GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 15

Powtórka i typowe pułapki

PPrezentacja dla nauczyciela

Rozpoznasz metodę, nazwiesz rodzaj układu i unikniesz typowych błędów. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

W tej powtórce połączysz obliczanie, interpretację wykresu i sprawdzanie sensu odpowiedzi.

Mini-przykład. Para (3,1) spełnia układ x+y=4, 2x−y=5, bo 3+1=4 oraz 2·3−1=5. Para jest rozwiązaniem, gdy spełnia oba równania jednocześnie.

1. Sprawdź, czy para (2,4) spełnia układ x+y=6, x−y=−2.

   Pokaż rozwiązanie

   2+4=6 oraz 2−4=−2. Oba równania są prawdziwe, więc para (2,4) jest rozwiązaniem.

2. Odczytaj z wykresu punkt przecięcia prostych 2x+y=10 i x−y=2, a następnie sprawdź odczyt rachunkiem.

   Pokaż rozwiązanie

   Z wykresu odczytujemy punkt (4,2). Sprawdzenie: 2·4+2=10 oraz 4−2=2. Odczyt jest poprawny.

Jak to rozpoznać?

Najczęstsze błędy to pomylenie kolejności (x,y), zmiana tylko jednej strony równania, zgubienie minusa przy odejmowaniu oraz brak odpowiedzi w kontekście. Pamiętaj: rozwiązanie jest parą, a każdy jej element musi pasować do obu równań.

Metoda eliminacji. Gdy współczynniki przy jednej zmiennej są przeciwne, dodaj równania stronami; gdy są równe, odejmij. Na przykład w układzie 2x+y=9, x−y=0 dodajemy równania: 3x=9, więc x=3 i y=3.

Liczba rozwiązań. Jeśli drugie równanie jest k-krotnością pierwszego wraz z prawą stroną, proste się pokrywają i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli lewe strony są proporcjonalne, a prawe nie, proste są równoległe i różne — układ jest sprzeczny. W pozostałych przypadkach rozwiązanie jest dokładnie jedno.

Rozwiąż samodzielnie

1. Określ liczbę rozwiązań układu: 3x−6y=9, x−2y=3.

   Pokaż rozwiązanie

   Pierwsze równanie jest trzykrotnością drugiego, łącznie z prawą stroną. Proste się pokrywają, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

2. Rozwiąż układ: 3x+y=11, x−y=1.

   Pokaż rozwiązanie

   Dodajemy równania: 4x=12, więc x=3. Z drugiego równania 3−y=1, więc y=2. Sprawdzenie: 3·3+2=11 oraz 3−2=1. Odpowiedź: (3,2).

3. Określ liczbę rozwiązań układu: x+y=5, 2x+2y=12.

   Pokaż rozwiązanie

   Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością pierwszej, ale prawa powinna wynosić 10, a wynosi 12. Proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

Zadania dodatkowe

1. Bilet normalny jest o 10 zł droższy od ulgowego. Za 2 bilety normalne i 3 ulgowe zapłacono 95 zł. Wyznacz ceny biletów i oceń, czy wynik ma sens.

   Pokaż rozwiązanie

   Krok 1. Oznaczmy cenę normalnego przez x, a ulgowego przez y: x−y=10 oraz 2x+3y=95.

   Krok 2. Podstawiamy x=y+10: 2(y+10)+3y=95, więc 5y=75 i y=15 zł, x=25 zł.

   Krok 3. Sprawdzenie: 2·25+3·15=95 oraz 25−15=10. Obie ceny są dodatnie, więc wynik ma sens.

   Odpowiedź: bilet normalny 25 zł, ulgowy 15 zł.

2. Określ liczbę rozwiązań układu 2x + 3y = 8, 4x + 6y = 10.

   Pokaż rozwiązanie

   Krok 1. Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego.

   Krok 2. Prawa strona powinna wynosić 16, a wynosi 10.

   Odpowiedź: proste są równoległe i różne — układ jest sprzeczny.

3. Rozwiąż układ 2x + 3y = 12, x − y = 1 i sprawdź wynik.

   Pokaż rozwiązanie

   Krok 1. Z drugiego równania x = y + 1.

   Krok 2. Podstawiamy: 2(y + 1) + 3y = 12, więc 5y = 10 i y = 2.

   Krok 3. x = 3. Sprawdzenie: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 oraz 3 − 2 = 1.

   Odpowiedź: (3, 2).

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.