GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 13

Interpretacja wyniku i kontrola

PPrezentacja dla nauczyciela

Sprawdzisz rozwiązanie w równaniach oraz ocenisz, czy ma sens w zadaniu. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Rozwiązanie rachunkowe to dopiero część odpowiedzi. W zadaniu tekstowym trzeba podać odpowiedź z jednostką i sprawdzić, czy spełnia warunki.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. Sprawdźmy parę (3,2) w układzie 2x+3y=12, x−y=1: 2·3+3·2=12 oraz 3−2=1. Para spełnia oba równania, więc jest rozwiązaniem. Jeśli x i y oznaczają długości w centymetrach, odpowiedź brzmi: 3 cm i 2 cm.

Sprawdź, czy para (1,4) spełnia układ x+y=5, 2x−y=−2.
Pokaż rozwiązanie
1+4=5 oraz 2·1−4=−2. Oba równania są prawdziwe, więc para (1,4) jest rozwiązaniem.
Rozwiąż układ 2x+y=11, x−y=1 metodą dodawania. Podaj odpowiedź z jednostką, jeśli x i y oznaczają długości w centymetrach.
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy równania: 3x=12, więc x=4. Z drugiego równania 4−y=1, więc y=3. Odpowiedź: 4 cm i 3 cm. Sprawdzenie: 2·4+3=11 oraz 4−3=1.

1. Po rozwiązaniu układu najlepiej sprawdzić wynik przez:

podstawienie do obu równań sprawdzenie tylko większej liczby zaokrąglenie obu liczb zamianę $x$ na $y$

2. Para $(3,2)$ ma być sprawdzona w układzie $2x+3y=12$, $x-y=1$. Które podstawienie jest poprawne?

$2·3+3·2=12$ i $3+2=1$ $2·3+3·2=12$ i $3-2=1$ $2·2+3·3=12$ i $3-2=1$ $2·3-3·2=12$ i $3-2=1$

3. Kiedy w odpowiedzi tekstowej podajemy jednostkę?

tylko gdy wynik jest całkowity nigdy, bo zmienne są liczbami gdy wynik opisuje wielkość z zadania tylko przy układzie nieoznaczonym

Jak to rozpoznać?

W układzie 2x+y=11 oraz x−y=1 współczynniki przy y są przeciwne, więc dodajemy równania stronami: 3x=12, x=4, a y=3. Sprawdzenie: 8+3=11 oraz 4−3=1. Gdy współczynniki przy jednej zmiennej są przeciwne, dodawanie usuwa tę zmienną; gdy są równe, można równania odjąć.

Wzory i zasady do zapamiętania

Metoda dodawania: dodaj równania stronami, gdy współczynniki przy jednej zmiennej są przeciwne. Kontrola: podstaw (x,y) do obu równań; w zadaniu tekstowym sprawdź też sens i jednostkę.

Strategia

Nie zaokrąglaj pośrednich wyników bez potrzeby. Jeśli wynik jest ułamkiem, zachowaj dokładną wartość i dopiero na końcu podaj przybliżenie, gdy zadanie tego wymaga.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż układ: \[\begin{cases}2x + 3y = 12 \\ x - y = 1\end{cases}\]

Mnożymy drugie równanie przez 3: 3x − 3y = 3.
Dodajemy stronami do pierwszego: 5x = 15, więc x = 3.
Z drugiego równania: 3 − y = 1, więc y = 2.
Sprawdzenie: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 oraz 3 − 2 = 1.
Odpowiedź z jednostką: x = 3, y = 2; jeśli x i y oznaczają długości w cm, to 3 cm i 2 cm.

Odpowiedź: (3, 2). Ten sam wynik otrzymasz metodą podstawiania: x = y + 1, więc 2(y + 1) + 3y = 12.

Przykład 2 — zadanie z jednostkami

Za 2 kg jabłek i 1 kg gruszek zapłacono 18 zł. Jabłka są o 3 zł droższe za kilogram od gruszek. Wyznacz ceny.

Oznaczmy cenę jabłek przez a, a gruszek przez g. Wtedy 2a + g = 18 oraz a = g + 3.
Podstawiamy: 2(g + 3) + g = 18, więc 3g = 12 i g = 4.
a = 4 + 3 = 7.
Sprawdzenie: 2·7 + 4 = 18 zł, a ceny są dodatnie.

Odpowiedź: jabłka 7 zł/kg, gruszki 4 zł/kg.

4. W układzie $2x+y=11$ i $x-y=1$ współczynniki przy $y$ są przeciwne, więc najprościej:

podstawić $y=1$ pomnożyć pierwsze równanie przez 2 odjąć równania stronami dodać równania stronami

5. Rozwiązaniem układu $2x+y=11$, $x-y=1$ jest para:

(4,3) (3,4) (4,-3) (5,1)

6. Rozwiązywanie układu doprowadziło do równania $3x=12$. Następny krok to:

$x=36$ $x=4$ $x=12-3$ $x=3/12$

Rozwiąż samodzielnie

Sprawdź rozwiązanie (2,3) dla układu 4x−y=5, x+y=5.
Pokaż rozwiązanie
4·2−3=5 oraz 2+3=5. Para spełnia oba równania.
Bilet normalny jest o 12 zł droższy od ulgowego. Za 2 bilety normalne i 3 ulgowe zapłacono 104 zł. Wyznacz ceny biletów i oceń, czy wynik ma sens.
Pokaż rozwiązanie
Niech x oznacza cenę normalnego, a y ulgowego. Wtedy x−y=12 oraz 2x+3y=104. Podstawiamy x=y+12: 2(y+12)+3y=104, więc 5y=80 i y=16 zł, x=28 zł. Sprawdzenie: 2·28+3·16=104 oraz 28−16=12. Obie ceny są dodatnie, więc wynik ma sens.
Rozwiąż układ 3x+2y=16, x−y=2 i sprawdź wynik. Podaj odpowiedź z jednostką, jeśli x i y to długości w cm.
Pokaż rozwiązanie
Z drugiego równania x=y+2. Podstawiamy: 3(y+2)+2y=16, więc 5y=10 i y=2, x=4. Sprawdzenie: 12+4=16 oraz 4−2=2. Odpowiedź: 4 cm i 2 cm.

7. Sprawdzamy parę $(2,3)$ w układzie $4x-y=5$, $x+y=5$. Poprawny wniosek to:

para nie spełnia żadnego równania para spełnia tylko pierwsze równanie para spełnia oba równania: $8-3=5$ i $2+3=5$ para spełnia tylko drugie równanie

8. Bilet normalny jest o 12 zł droższy od ulgowego. Za 2 normalne i 3 ulgowe zapłacono 104 zł. Cena biletu ulgowego wynosi:

14 zł 16 zł 18 zł 20 zł

9. Rozwiąż układ $3x+2y=16$, $x-y=2$. Rozwiązaniem jest para:

(4,2) (2,4) (3,2) (5,1)

Zadania dodatkowe

Dwa boki prostokąta różnią się o 4 cm, a obwód wynosi 32 cm. Wyznacz boki i sprawdź jednostki.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. a − b = 4 oraz 2a + 2b = 32, czyli a + b = 16.
Krok 2. Dodajemy równania: 2a = 20, więc a = 10 i b = 6.
Krok 3. Sprawdzenie: 2·10 + 2·6 = 32 cm.
Odpowiedź: 10 cm i 6 cm.
W zadaniu o długościach boków otrzymano x = −2. Co to oznacza i co należy zrobić?
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. x oznacza długość, a długość nie może być ujemna.
Krok 2. Wynik −2 jest sprzeczny z treścią zadania.
Krok 3. Trzeba sprawdzić równania i rachunki — najczęściej to błąd znaku albo złe oznaczenie niewiadomej.
Odpowiedź: nie przyjmujemy −2 jako długości; poprawiamy model lub obliczenia.
Rozwiąż układ 5x − 2y = 11, x + y = 5 i sprawdź wynik. Podaj odpowiedź z jednostką, jeśli x i y to ceny w złotych.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Z drugiego równania y = 5 − x.
Krok 2. 5x − 2(5 − x) = 11, więc 7x − 10 = 11 i x = 3.
Krok 3. y = 5 − 3 = 2.
Krok 4. Sprawdzenie: 5·3 − 2·2 = 11 oraz 3 + 2 = 5.
Odpowiedź: 3 zł i 2 zł.

10. Dwa boki prostokąta różnią się o 4 cm, a obwód wynosi 32 cm. Dłuższy bok ma:

10 cm 8 cm 12 cm 14 cm

11. W zadaniu o długościach boków otrzymano $x=-2$. Najpierw należy:

odrzucić zadanie jako sprzeczne i zakończyć podać $x=2$, bo długość jest dodatnia sprawdzić równania i rachunki, bo wynik przeczy treści zadania zmienić jednostki na inne

12. Sprawdzenie wyniku w zadaniu tekstowym polega na:

porównaniu z odpowiedzią z podręcznika zaokrągleniu obu liczb do całości sprawdzeniu tylko jednego równania podstawieniu pary do obu równań i ocenie sensu w kontekście

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Sprawdzisz rozwiązanie w równaniach oraz ocenisz, czy ma sens w zadaniu. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Uczeń otrzymał $x=2,5$ kg i $y=-1$ kg w zadaniu o masach. Poprawna reakcja to:

sprawdzić model i rachunki, bo masa nie może być ujemna przyjąć wynik, bo liczby spełniają równania zmienić znak $y$ na dodatni podać wynik w gramach

14. Dlaczego wynik trzeba sprawdzić w obu równaniach układu?

bo pierwsze równanie bywa błędne bo para musi spełniać oba równania jednocześnie bo drugie równanie jest zawsze łatwiejsze bo sprawdzenie w jednym równaniu jest zabronione

15. W zadaniu o biletach otrzymano 28 zł i 16 zł. Które sprawdzenie potwierdza wynik?

czy obie ceny są dodatnie czy suma cen wynosi 104 zł czy $2·28+3·16=104$ oraz $28-16=12$ czy ceny są liczbami całkowitymi