Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 11

Prędkość, droga i czas

PPrezentacja dla nauczyciela

Ułożysz układ z zależności droga = prędkość × czas. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

W zadaniach o ruchu prędkość i czas wiąże wzór s=vt. Gdy podróż składa się z odcinków, porównuj osobno drogi, czasy lub ich sumy.

v₁ v₂ 10 20 30 40 50 10 20 30 40 45 (50, 45) k: 3v₁ + 2v₂ = 240 l: v₂ = v₁ − 5
Punkt (50, 45) odczytujemy jako v₁ = 50 km/h i v₂ = 45 km/h. Wykres pomaga zobaczyć rozwiązanie; dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. Samochód jechał 2 h z prędkością v₁ i 3 h z prędkością v₂. Przejechał 210 km, a v₂ było o 10 km/h większe. Mamy 2v₁+3v₂=210 oraz v₂=v₁+10. Po podstawieniu 2v₁+3(v₁+10)=210, więc 5v₁=180, v₁=36 km/h i v₂=46 km/h.

  1. Rowerzysta jechał 2 h z prędkością v₁ i 1 h z prędkością v₂. Przejechał 45 km, a v₂ było o 3 km/h mniejsze od v₁. Wyznacz obie prędkości.

    Pokaż rozwiązanie
    2v₁+v₂=45 oraz v₂=v₁−3. Po podstawieniu 3v₁−3=45, więc v₁=16 km/h i v₂=13 km/h. Sprawdzenie: 2·16+13=45.

  2. Samochód przez 3 h jechał z prędkością v₁, a przez 2 h z prędkością v₂ o 10 km/h większą. Łącznie przejechał 250 km. Wyznacz obie prędkości.

    Pokaż rozwiązanie
    3v₁+2(v₁+10)=250, więc 5v₁=230 i v₁=46 km/h, v₂=56 km/h. Sprawdzenie: 3·46+2·56=250.
1. Samochód jedzie 3 godziny z prędkością $v$ km/h. Przejechana droga wynosi:
2. Który zapis jednostek jest poprawny we wzorze $s=vt$?
3. Rowerzysta jedzie 2 godziny z prędkością 15 km/h, a potem godzinę z prędkością 20 km/h. Łączna droga wynosi:

Jak to rozpoznać?

Rowerzysta przejechał 30 km w dwóch etapach. Pierwszy etap trwał 2 godziny, drugi 1 godzinę. Jeśli prędkości wynoszą v₁ i v₂, to 2v₁+v₂=30. Gdy dodatkowo v₂ jest o 3 km/h większa, v₂−v₁=3. Rozwiązanie: v₁=9, v₂=12. Zauważ, że drogi etapów to 18 km i 12 km — nie dodajemy samych prędkości.

Wzory i zasady do zapamiętania

Droga etapu: s=v·t. Sumę dróg etapów obliczasz, dodając s₁ i s₂. Jednostki muszą być zgodne, np. km/h i godziny dają kilometry.

Strategia

W tabeli zapisz etap, prędkość, czas i drogę. Nie dodawaj prędkości, jeśli czasy etapów są różne.

Przykład rozwiązany

Samochód jechał 3 godziny z prędkością v, a potem 2 godziny z prędkością o 5 km/h mniejszą. Przejechał 240 km. Wyznacz obie prędkości.

  1. Droga: 3v + 2(v − 5) = 240.
  2. 3v + 2v − 10 = 240, więc 5v = 250.
  3. v = 50, a druga prędkość to 45.
  4. Sprawdzenie: 3·50 + 2·45 = 240 — zgadza się. Ponadto 45 = 50 − 5.

Odpowiedź: 50 km/h i 45 km/h.

Przykład 2 — ten sam czas na obu etapach

Dwa etapy trwały po 2 godziny, a łączna droga wyniosła 100 km. Na obu etapach prędkość była taka sama. Wyznacz ją.

  1. 2v + 2v = 100.
  2. 4v = 100, więc v = 25.
  3. Sprawdzenie: 2·25 + 2·25 = 100.

Odpowiedź: 25 km/h.

4. Dwa etapy mają czasy 2 h i 1 h oraz prędkości $v_1$ i $v_2$. Łączna droga to:
5. Rowerzysta jechał 2 h z prędkością $v_1$, a potem 1 h z prędkością $v_2$; łącznie przejechał 30 km, a $v_2$ była o 3 km/h większa. Który układ opisuje zadanie?
6. Rowerzysta jechał 2 h z prędkością $v_1$ i 1 h z prędkością $v_2$ o 3 km/h większą, przejeżdżając 30 km. Ile wynosi $v_1$?

Rozwiąż samodzielnie

  1. Podróż trwała 3 godziny. Samochód jechał przez 2 godziny z prędkością v, a przez godzinę o 15 km/h szybciej. Łącznie przejechał 195 km. Wyznacz prędkości.

    Pokaż rozwiązanie
    2v+(v+15)=195, więc 3v=180 i v=60 km/h, a druga prędkość to 75 km/h. Sprawdzenie: 2·60+75=195.

  2. Samochód przejechał 180 km w 4 godziny, jadąc najpierw z prędkością 60 km/h, a potem 40 km/h. Ile godzin trwał każdy etap?

    Pokaż rozwiązanie
    Oznaczmy czas pierwszego etapu przez t, a drugiego przez 4−t. Wtedy 60t+40(4−t)=180, czyli 20t+160=180 i t=1 h. Drugi etap trwał 3 h. Sprawdzenie: 60·1+40·3=180.

  3. Samochód jedzie 4 godziny z prędkością v. Gdyby jechał o 10 km/h szybciej, tę samą trasę pokonałby w 3 godziny. Wyznacz v i długość trasy.

    Pokaż rozwiązanie
    Trasa się nie zmienia: 4v=3(v+10), więc 4v=3v+30 i v=30 km/h. Trasa ma 4·30=120 km. Sprawdzenie: 3·40=120.
7. Podróż trwała 3 h: przez 2 h samochód jechał z prędkością $v$, a przez godzinę z prędkością o 15 km/h większą. Łącznie przejechał 195 km. Które równanie opisuje tę sytuację?
8. Samochód przejechał 180 km w 4 godziny, jadąc najpierw z prędkością 60 km/h, a potem 40 km/h. Ile godzin trwał pierwszy etap?
9. Samochód jedzie 4 godziny z prędkością $v$. Gdyby jechał o 10 km/h szybciej, tę samą trasę pokonałby w 3 godziny. Ile wynosi $v$?

Zadania dodatkowe

  1. Rowerzysta pojechał do jeziora z prędkością 12 km/h, a wrócił z prędkością 18 km/h. Podróż tam i z powrotem trwała 5 godzin. Jaka jest odległość do jeziora?

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Oznaczmy czas jazdy tam przez t₁, a czas powrotu przez t₂. Wtedy t₁+t₂=5 oraz 12t₁=18t₂, bo droga w obie strony jest taka sama.

    Krok 2. Dzielimy drugie równanie przez 6: 2t₁=3t₂.

    Krok 3. Z pierwszego równania t₁=5−t₂, więc 2(5−t₂)=3t₂, czyli 10=5t₂ i t₂=2, t₁=3.

    Krok 4. Droga: 12·3=36 km. Sprawdzenie: 12·3=18·2=36.

    Odpowiedź: 36 km.

  2. Rowerzysta jechał 2 godziny z prędkością v, a przez następną godzinę z prędkością o 4 km/h mniejszą. Łącznie przejechał 44 km. Wyznacz prędkości.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Droga: 2v + (v − 4) = 44.

    Krok 2. 3v = 48, więc v = 16.

    Krok 3. Druga prędkość: 16 − 4 = 12.

    Odpowiedź: 16 km/h i 12 km/h. Sprawdzenie: 2·16+12=44.

  3. Samochód jechał 2 godziny z prędkością v, a potem 3 godziny z prędkością o 10 km/h większą. Przejechał 220 km. Wyznacz obie prędkości.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Droga: 2v + 3(v + 10) = 220.

    Krok 2. 5v + 30 = 220, więc 5v = 190 i v = 38.

    Krok 3. Druga prędkość: 38 + 10 = 48.

    Odpowiedź: 38 km/h i 48 km/h. Sprawdzenie: 2·38+3·48=220.

10. Rowerzysta jechał do jeziora z prędkością 12 km/h, a wracał z prędkością 18 km/h. Podróż tam i z powrotem trwała 5 h. Odległość do jeziora wynosi:
11. Rowerzysta jechał 2 h z prędkością $v$, a przez godzinę z prędkością o 4 km/h mniejszą; łącznie 44 km. Prędkości na etapach to:
12. Samochód jechał 2 h z prędkością $v$ i 3 h z prędkością $v+10$, przejeżdżając 220 km. Średnia prędkość całej trasy wynosi:

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Ułożysz układ z zależności droga = prędkość × czas. Sprawdz parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Które równanie odpowiada sytuacji: 240 km przejechanych w 3 h z prędkością $v$ i w 2 h z prędkością o 5 km/h mniejszą?
14. Po rozwiązaniu zadania o prędkościach otrzymano $v=-20$ km/h. Co należy zrobić?
15. Dwa etapy o czasach 2 h i 3 h przejechano z tą samą prędkością $v$, łącznie 150 km. Ile wynosi $v$?

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań