GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 06

Dobór metody i równania równoważne

PPrezentacja dla nauczyciela

Wybierzesz wygodniejszą metodę i bezpiecznie przekształcisz układ. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Nie ma jednej metody najlepszej dla wszystkich układów. Wybierz tę, która ogranicza liczbę rachunków i zmniejsza ryzyko błędu.

Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Przykład w skrócie: w układzie y=3x−4, 2x+y=6 wystarczy podstawienie: 2x+(3x−4)=6, więc x=2 i y=2.

Rozwiąż najwygodniejszą metodą: x=4−y, 3x+y=8.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy x=4−y: 3(4−y)+y=8, więc 12−2y=8 i y=2. Wtedy x=2. Para (2,2).
Rozwiąż najwygodniejszą metodą: x+y=9, x−y=1.
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy równania stronami: 2x=10, więc x=5. Z pierwszego równania y=4. Para (5,4).

1. Po co dobierać metodę rozwiązywania układu do jego postaci?

Żeby ograniczyć liczbę rachunków i ryzyko pomyłki Żeby otrzymać dokładniejszy wynik niż inną metodą Żeby układ w ogóle miał rozwiązanie Żeby jedno z równań stało się zbędne

2. Który z układów najwygodniej rozwiązać metodą podstawiania?

$y=5-x$ i $2x+3y=12$ $3x+2y=7$ i $5x-2y=9$ $4x+3y=18$ i $2x-3y=6$ $2x+y=5$ i $3x-y=1$

3. Odczyt z wykresu dał parę $(5, 2)$. Co zrobić przed zapisaniem odpowiedzi?

Zapisać odczyt bez zmian, bo wykres jest dokładny Zaokrąglić obie współrzędne do liczb całkowitych Podstawić parę do obu równań i sprawdzić rachunkiem Sprawdzić parę tylko w równaniu, z którego wyznaczono $y$

Jak to rozpoznać?

W układzie x=2y+1 oraz x+y=7 najkrótsze jest podstawienie, bo x jest już wyrażone przez y. Jeśli współczynniki niewiadomej można szybko zrównać, wygodniejsze będzie dodawanie lub odejmowanie równań — na przykład w układzie 3x+2y=7 oraz 5x−2y=9 wystarczy dodać równania.

Wzory i zasady do zapamiętania

Pomnożenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę nie zmienia jego rozwiązań.

Strategia

Przed liczeniem zobacz, czy jedna niewiadoma ma współczynnik 1 lub −1. W przeciwnym razie sprawdź, czy łatwo uzyskać przeciwne współczynniki.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż najwygodniejszą metodą: \[\begin{cases}x = 2y + 1 \\ x + y = 7\end{cases}\]

Wygodne jest podstawienie, bo x jest już wyrażone przez y.
Podstawiamy: (2y + 1) + y = 7.
3y = 6, więc y = 2.
x = 2 · 2 + 1 = 5.

Odpowiedź: (5, 2).

Przykład rozwiązany

Rozwiąż, dodając równania stronami: \[\begin{cases}3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 9\end{cases}\]

Przy y stoją liczby 2 i −2, więc dodajemy równania stronami.
8x = 16, więc x = 2.
3 · 2 + 2y = 7, więc 2y = 1 i y = 1/2.
Sprawdzenie: 5 · 2 − 2 · 1/2 = 10 − 1 = 9.

Odpowiedź: (2, 1/2).

4. W układzie $3x+2y=7$ i $5x-2y=9$ najszybciej wyeliminujesz $y$, gdy

dodasz równania stronami odejmiesz pierwsze równanie od drugiego pomnożysz pierwsze równanie przez $2$ podzielisz pierwsze równanie przez drugie

5. Gdy w jednym równaniu łatwo wyznaczyć $y$, zwykle warto wybrać

metodę wykresu z odczytem przecięcia metodę podstawiania mnożenie równań przez siebie stronami zamianę kolejności równań bez obliczeń

6. Które działanie zachowuje zbiór rozwiązań równania?

Dodanie $4$ tylko do lewej strony Podzielenie tylko lewej strony przez $2$ Pomnożenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera Zmiana znaku tylko przy $x$

Rozwiąż samodzielnie

Rozwiąż najwygodniejszą metodą: x=2y+1, 3x+y=13.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy x: 3(2y+1)+y=13, więc 7y=10, y=10/7. Wtedy x=20/7+1=27/7. Para (27/7,10/7).
Rozwiąż: 2x+y=8, x−2y=−1.
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy drugie równanie przez 2: 2x−4y=−2. Odejmujemy je od pierwszego: 5y=10, więc y=2. Wtedy 2x+2=8, x=3. Para (3,2).
Rozwiąż: 3x+2y=16, x−y=2.
Pokaż rozwiązanie
Z drugiego równania x=y+2. Podstawiamy: 3(y+2)+2y=16, więc 5y+6=16 i y=2. Wtedy x=4. Para (4,2).

7. Po podstawieniu $x=2y+1$ do równania $3x+y=13$ otrzymujemy

$6y+1=13$ $5y=10$ $7y=12$ $7y=10$

8. Rozwiązaniem układu $2x+y=8$ i $x-2y=-1$ jest para

$(3, 2)$ $(2, 3)$ $(3, -2)$ $(-1, 10)$

9. W układzie $x=2y+1$ i $3x+y=13$ wartość $x$ wynosi

$\frac{10}{7}$ $\frac{27}{7}$ $\frac{20}{7}$ $3$

Zadania dodatkowe

Rozwiąż najwygodniejszą metodą: 3x − y = 5, x + 2y = 4.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Z pierwszego równania y = 3x − 5 — wygodne podstawienie.
Krok 2. x + 2(3x − 5) = 4, więc 7x − 10 = 4.
Krok 3. x = 2 oraz y = 3·2 − 5 = 1.
Odpowiedź: (2, 1).
Rozwiąż: 5x + 2y = 16, 3x − 2y = 8.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Przy y stoją 2 i −2, więc dodajemy równania: 8x = 24.
Krok 2. x = 3.
Krok 3. 5·3 + 2y = 16, więc 2y = 1 i y = 1/2.
Odpowiedź: (3, 1/2). Sprawdzenie: 3·3 − 2·1/2 = 9 − 1 = 8.
Rozwiąż najwygodniejszą metodą: 2x + 3y = 12, 4x − y = 10.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Z drugiego równania y = 4x − 10.
Krok 2. 2x + 3(4x − 10) = 12, więc 14x = 42 i x = 3.
Krok 3. y = 4·3 − 10 = 2.
Odpowiedź: (3, 2).

10. Rozwiązaniem układu $3x-y=5$ i $x+2y=4$ jest para

$(1, 2)$ $(3, 4)$ $(2, 1)$ $(2, 3)$

11. W układzie $5x+2y=16$ i $3x-2y=8$ po dodaniu równań stronami otrzymujemy

$8x=24$ $8x=8$ $2x+4y=24$ $2x=24$

12. Z równania $3x-y=5$ najwygodniej wyznaczyć

$y=3x-5$ $y=5-3x$ $x=3y-5$ $x=\frac{y-5}{3}$

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Wybierzesz wygodniejszą metodę i bezpiecznie przekształcisz układ. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Aby wyeliminować $x$ z $2x+y=5$ i $3x-y=1$, można

dodać równania bez zmian pomnożyć oba równania przez $0$ odjąć od siebie wyrazy wolne obu równań pomnożyć pierwsze przez $3$, drugie przez $-2$ i dodać

14. W układzie $2x+y=5$ i $2x-3y=1$ najkrótszy pierwszy krok to

dodać równania stronami i wyeliminować $y$ pomnożyć pierwsze równanie przez $2$ i dodać odjąć równania stronami, bo współczynniki przy $x$ są równe podzielić pierwsze równanie przez drugie

15. W układzie $x+3y=9$ i $4x-3y=6$ najkrótsza droga do wyniku to

dodać równania stronami, bo współczynniki przy $y$ są przeciwne pomnożyć pierwsze równanie przez $4$ i odjąć równania narysować obie proste i odczytać punkt przecięcia podzielić pierwsze równanie przez drugie