Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26

← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit

Matematyka · liceum · poziom podstawowy

Układy równań — matematyka liceum, poziom podstawowy › Moduł 08 z 15

W materiale Wprowadzenie Jak to rozpoznać? Rozwiąż samodzielnie Zadania dodatkowe Quiz kontrolny

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 08

Układamy układ z treści zadania

PPrezentacja dla nauczyciela

Nazwiesz niewiadome, zapiszesz dwa warunki i zinterpretujesz wynik. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Zadanie tekstowe zamienia opis sytuacji na dwa równania. Najpierw zdecyduj, co oznacza x i y, a potem przełóż zdania na zależności.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Przykład w skrócie: za dwa bilety zapłacono 30 zł, a bilet normalny jest o 6 zł droższy od ulgowego. Oznaczamy ceny przez u i n: u + n = 30 oraz n = u + 6, więc u = 12 i n = 18.

W zadaniach o zakupach pamiętaj: koszt zakupu = liczba sztuk × cena jednostkowa, a przy kilku produktach koszty dodajemy.

Suma dwóch liczb wynosi 25, a ich różnica 7. Wyznacz te liczby.
Pokaż rozwiązanie
Oznaczamy liczby x i y: x + y = 25, x − y = 7. Dodajemy równania: 2x = 32, więc x = 16 i y = 9.
Za 2 zeszyty i 1 długopis zapłacono 13 zł. Zeszyt jest o 2 zł droższy od długopisu. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Niech z i d będą cenami: 2z + d = 13 oraz z = d + 2. Podstawiamy: 2(d + 2) + d = 13, czyli 3d = 9, d = 3 i z = 5 zł.

Quiz na żywo — 3 pytania

1. Od czego zaczynasz zadanie tekstowe, które prowadzi do układu równań?

Od ustalenia, co oznaczają $x$ i $y$ Od narysowania obu prostych w układzie współrzędnych Od zgadnięcia pary liczb i sprawdzenia jej Od dodania równań, których jeszcze nie ma

2. Ile niezależnych warunków trzeba, aby jednoznacznie wyznaczyć dwie niewiadome?

Jeden, jeśli jest szczegółowo opisany Dwa niezależne warunki Trzy, bo wynik trzeba jeszcze sprawdzić Tyle, ile liczb występuje w treści zadania

3. Rozwiązanie układu dało cenę długopisu $d=-2$ zł. Co zrobić?

Odrzucić wynik i poprawić model, bo cena nie może być ujemna Zapisać wynik, bo rachunek był poprawny Zmienić znak na dodatni i kontynuować Zaokrąglić cenę do zera

Jak to rozpoznać?

Dwa bilety kosztują 34 zł: jeden ulgowy i jeden normalny. Wiemy też, że bilet normalny kosztuje o 8 zł więcej. Oznaczmy ceny przez u i n. Mamy u+n=34 oraz n=u+8. Po podstawieniu: u+(u+8)=34, więc 2u=26, u=13, a n=21.

Wzory i zasady do zapamiętania

Niewiadome + dwa niezależne warunki = układ równań.

Strategia

Zapisz jednostki i znaczenie zmiennych. Po rozwiązaniu sprawdź, czy wynik ma sens w kontekście (np. cena nie jest ujemna).

Przykład rozwiązany

Suma dwóch liczb wynosi 54, a ich różnica 16. Wyznacz te liczby.

x + y = 54 oraz x − y = 16.
Dodajemy równania: 2x = 70, więc x = 35.
y = 54 − 35 = 19.
Sprawdzenie: 35 − 19 = 16.

Odpowiedź: 35 i 19.

Quiz na żywo — 3 pytania

4. Ceny biletów $u$ i $n$ spełniają $u+n=34$ oraz $n=u+8$. Po podstawieniu do sumy otrzymujemy

$2u+8=34$ $2u=34$ $2n+8=34$ $u+8=34$

5. Z układu $u+n=34$ i $n-u=8$ wynika, że bilet ulgowy kosztuje

$13$ zł $21$ zł $8$ zł $17$ zł

6. Zdanie „bilet normalny jest o $8$ zł droższy od ulgowego” zapisujemy jako

$u=n+8$ $n=u+8$ $n=8u$ $n+u=8$

Rozwiąż samodzielnie

Suma dwóch liczb wynosi 31, a ich różnica 9. Wyznacz te liczby.
Pokaż rozwiązanie
Oznaczamy liczby x i y: x+y=31, x−y=9. Dodając równania, 2x=40, więc x=20, y=11.
Za 3 zeszyty i 2 długopisy zapłacono 26 zł. Zeszyt jest o 2 zł droższy od długopisu. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
Niech z oznacza cenę zeszytu, d długopisu. 3z+2d=26 i z=d+2. Podstawiamy: 3(d+2)+2d=26, 5d=20, d=4, z=6 zł.

Quiz na żywo — 3 pytania

7. Suma dwóch liczb wynosi $31$, a ich różnica $9$. Większa liczba to

$11$ $9$ $20$ $22$

8. Za $3$ zeszyty i $2$ długopisy zapłacono $26$ zł, a zeszyt jest o $2$ zł droższy od długopisu. Długopis kosztuje

$6$ zł $5$ zł $3$ zł $4$ zł

9. W zadaniu o zeszytach i długopisach mamy $3z+2d=26$ oraz $z=d+2$. Po podstawieniu drugiego równania do pierwszego otrzymujemy

$5d=20$ $5d=26$ $3d+2d=26$ $5d=24$

Zadania dodatkowe

Suma dwóch liczb wynosi 46, a jedna z nich jest o 12 mniejsza od drugiej. Wyznacz te liczby.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Oznaczamy mniejszą liczbę przez m, większą przez w: m + w = 46, w = m + 12.
Krok 2. Podstawiamy: m + (m + 12) = 46, więc 2m = 34 i m = 17.
Krok 3. w = 17 + 12 = 29.
Odpowiedź: 17 i 29.
W klasie jest 28 uczniów. Dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ilu chłopców i ile dziewcząt?
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. d + c = 28 oraz d − c = 4.
Krok 2. Dodajemy równania: 2d = 32, więc d = 16.
Krok 3. c = 16 − 4 = 12.
Odpowiedź: 12 chłopców i 16 dziewcząt.

Quiz na żywo — 3 pytania

10. Suma dwóch liczb wynosi $46$, a jedna z nich jest o $12$ mniejsza od drugiej. Mniejsza liczba to

$17$ $29$ $12$ $23$

11. W klasie jest $28$ uczniów, a dziewcząt jest o $4$ więcej niż chłopców. Chłopców jest

$16$ $14$ $12$ $4$

12. Oznaczając liczbę chłopców przez $c$, a dziewcząt przez $d$, warunek „dziewcząt jest o $4$ więcej” zapisujemy jako

$c=d+4$ $d=4c$ $c+d=4$ $d=c+4$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Quiz na żywo — 3 pytania

13. Suma $x$ i $y$ wynosi $18$, a $x$ jest o $4$ większe od $y$. Który układ pasuje?

$x-y=18$, $x+y=4$ $x+y=4$, $y-x=18$ $2x+y=18$, $x=4$ $x+y=18$, $x-y=4$

14. „Za $4$ bilety normalne i $2$ ulgowe zapłacono $62$ zł” zapisujemy jako

$2n+4u=62$ $6(n+u)=62$ $4n+2u=62$ $4n-2u=62$

15. Dlaczego trzeba opisać niewiadome przed zapisaniem układu?

Żeby układ miał zawsze rozwiązanie całkowite Aby wiadomo było, co oznaczają obliczone liczby Aby uniknąć drugiego równania Żeby nie wykonywać sprawdzenia

Zapamiętaj

Nazwiesz niewiadome, zapiszesz dwa warunki i zinterpretujesz wynik. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

← Spis kursu Moduł 07 · Układy z nawiasami i ułamkamiPoprzednia Moduł 09 · Zadania o cenach i zakupachNastępna

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań