GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 05

Metoda przeciwnych współczynników

PPrezentacja dla nauczyciela

Dodasz lub odejmiesz równania tak, by wyeliminować jedną niewiadomą. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Gdy współczynniki jednej niewiadomej są równe lub przeciwne, dodanie albo odjęcie równań usuwa tę niewiadomą.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. W układzie 2x + 3y = 12, 2x − 3y = 0 dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3, a z 6 + 3y = 12 mamy y = 2.

Rozwiąż: x + y = 6, x − y = 2.
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy równania: 2x = 8, więc x = 4. Wtedy 4 + y = 6, czyli y = 2. Rozwiązanie: (4, 2).
Rozwiąż: 3x + y = 10, 3x − y = 2.
Pokaż rozwiązanie
Odejmujemy równania: 2y = 8, więc y = 4. Wtedy 3x + 4 = 10, czyli 3x = 6 i x = 2. Rozwiązanie: (2, 4).

1. Gdy współczynniki przy tej samej niewiadomej są przeciwne, równania należy

odjąć stronami dodać stronami pomnożyć stronami podzielić stronami

2. Gdy współczynniki przy tej samej niewiadomej są równe, równania należy

dodać stronami pomnożyć stronami odjąć stronami zamienić miejscami

3. Dodanie równań $5x+2y=11$ i $3x-2y=5$ daje

$8x+4y=16$ $2x=6$ $8x=6$ $8x=16$

Jak to rozpoznać?

W układzie 2x+3y=12 oraz 2x−3y=0 dodajemy równania: 4x=12, więc x=3. Podstawienie daje 6+3y=12, zatem y=2.

Wzory i zasady do zapamiętania

Jeśli współczynniki są równe — odejmij równania; jeśli przeciwne — dodaj je.

Strategia

Operację wykonuj po obu stronach równań. Gdy współczynniki jeszcze się nie redukują, pomnóż jedno lub oba równania przez dobrane liczby.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: \[\begin{cases}2x + 3y = 12 \\ 2x - 3y = 0\end{cases}\]

Dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3.
Podstawiamy: 2 · 3 + 3y = 12, czyli 6 + 3y = 12.
3y = 6, więc y = 2.

Odpowiedź: (3, 2).

Przykład rozwiązany (gdy współczynniki nie pasują)

Rozwiąż: \[\begin{cases}x + 2y = 8 \\ 2x + 3y = 13\end{cases}\]

Mnożymy pierwsze równanie przez 2: 2x + 4y = 16.
Odejmujemy drugie równanie: (2x + 4y) − (2x + 3y) = 16 − 13, czyli y = 3.
x + 2 · 3 = 8, więc x = 2.
Sprawdzenie: 2 · 2 + 3 · 3 = 13.

Odpowiedź: (2, 3).

Gdy zostaje sama liczba

Po dodaniu lub odjęciu równań może zniknąć także druga niewiadoma. Zapis 0=5 jest fałszywy, więc układ jest sprzeczny (proste równoległe). Zapis 0=0 jest prawdziwy, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się).

4. Jak najłatwiej wyeliminować $x$ z układu $2x+y=7$, $2x-y=1$?

Odejmując równania Dodając równania Mnożąc pierwsze równanie przez $2$ Zamieniając $x$ z $y$

5. Co otrzymujemy, dodając równania $3x+y=8$ i $x-y=4$?

$2x+2y=12$ $4x=12$ $4x=4$ $2x=12$

6. W układzie $2x+3y=9$, $4x-3y=3$ którą operację wybierzesz?

Odejmowanie równań Dzielenie równań stronami Dodawanie równań Zamianę stron równań

Rozwiąż samodzielnie

Rozwiąż: 3x+2y=16, 3x−y=7.
Pokaż rozwiązanie
Odejmujemy drugie równanie od pierwszego: 3y=9, więc y=3. Z 3x−3=7 mamy 3x=10, x=10/3. Para (10/3,3).
Rozwiąż: 2x+3y=13, 4x−3y=5.
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy równania: 6x=18, więc x=3. Podstawiamy: 6+3y=13, stąd y=7/3. Para (3,7/3).
Rozwiąż: 3x + 2y = 12, 2x + 3y = 13.
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 2: 9x + 6y = 36 oraz 4x + 6y = 26. Odejmujemy: 5x = 10, więc x = 2. Wtedy 6 + 2y = 12, czyli y = 3. Rozwiązanie: (2, 3). Sprawdzenie: 2·2 + 3·3 = 13.

7. Rozwiąż $3x+2y=16$, $3x-y=7$.

$(3, 10/3)$ $(2, 3)$ $(10/3, -3)$ $(10/3, 3)$

8. Rozwiąż $2x+3y=13$, $4x-3y=5$.

$(3, 7/3)$ $(7/3, 3)$ $(3, 2)$ $(2, 3)$

9. W układzie $2x+3y=13$, $4x-3y=5$ dodanie równań eliminuje

$x$, bo współczynniki są równe $y$, bo współczynniki są przeciwne obie niewiadome żadną, bo trzeba najpierw pomnożyć

Zadania dodatkowe

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: 3x + 4y = 10, 3x − 2y = 4.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Odejmujemy równania stronami: (3x + 4y) − (3x − 2y) = 10 − 4.
Krok 2. 6y = 6, więc y = 1.
Krok 3. 3x + 4 = 10, więc x = 2.
Odpowiedź: (2, 1).
Rozwiąż: 5x − 2y = 9, 3x + 2y = 7.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Dodajemy równania: 8x = 16, więc x = 2.
Krok 2. 5·2 − 2y = 9, więc 10 − 2y = 9.
Krok 3. y = ½.
Odpowiedź: (2, ½).
Rozwiąż: x + y = 4, 2x + 3y = 11.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Mnożymy pierwsze równanie przez 2: 2x + 2y = 8.
Krok 2. Odejmujemy od drugiego: (2x + 3y) − (2x + 2y) = 11 − 8, więc y = 3.
Krok 3. x + 3 = 4, więc x = 1.
Odpowiedź: (1, 3). Sprawdzenie: 2·1 + 3·3 = 11.

10. Rozwiąż $3x+4y=10$, $3x-2y=4$.

$(1, 2)$ $(2, -1)$ $(2, 1)$ $(3, 1)$

11. Rozwiąż $5x-2y=9$, $3x+2y=7$.

$(2, 1)$ $(2, -1/2)$ $(1/2, 2)$ $(2, 1/2)$

12. Odejmując stronami równania $3x+4y=10$ i $3x-2y=4$, otrzymujemy

$6y=6$ $6y=14$ $2y=6$ $6x=6$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Dodasz lub odejmiesz równania tak, by wyeliminować jedną niewiadomą. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. W układzie $4x+3y=18$, $2x-3y=6$ najwłaściwsza operacja to

odjęcie równań, bo przy $y$ są przeciwne współczynniki dodanie równań, bo przy $y$ są przeciwne współczynniki pomnożenie pierwszego równania przez $2$ wyznaczenie $y$ z drugiego równania i podstawienie

14. Rozwiąż $2x+y=7$, $2x-y=1$.

$(3, 2)$ $(2, -3)$ $(2, 3)$ $(4, 3)$

15. Po dodaniu równań otrzymano $0=5$. Co to oznacza?

$x=5$ Układ ma jedno rozwiązanie Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań Układ jest sprzeczny