Układ jako dwie proste — układy równań
Zamienisz równania na wykresy i odczytasz rozwiązanie jako punkt przecięcia.
- 45 min
- 12 slajdów
- Notatki nauczyciela: N
- Strona modułu: otwórz
Co dziś robimy
- 12 minWprowadzenie Czy proste y = x + 1 i y = −x + 3 przecinają się w punkcie (1, 2)? Pokaż rozwiązanie Dla…
- 9 minJak to rozpoznać? Przyrównujemy prawe strony: 2x − 1 = −x + 5.
- 9 minRozwiąż samodzielnie Odczytaj rozwiązanie układu y=x oraz y=−x+4. Pokaż rozwiązanie Proste przecinają się w…
- 9 minZadania dodatkowe Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 2x − 3 i y = −x + 6. Pokaż rozwiązanie Krok 1.
- 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe
Wprowadzenie
Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Para spełniająca dwa równania leży na obu prostych, więc jest ich punktem wspólnym.
- Czy proste y = x + 1 i y = −x + 3 przecinają się w punkcie (1, 2)? Pokaż rozwiązanie Dla x = 1 pierwsza prosta daje y = 1 + 1 = 2, a druga y = −1 + 3 = 2.
- Sprawdź, że proste y = x i y = −x + 6 przecinają się w punkcie (3, 3). Pokaż rozwiązanie Proste przecinają się w punkcie (3, 3), bo 3 = 3 oraz 3 = −3 + 6.
- Proste y = 2x − 1 i y = −x + 5 przecinają się w punkcie (2, 3), bo 2·2 − 1 = 3 oraz −2 + 5 = 3.
Wprowadzenie
Pytanie do klasy
Ile punktów wspólnych mają dwie przecinające się proste?
Poprawna: a) Przecinające się proste mają dokładnie jeden punkt wspólny, a jego współrzędne tworzą jedyne rozwiązanie układu. Dwa punkty wspólne miałyby tylko proste pokrywające się.
Jak to rozpoznać?
Układ y=2x−1 oraz y=−x+5 ma rozwiązanie w punkcie przecięcia. Z wykresu widać (2,3); rachunkowo 2x−1=−x+5, zatem 3x=6, x=2 i y=3.
- Przyrównujemy prawe strony: 2x − 1 = −x + 5.
- Sprawdzenie: y = −2 + 5 = 3.
- Rozwiązanie graficzne = współrzędne punktu przecięcia wykresów obu równań.
- Na wykresie odczytuj najpierw x, potem y.
Na wykresie odczytuj najpierw x, potem y. Jeśli punkt wypada między kratkami, dokończ rachunek algebraicznie.
Pytanie do klasy
Proste $y=x$ i $y=-x+6$ przecinają się w punkcie
Poprawna: d) Przyrównanie $x=-x+6$ daje $x=3$ i $y=3$. Punkt $(2, 2)$ leży tylko na pierwszej prostej.
Rozwiąż samodzielnie
- Odczytaj rozwiązanie układu y=x oraz y=−x+4. Pokaż rozwiązanie Proste przecinają się w punkcie (2,2), bo 2=−2+4. Rozwiązaniem jest (2,2).
- Odczytaj z wykresu punkt przecięcia prostych y = −x + 2 i y = x − 1; potwierdź wynik przyrównaniem prawych stron.
- Sprawdź rachunkiem, że proste y = x + 1 i y = −2x + 4 przecinają się w punkcie (1, 2). Pokaż rozwiązanie Dla x = 1 pierwsza prosta daje y = 1 + 1 = 2, a druga y = −2·1 +…
Pytanie do klasy
Proste $y=x$ i $y=-x+4$ przecinają się w punkcie
Poprawna: c) $x=-x+4$ daje $x=2$ i $y=2$. Punkt $(1, 3)$ leży tylko na drugiej prostej.
Zadania dodatkowe
- Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 2x − 3 i y = −x + 6. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Przyrównujemy: 2x − 3 = −x + 6. Krok 2. 3x = 9, więc x = 3. Krok 3. y = 2·3 − 3 = 3.
- Która z prostych y = x + 1, y = 2x − 1, y = −x + 6 przechodzi przez punkt (2, 4)? Sprawdź podstawieniem. Pokaż rozwiązanie Krok 1. y = x + 1 daje 2 + 1 = 3, a nie 4.
Pytanie do klasy
Punkt przecięcia prostych $y=2x-3$ i $y=-x+6$ to
Poprawna: b) $2x-3=-x+6$ daje $3x=9$, więc $x=3$ i $y=3$. Punkt $(3, -3)$ nie leży na żadnej z tych prostych.
Co zabrać z lekcji
- Czy proste y = x + 1 i y = −x + 3 przecinają się w punkcie (1, 2)? Pokaż rozwiązanie Dla x = 1 pierwsza prosta daje y = 1 + 1 = 2, a druga y = −1 + 3 = 2.
- Przyrównujemy prawe strony: 2x − 1 = −x + 5.
- Odczytaj rozwiązanie układu y=x oraz y=−x+4. Pokaż rozwiązanie Proste przecinają się w punkcie (2,2), bo 2=−2+4. Rozwiązaniem jest (2,2).
- Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 2x − 3 i y = −x + 6. Pokaż rozwiązanie Krok 1. Przyrównujemy: 2x − 3 = −x + 6. Krok 2. 3x = 9, więc x = 3. Krok 3.
Odpowiedź: a) $(3, 5)$