód 46 cm, a długość jest o 5 cm większa od szerokości. Wyznacz boki.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. 2a + 2b = 46, więc a + b = 23.

    Krok 2. a − b = 5.

    Krok 3. Dodajemy równania: 2a = 28, więc a = 14 i b = 9.

    Odpowiedź: 14 cm i 9 cm. Sprawdzenie: 2·14+2·9=46 cm.

  2. Trójkąt równoramienny ma obwód 40 cm. Ramię jest o 5 cm dłuższe od podstawy. Wyznacz boki.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. x + 2y = 40, gdzie x to podstawa, a y ramię.

    Krok 2. y = x + 5, więc x + 2(x + 5) = 40.

    Krok 3. 3x = 30, więc x = 10 i y = 15.

    Odpowiedź: podstawa 10 cm, ramiona po 15 cm. Sprawdzenie: 10+2·15=40 cm.

  3. Obwód trójkąta wynosi 30 cm. Suma dwóch boków a i b wynosi 22 cm, a ich różnica 6 cm. Wyznacz wszystkie boki.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. a + b = 22 oraz a − b = 6, więc 2a = 28 i a = 14, b = 8.

    Krok 2. Trzeci bok: c = 30 − 22 = 8 cm.

    Odpowiedź: 14 cm, 8 cm i 8 cm. Sprawdzenie: 14+8+8=30 cm.

10. Prostokąt ma obwód 46 cm, a długość jest o 5 cm większa od szerokości. Boki mają:
11. Trójkąt równoramienny ma obwód 40 cm, a ramię jest o 5 cm dłuższe od podstawy. Ramię ma:
12. Prostokąt ma obwód 46 cm, a długość jest o 5 cm większa od szerokości. Pole tego prostokąta wynosi:

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Wykorzystasz układ do wyznaczenia boków, obwodu lub wymiarów. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. W zadaniu o prostokącie otrzymano $b=-3$ cm. Co należy zrobić?
14. Suma dwóch sąsiednich boków prostokąta wynosi 18 cm (czyli połowa obwodu), a ich różnica 4 cm. Dłuższy bok ma 11 cm. Krótszy bok ma:
15. Prostokąt ma obwód 30 cm i pole 54 cm². Który układ pozwoli wyznaczyć boki?

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań