POWTÓRKA PRZEKROJOWA
Zestaw przekrojowy — 30 zadań
Wybierz niewiadome, zapisz układ, pokaż rachunki i sprawdź odpowiedź. Rozwiązania rozwiń po samodzielnej próbie.
Moduł 01 · zadanie 1
Sprawdź, czy para (4, −2) spełnia układ 3x + y = 10, x − 2y = 8.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsze równanie: 3 · 4 + (−2) = 12 − 2 = 10 — prawda. Drugie: 4 − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8 — prawda. Para spełnia oba równania.
Moduł 01 · zadanie 2
Para (x, 3) spełnia równanie 2x − y = 5. Wyznacz x.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy y = 3: 2x − 3 = 5, więc 2x = 8 i x = 4.
Moduł 02 · zadanie 1
Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 3x − 2 i y = −x + 6.
Pokaż rozwiązanie
Przyrównujemy: 3x − 2 = −x + 6, więc 4x = 8 i x = 2. Wtedy y = 3 · 2 − 2 = 4. Punkt przecięcia to (2, 4).
Moduł 02 · zadanie 2
Napisz układ równań, którego rozwiązaniem jest para (1, −2), a jedna z prostych ma równanie y = 2x − 4.
Pokaż rozwiązanie
Sprawdzamy: dla x = 1 mamy y = 2 − 4 = −2, więc punkt należy do prostej. Druga prosta też musi przechodzić przez (1, −2); przyjmijmy y = −x − 1, bo −2 = −1 − 1. Układ: y = 2x − 4, y = −x − 1.
Moduł 03 · zadanie 1
Określ liczbę rozwiązań układu 5x + 2y = 10, 10x + 4y = 20.
Pokaż rozwiązanie
Drugie równanie dzielimy przez 2 i otrzymujemy 5x + 2y = 10, czyli to samo równanie. Proste pokrywają się — układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Moduł 03 · zadanie 2
Określ liczbę rozwiązań układu 3x − 4y = 7, 6x − 8y = 9.
Pokaż rozwiązanie
Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego, ale prawa strona powinna wynosić 14, a wynosi 9. Proste są równoległe i różne — układ jest sprzeczny.
Moduł 04 · zadanie 1
Rozwiąż metodą podstawiania: y = 4x − 1, 3x + y = 13.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy: 3x + (4x − 1) = 13, więc 7x = 14 i x = 2. Wtedy y = 4 · 2 − 1 = 7. Rozwiązanie: (2, 7).
Moduł 04 · zadanie 2
Rozwiąż metodą podstawiania: x = 3y + 1, 2x − y = 8.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy x: 2(3y + 1) − y = 8, więc 6y + 2 − y = 8 i 5y = 6. Stąd y = 6/5, a x = 3 · 6/5 + 1 = 18/5 + 5/5 = 23/5. Rozwiązanie: (23/5, 6/5).
Moduł 05 · zadanie 1
Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: 4x + 3y = 18, 4x − 3y = 6.
Pokaż rozwiązanie
Odejmujemy równania: 6y = 12, więc y = 2. Podstawiamy: 4x + 6 = 18, więc 4x = 12 i x = 3. Rozwiązanie: (3, 2).
Moduł 05 · zadanie 2
Rozwiąż: 7x − 2y = 11, 3x + 2y = 9.
Pokaż rozwiązanie
Dodajemy równania: 10x = 20, więc x = 2. Podstawiamy: 14 − 2y = 11, więc 2y = 3 i y = 3/2. Rozwiązanie: (2, 3/2).
Moduł 06 · zadanie 1
Rozwiąż najwygodniejszą metodą: x = 2y + 3, 3x − 2y = 13.
Pokaż rozwiązanie
Podstawiamy x: 3(2y + 3) − 2y = 13, więc 6y + 9 − 2y = 13 i 4y = 4. Stąd y = 1 oraz x = 5. Rozwiązanie: (5, 1).
Moduł 06 · zadanie 2
Rozwiąż: 2x + 3y = 16, x − y = 3.
Pokaż rozwiązanie
Z drugiego równania x = y + 3. Podstawiamy: 2(y + 3) + 3y = 16, więc 5y = 10 i y = 2. Wtedy x = 5. Rozwiązanie: (5, 2).
Moduł 07 · zadanie 1
Rozwiąż: (x + y)/2 = 7, x − 3y = 2.
Pokaż rozwiązanie
Mnożymy pierwsze równanie przez 2: x + y = 14. Podstawiamy x = 14 − y: 14 − y − 3y = 2, więc 4y = 12 i y = 3. Wtedy x = 11. Rozwiązanie: (11, 3).
Moduł 07 · zadanie 2
Rozwiąż: 2(x − 1) + y = 5, x + y = 6.
Pokaż rozwiązanie
Rozwijamy nawias: 2x − 2 + y = 5, czyli 2x + y = 7. Odejmujemy drugie równanie: x = 1. Wtedy y = 5. Rozwiązanie: (1, 5).
Moduł 08 · zadanie 1
Suma dwóch liczb wynosi 63, a ich różnica 17. Wyznacz te liczby.
Pokaż rozwiązanie
x + y = 63, x − y = 17. Dodajemy: 2x = 80, więc x = 40 i y = 23.
Moduł 08 · zadanie 2
W klubie są 32 osoby. Kobiet jest o 6 więcej niż mężczyzn. Ile jest kobiet, a ilu mężczyzn?
Pokaż rozwiązanie
k + m = 32, k − m = 6. Dodajemy: 2k = 38, więc k = 19 i m = 13.
Moduł 09 · zadanie 1
Dwie kanapki i trzy kawy kosztują 29 zł, a trzy kanapki i dwie kawy 31 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
2k + 3c = 29, 3k + 2c = 31. Mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 2: 6k + 9c = 87, 6k + 4c = 62. Odejmujemy: 5c = 25, więc c = 5. Wtedy 2k + 15 = 29 i k = 7.
Moduł 09 · zadanie 2
Cztery bilety i dwa przewodniki kosztują 64 zł, a dwa bilety i trzy przewodniki 56 zł. Wyznacz ceny.
Pokaż rozwiązanie
4b + 2p = 64, 2b + 3p = 56. Pierwsze dzielimy przez 2: 2b + p = 32, więc p = 32 − 2b. Podstawiamy: 2b + 3(32 − 2b) = 56, czyli 96 − 4b = 56 i b = 10. Wtedy p = 12.
Moduł 10 · zadanie 1
Ojciec jest pięć razy starszy od syna. Razem mają 54 lata. Ile lat ma każdy?
Pokaż rozwiązanie
o = 5s oraz o + s = 54. Zatem 6s = 54 i s = 9. Wtedy o = 5 · 9 = 45. Sprawdzenie: 45 + 9 = 54. Syn ma 9 lat, ojciec 45 lat.
Moduł 10 · zadanie 2
Za 3 lata suma wieku dwóch braci będzie wynosić 26 lat. Dziś różnica ich wieku to 4 lata. Ile lat ma każdy?
Pokaż rozwiązanie
Dziś x + y = 20 (bo za 3 lata obaj będą starsi o 6 lat). Różnica: x − y = 4. Dodajemy: 2x = 24, więc x = 12 i y = 8.
Moduł 11 · zadanie 1
Samochód jechał 2 godziny z prędkością v, a potem 4 godziny z prędkością o 5 km/h większą. Przejechał 230 km. Wyznacz obie prędkości.
Pokaż rozwiązanie
2v + 4(v + 5) = 230, więc 6v + 20 = 230 i 6v = 210. Stąd v = 35 km/h, a druga prędkość to 40 km/h.
Moduł 11 · zadanie 2
Rowerzysta jechał 3 godziny z prędkością v, a potem 2 godziny z prędkością o 4 km/h mniejszą. Łącznie przejechał 52 km. Wyznacz obie prędkości.
Pokaż rozwiązanie
3v + 2(v − 4) = 52, więc 5v − 8 = 52 i 5v = 60. Stąd v = 12 km/h, a druga prędkość to 8 km/h.
Moduł 12 · zadanie 1
Prostokąt ma obwód 52 cm, a jeden bok jest o 6 cm dłuższy od drugiego. Wyznacz boki.
Pokaż rozwiązanie
a + b = 26 oraz a − b = 6. Dodajemy: 2a = 32, więc a = 16 i b = 10.
Moduł 12 · zadanie 2
Trójkąt równoramienny ma obwód 44 cm. Ramię jest o 7 cm dłuższe od podstawy. Wyznacz długości boków.
Pokaż rozwiązanie
x + 2y = 44 oraz y = x + 7. Podstawiamy: x + 2(x + 7) = 44, więc 3x = 30 i x = 10. Ramię ma 17 cm. Boki: 10 cm, 17 cm, 17 cm.
Moduł 13 · zadanie 1
Rozwiąż układ x + 2y = 8, 3x − y = 3 i sprawdź wynik.
Pokaż rozwiązanie
Z drugiego równania y = 3x − 3. Podstawiamy: x + 2(3x − 3) = 8, więc 7x = 14 i x = 2. Wtedy y = 3. Sprawdzenie: 2 + 6 = 8 oraz 6 − 3 = 3.
Moduł 13 · zadanie 2
W zadaniu o liczbie uczniów otrzymano x = 1,5. Co to oznacza i co należy zrobić?
Pokaż rozwiązanie
Liczba uczniów musi być liczbą całkowitą, więc wynik 1,5 jest sprzeczny z treścią. Trzeba sprawdzić równania i rachunki — najczęściej to błąd w modelu lub w obliczeniach.
Moduł 14 · zadanie 1
Suma dwóch liczb wynosi 52. Trzykrotność pierwszej jest o 4 większa od drugiej. Wyznacz liczby.
Pokaż rozwiązanie
x + y = 52 oraz 3x − y = 4. Dodajemy: 4x = 56, więc x = 14 i y = 38. Sprawdzenie: 3 · 14 − 38 = 4.
Moduł 14 · zadanie 2
Dwa kilogramy sera i trzy kilogramy szynki kosztują 71 zł, a trzy kilogramy sera i dwa kilogramy szynki 74 zł. Wyznacz ceny za kilogram.
Pokaż rozwiązanie
Niech s oznacza cenę sera, a y cenę szynki. 2s + 3y = 71, 3s + 2y = 74. Mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 2: 6s + 9y = 213, 6s + 4y = 148. Odejmujemy: 5y = 65, więc y = 13. Wtedy 2s + 39 = 71 i s = 16.
Moduł 15 · zadanie 1
Określ liczbę rozwiązań układu 4x + 6y = 10, 6x + 9y = 15.
Pokaż rozwiązanie
Drugie równanie dzielimy przez 1,5 i otrzymujemy 4x + 6y = 10, czyli to samo równanie. Proste pokrywają się — nieskończenie wiele rozwiązań.
Moduł 15 · zadanie 2
Określ liczbę rozwiązań układu 5x − 2y = 7, 10x − 4y = 15.
Pokaż rozwiązanie
Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego, ale prawa strona powinna wynosić 14, a wynosi 15. Proste są równoległe i różne — układ sprzeczny.