GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 02

Układ jako dwie proste

PPrezentacja dla nauczyciela

Zamienisz równania na wykresy i odczytasz rozwiązanie jako punkt przecięcia. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Para spełniająca dwa równania leży na obu prostych, więc jest ich punktem wspólnym.

Mini-przykład. Proste y = 2x − 1 i y = −x + 5 przecinają się w punkcie (2, 3), bo 2·2 − 1 = 3 oraz −2 + 5 = 3.

1. Czy proste y = x + 1 i y = −x + 3 przecinają się w punkcie (1, 2)?

   Pokaż rozwiązanie

   Dla x = 1 pierwsza prosta daje y = 1 + 1 = 2, a druga y = −1 + 3 = 2. Punkt (1, 2) leży na obu prostych, więc jest ich punktem przecięcia.

2. Sprawdź, że proste y = x i y = −x + 6 przecinają się w punkcie (3, 3).

   Pokaż rozwiązanie

   Proste przecinają się w punkcie (3, 3), bo 3 = 3 oraz 3 = −3 + 6. Współrzędne tego punktu spełniają oba równania.

Jak to rozpoznać?

Układ y=2x−1 oraz y=−x+5 ma rozwiązanie w punkcie przecięcia. Z wykresu widać (2,3); rachunkowo 2x−1=−x+5, zatem 3x=6, x=2 i y=3.

Rozwiąż samodzielnie

1. Odczytaj rozwiązanie układu y=x oraz y=−x+4.

   Pokaż rozwiązanie

   Proste przecinają się w punkcie (2,2), bo 2=−2+4. Rozwiązaniem jest (2,2).

2. Odczytaj z wykresu punkt przecięcia prostych y = −x + 2 i y = x − 1; potwierdź wynik przyrównaniem prawych stron.

   Pokaż rozwiązanie

   Z wykresu punkt przecięcia to (3/2, 1/2). Przyrównanie: −x + 2 = x − 1, więc 2x = 3 i x = 3/2; wtedy y = 3/2 − 1 = 1/2.

3. Sprawdź rachunkiem, że proste y = x + 1 i y = −2x + 4 przecinają się w punkcie (1, 2).

   Pokaż rozwiązanie

   Dla x = 1 pierwsza prosta daje y = 1 + 1 = 2, a druga y = −2·1 + 4 = 2. Obie dają ten sam punkt, więc (1, 2) jest punktem przecięcia.

Zadania dodatkowe

1. Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 2x − 3 i y = −x + 6.

   Pokaż rozwiązanie

   Krok 1. Przyrównujemy: 2x − 3 = −x + 6.

   Krok 2. 3x = 9, więc x = 3.

   Krok 3. y = 2·3 − 3 = 3.

   Odpowiedź: (3, 3).

2. Która z prostych y = x + 1, y = 2x − 1, y = −x + 6 przechodzi przez punkt (2, 4)? Sprawdź podstawieniem.

   Pokaż rozwiązanie

   Krok 1. y = x + 1 daje 2 + 1 = 3, a nie 4.

   Krok 2. y = 2x − 1 daje 4 − 1 = 3, a nie 4.

   Krok 3. y = −x + 6 daje −2 + 6 = 4 — zgadza się.

   Odpowiedź: tylko prosta y = −x + 6 przechodzi przez punkt (2, 4).

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.