W budowie
Prezentacja modułu

Metoda przeciwnych współczynników — układy równań

Dodasz lub odejmiesz równania tak, by wyeliminować jedną niewiadomą.

  • 45 min
  • 12 slajdów
  • Notatki nauczyciela: N
  • Strona modułu: otwórz
Plan · 45 min

Co dziś robimy

  1. 12 minWprowadzenie Rozwiąż: x + y = 6, x − y = 2. Pokaż rozwiązanie Dodajemy równania: 2x = 8, więc x = 4.
  2. 9 minJak to rozpoznać? Dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3.
  3. 9 minRozwiąż samodzielnie Rozwiąż: 3x+2y=16, 3x−y=7. Pokaż rozwiązanie Odejmujemy drugie równanie od pierwszego…
  4. 9 minZadania dodatkowe Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: 3x + 4y = 10, 3x − 2y = 4.
  5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Atom 1 z 4 · ~12 min

Wprowadzenie

Gdy współczynniki jednej niewiadomej są równe lub przeciwne, dodanie albo odjęcie równań usuwa tę niewiadomą.

  • Rozwiąż: x + y = 6, x − y = 2. Pokaż rozwiązanie Dodajemy równania: 2x = 8, więc x = 4. Wtedy 4 + y = 6, czyli y = 2. Rozwiązanie: (4, 2).
  • Rozwiąż: 3x + y = 10, 3x − y = 2. Pokaż rozwiązanie Odejmujemy równania: 2y = 8, więc y = 4. Wtedy 3x + 4 = 10, czyli 3x = 6 i x = 2. Rozwiązanie: (2, 4).
  • W układzie 2x + 3y = 12, 2x − 3y = 0 dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3, a z 6 + 3y = 12 mamy y = 2.
Ilustracja · atom 1 · ~4 min

Wprowadzenie

x y (3, 2) k: 2x + 3y = 12 l: 2x − 3y = 0
Wykres pomaga zobaczyć, że rozwiązanie układu jest punktem wspólnym prostych. Dokładny wynik potwierdź rachunkiem.
Sprawdzenie · atom 1 · ~3 min

Pytanie do klasy

Gdy współczynniki przy tej samej niewiadomej są przeciwne, równania należy

Atom 2 z 4 · ~9 min

Jak to rozpoznać?

W układzie 2x+3y=12 oraz 2x−3y=0 dodajemy równania: 4x=12, więc x=3. Podstawienie daje 6+3y=12, zatem y=2.

  • Dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3.
  • Podstawiamy: 2 · 3 + 3y = 12, czyli 6 + 3y = 12.
  • Mnożymy pierwsze równanie przez 2: 2x + 4y = 16.
  • Odejmujemy drugie równanie: (2x + 4y) − (2x + 3y) = 16 − 13, czyli y = 3.
Strategia

Operację wykonuj po obu stronach równań. Gdy współczynniki jeszcze się nie redukują, pomnóż jedno lub oba równania przez dobrane liczby.

Sprawdzenie · atom 2 · ~3 min

Pytanie do klasy

Jak najłatwiej wyeliminować $x$ z układu $2x+y=7$, $2x-y=1$?

Atom 3 z 4 · ~9 min

Rozwiąż samodzielnie

  • Rozwiąż: 3x+2y=16, 3x−y=7. Pokaż rozwiązanie Odejmujemy drugie równanie od pierwszego: 3y=9, więc y=3. Z 3x−3=7 mamy 3x=10, x=10/3. Para (10/3,3).
  • Rozwiąż: 2x+3y=13, 4x−3y=5. Pokaż rozwiązanie Dodajemy równania: 6x=18, więc x=3. Podstawiamy: 6+3y=13, stąd y=7/3. Para (3,7/3).
  • Rozwiąż: 3x + 2y = 12, 2x + 3y = 13. Pokaż rozwiązanie Mnożymy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 2: 9x + 6y = 36 oraz 4x + 6y = 26.
Sprawdzenie · atom 3 · ~3 min

Pytanie do klasy

Rozwiąż $3x+2y=16$, $3x-y=7$.

Atom 4 z 4 · ~9 min

Zadania dodatkowe

  • Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: 3x + 4y = 10, 3x − 2y = 4. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Odejmujemy równania stronami: (3x + 4y) − (3x − 2y) = 10 − 4. Krok 2.
  • Rozwiąż: 5x − 2y = 9, 3x + 2y = 7. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Dodajemy równania: 8x = 16, więc x = 2. Krok 2. 5·2 − 2y = 9, więc 10 − 2y = 9. Krok 3. y = ½.
  • Rozwiąż: x + y = 4, 2x + 3y = 11. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Mnożymy pierwsze równanie przez 2: 2x + 2y = 8. Krok 2.
Sprawdzenie · atom 4 · ~3 min

Pytanie do klasy

Rozwiąż $3x+4y=10$, $3x-2y=4$.

Zamknięcie · ~4 min

Co zabrać z lekcji

  • Rozwiąż: x + y = 6, x − y = 2. Pokaż rozwiązanie Dodajemy równania: 2x = 8, więc x = 4. Wtedy 4 + y = 6, czyli y = 2. Rozwiązanie: (4, 2).
  • Dodajemy równania: 4x = 12, więc x = 3.
  • Rozwiąż: 3x+2y=16, 3x−y=7. Pokaż rozwiązanie Odejmujemy drugie równanie od pierwszego: 3y=9, więc y=3. Z 3x−3=7 mamy 3x=10, x=10/3. Para (10/3,3).
  • Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: 3x + 4y = 10, 3x − 2y = 4. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Odejmujemy równania stronami: (3x + 4y) − (3x − 2y) = 10 − 4.
Bilet wyjściowy: Odejmując stronami równania $3x+4y=10$ i $3x-2y=4$, otrzymujemy
Odpowiedź: a) $6y=6$
Hyżyk· Metoda przeciwnych współczynników — układy równań moduł 1 / 1