Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · liceum · poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA · UKŁADY RÓWNAŃ · MODUŁ 04

Metoda podstawiania

PPrezentacja dla nauczyciela

Wyznaczysz jedną niewiadomą z równania i podstawisz ją do drugiego. Zobacz wykres, rozwiąż zadania i sprawdź się w quizie.

Wprowadzenie

Podstawianie jest wygodne, gdy z jednego równania łatwo wyrazić x albo y, na przykład y=2x−3.

x y (2, 1) k: y = 2x − 3 l: 3x + y = 7
Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.

Mini-przykład. W układzie y = 2x − 3, 3x + y = 7 wstawiamy 2x − 3 za y: 3x + (2x − 3) = 7, więc 5x = 10, x = 2 i y = 1.

  1. Rozwiąż metodą podstawiania: y = x + 1, x + y = 5.

    Pokaż rozwiązanie
    Podstawiamy y = x + 1: x + (x + 1) = 5, więc 2x = 4 i x = 2. Wtedy y = 2 + 1 = 3. Rozwiązanie: (2, 3).

  2. Rozwiąż: y = 3x, x + y = 8.

    Pokaż rozwiązanie
    Podstawiamy y = 3x: x + 3x = 8, więc 4x = 8 i x = 2. Wtedy y = 3·2 = 6. Rozwiązanie: (2, 6).
1. Metoda podstawiania jest najwygodniejsza, gdy
2. W układzie $y=3x-1$, $2x+y=9$ po podstawieniu otrzymujemy
3. Po wyznaczeniu $x$ metodą podstawiania należy

Jak to rozpoznać?

Rozwiążmy 3x+y=7 oraz y=2x−3. Wstawiamy wyrażenie 2x−3 w miejsce y: 3x+2x−3=7, więc 5x=10 i x=2. Następnie y=2·2−3=1. Sprawdzenie: 3·2+1=7.

Wzory i zasady do zapamiętania

Jeśli y jest wyrażone przez x, wstaw całe to wyrażenie do drugiego równania; po obliczeniu x wróć do równania z y.

Strategia

Zapisz podstawienie nawiasem, gdy wyrażenie zawiera dodawanie lub odejmowanie. Na końcu sprawdź obie liczby w oryginalnym układzie.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż metodą podstawiania: \[\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7\end{cases}\]

  1. Podstawiamy y: 3x + (2x − 3) = 7.
  2. 5x − 3 = 7, więc 5x = 10 i x = 2.
  3. y = 2 · 2 − 3 = 1.
  4. Sprawdzenie: 3 · 2 + 1 = 7.

Odpowiedź: (2, 1).

4. Rozwiąż $y=x+1$, $2x+y=7$.
5. Co otrzymujemy po podstawieniu $y=3x-2$ do równania $x+y=6$?
6. Dlaczego po wyznaczeniu $x$ trzeba obliczyć $y$?

Rozwiąż samodzielnie

  1. Rozwiąż: y=x+2, 3x+y=10.

    Pokaż rozwiązanie
    Podstawiamy y=x+2: 3x+x+2=10, więc 4x=8 i x=2. Wtedy y=4. Rozwiązanie: (2,4).

  2. Rozwiąż: 2x+y=1, x=3y+5.

    Pokaż rozwiązanie
    Wstawiamy x=3y+5: 2(3y+5)+y=1, więc 7y=−9, y=−9/7. Stąd x=3·(−9/7)+5=8/7. Para (8/7,−9/7).

  3. Rozwiąż: y = 4x − 5, x + y = 5.

    Pokaż rozwiązanie
    Podstawiamy y = 4x − 5: x + (4x − 5) = 5, więc 5x = 10 i x = 2. Wtedy y = 4·2 − 5 = 3. Rozwiązanie: (2, 3).
7. Rozwiąż $y=x+2$, $3x+y=10$.
8. Po podstawieniu $x=3y+5$ do $2x+y=1$ otrzymujemy
9. Rozwiązaniem układu $2x+y=1$, $x=3y+5$ jest para

Zadania dodatkowe

  1. Rozwiąż metodą podstawiania: y = 3x − 4, 2x + y = 6.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Podstawiamy y: 2x + (3x − 4) = 6.

    Krok 2. 5x = 10, więc x = 2.

    Krok 3. y = 3·2 − 4 = 2.

    Odpowiedź: (2, 2). Sprawdzenie: 2·2 + 2 = 6.

  2. Rozwiąż metodą podstawiania: x = 2y − 3, 3x − y = 4.

    Pokaż rozwiązanie

    Krok 1. Podstawiamy x: 3(2y − 3) − y = 4.

    Krok 2. 6y − 9 − y = 4, więc 5y = 13 i y = 13/5.

    Krok 3. x = 2·13/5 − 3 = 26/5 − 15/5 = 11/5.

    Odpowiedź: (11/5, 13/5).

10. Rozwiąż $y=3x-4$, $2x+y=6$.
11. Podstawienie $x=2y-3$ do $3x-y=4$ daje
12. Rozwiązaniem układu $x=2y-3$, $3x-y=4$ jest para

Quiz kontrolny

Wybierz jedną odpowiedź.

Zapamiętaj

Wyznaczysz jedną niewiadomą z równania i podstawisz ją do drugiego. Sprawdź parę w obu równaniach i odpowiedz zgodnie z treścią.

13. Który układ najłatwiej rozwiązać metodą podstawiania?
14. Rozwiąż $x=y-1$, $2x+3y=13$.
15. Podstawiając wyrażenie $2x-5$ w miejsce $y$, warto ująć je w nawias, ponieważ

Materiały edukacyjne Hyżyk · Matematyka liceum — układy równań