Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 10

Zadania o wieku i liczbach

PPrezentacja dla nauczyciela

Zapiszesz relacje typu „razy tyle” oraz „o tyle więcej”. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

W zadaniach o wieku i liczbach ważne jest ustalenie, o którym momencie lub porównaniu mówi każde zdanie.

x y (9, 36) k: y = 4x l: x + y = 45
Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Przykład w skrócie: siostra jest o 3 lata starsza od brata, a razem mają 21 lat. Oznaczamy wiek brata przez b, a siostry przez s: s = b + 3 oraz b + s = 21, więc b = 9 i s = 12.

  1. Suma wieku dwóch braci wynosi 26 lat, a starszy jest o 4 lata starszy od młodszego. Ile lat ma każdy?

    Pokaż rozwiązanie
    Niech y oznacza wiek młodszego, a y + 4 wiek starszego: y + (y + 4) = 26, więc 2y = 22 i y = 11. Starszy ma 15 lat.

  2. Matka jest trzy razy starsza od córki, a razem mają 48 lat. Ile lat ma każda?

    Pokaż rozwiązanie
    Niech c będzie wiekiem córki: 3c + c = 48, więc 4c = 48 i c = 12. Matka ma 36 lat.
1. Od czego zaczynasz zadanie o wieku?
2. „$x$ jest o $7$ większe od $y$” zapisujemy jako
3. Ojciec ma $36$ lat, a syn $9$. Za $3$ lata będą mieli

Jak to rozpoznać?

Suma wieku rodzeństwa wynosi 30 lat, a starsze jest dwa razy starsze od młodszego. Jeśli s to wiek starszego, m młodszego, układ ma postać s+m=30, s=2m. Stąd 3m=30, m=10, s=20.

Wzory i zasady do zapamiętania

„O 5 więcej” → x=y+5; „dwa razy tyle” → x=2y; „cztery razy większe” czytamy jako „cztery razy tyle”, czyli x=4y.

Strategia

Dla wieku przyszłego lub z przeszłości dodaj albo odejmij ten sam upływ czasu od obu osób. Zwróć uwagę, czy relacja dotyczy teraz, czy innego momentu.

Przykład rozwiązany

Ojciec jest cztery razy starszy od syna. Razem mają 45 lat. Ile lat ma każdy?

  1. o = 4s oraz o + s = 45.
  2. 4s + s = 45, więc 5s = 45.
  3. s = 9, a o = 4 · 9 = 36.

Odpowiedź: Syn 9 lat, ojciec 36 lat.

Przykład rozwiązany

Ojciec jest o 28 lat starszy od syna. Za 6 lat będzie dwa razy starszy od syna. Ile lat ma każdy z nich teraz?

  1. o = s + 28 oraz o + 6 = 2(s + 6).
  2. Podstawiamy: s + 28 + 6 = 2s + 12.
  3. s + 34 = 2s + 12, więc s = 22.
  4. o = 22 + 28 = 50. Sprawdzenie: za 6 lat 56 i 28, czyli 56 = 2 · 28.

Odpowiedź: Syn 22 lata, ojciec 50 lat.

4. Rodzeństwo ma razem $30$ lat, a starsze jest dwa razy starsze od młodszego. Młodsze ma
5. Ojciec jest cztery razy starszy od syna, razem mają $45$ lat. Po podstawieniu $o=4s$ otrzymujemy
6. „$x$ jest cztery razy tyle co $y$” w szkolnym modelu relacji oznacza

Rozwiąż samodzielnie

  1. Suma dwóch liczb wynosi 40. Jedna jest trzy razy większa od drugiej. Wyznacz liczby.

    Pokaż rozwiązanie
    Niech mniejsza będzie x, większa y. x+y=40 oraz y=3x. Zatem 4x=40, x=10 i y=30.

  2. Matka jest obecnie o 24 lata starsza od córki. Za 4 lata będzie trzy razy starsza od córki. Ile lat mają teraz?

    Pokaż rozwiązanie
    Niech m,c oznaczają obecne wieki: m−c=24. Za 4 lata: m+4=3(c+4), czyli m−3c=8. Odejmujemy pierwsze od drugiego: −2c=−16, c=8, m=32.
7. Suma dwóch liczb wynosi $40$, a jedna jest trzy razy większa od drugiej. Mniejsza liczba to
8. Matka jest o $24$ lata starsza od córki, a za $4$ lata będzie trzy razy starsza. Obecny wiek córki to
9. Warunek „za $4$ lata matka będzie trzy razy starsza od córki”, gdzie $m$ i $c$ to obecne wieki, zapisujemy jako

Zadania dodatkowe

  1. Ojciec jest trzy razy starszy od syna, a osiem lat temu był pięć razy starszy. Ile lat ma każdy?

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. o = 3s oraz o − 8 = 5(s − 8).

    Krok 2. Podstawiamy: 3s − 8 = 5s − 40, więc 2s = 32 i s = 16.

    Krok 3. o = 3·16 = 48.

    Odpowiedź: syn 16 lat, ojciec 48 lat. Sprawdzenie: 8 lat temu mieli 8 i 40 lat, czyli 5 razy więcej.

  2. Matka jest o 26 lat starsza od córki. Za 5 lat będzie dwa razy starsza. Ile lat mają teraz?

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. m − c = 26.

    Krok 2. Za 5 lat: m + 5 = 2(c + 5), czyli m − 2c = 5.

    Krok 3. Odejmujemy równania: c = 21, a m = 47.

    Odpowiedź: córka 21 lat, matka 47 lat. Sprawdzenie: za 5 lat 52 i 26.

10. Ojciec jest trzy razy starszy od syna, a osiem lat temu był pięć razy starszy. Syn ma
11. Matka jest o $26$ lat starsza od córki, a za $5$ lat będzie dwa razy starsza. Obecny wiek matki to
12. Otrzymałeś wiek córki $21$ lat i matki $47$ lat. Jak sprawdzić wynik?

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

13. Dwie liczby mają sumę $60$, a większa jest dwa razy tyle co mniejsza. Mniejsza wynosi
14. Dwie liczby mają sumę $25$, a jedna jest o $5$ większa od drugiej. Mniejsza wynosi
15. Ojciec ma $36$ lat, syn $12$. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?
Zapamiętaj

Zapiszesz relacje typu „razy tyle” oraz „o tyle więcej”. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań