Zadania maturalne z układami — układy równań

Co dziś robimy

1. 12 minWprowadzenie Suma dwóch liczb wynosi 24. Podwojona pierwsza jest o 6 większa od drugiej. Wyznacz liczby.
2. 9 minJak to rozpoznać? Model: x + y = 45 oraz 2x = y + 6.
3. 9 minRozwiąż samodzielnie Suma dwóch liczb wynosi 27. Trzykrotność pierwszej jest o 3 mniejsza od dwukrotności…
4. 9 minZadania dodatkowe W dwóch klasach jest razem 49 uczniów. W klasie A jest o 3 uczniów więcej niż w klasie B.
5. 5 minPodsumowanie bilet wyjściowy i zadanie domowe

Wprowadzenie

W zadaniu maturalnym ważne są: poprawny model, widoczne przekształcenia i odpowiedź odnosząca się do treści.

• Suma dwóch liczb wynosi 24. Podwojona pierwsza jest o 6 większa od drugiej. Wyznacz liczby. Pokaż rozwiązanie x+y=24 oraz 2x−y=6. Po dodaniu 3x=30, więc x=10 i y=14.
• Za 2 kg jabłek i 3 kg gruszek zapłacono 31 zł, a za 4 kg jabłek i 1 kg gruszek 29 zł. Wyznacz ceny za kilogram. Pokaż rozwiązanie Niech a,g oznaczają ceny.
• Suma dwóch liczb wynosi 30, a podwojona pierwsza jest o 3 większa od drugiej.

Jak to rozpoznać?

Jeśli dwie liczby mają sumę 19, a podwojona pierwsza jest o 5 większa od drugiej, zapisujemy x+y=19 oraz 2x−y=5. Dodajemy równania: 3x=24, x=8, y=11. Wynik sprawdzamy w obu warunkach.

• Model: x + y = 45 oraz 2x = y + 6.
• Układ: x + y = 45, 2x − y = 6.
• Rozwiązanie: dodajemy równania stronami i otrzymujemy 3x = 51, więc x = 17.
• Sprawdzenie: 17 + 28 = 45 oraz 2·17 − 28 = 6.

Rozwiąż samodzielnie

• Suma dwóch liczb wynosi 27. Trzykrotność pierwszej jest o 3 mniejsza od dwukrotności drugiej. Wyznacz liczby i sprawdź wynik.
• Za 2 kg jabłek i 3 kg gruszek zapłacono 31 zł, a za 4 kg jabłek i 1 kg gruszek 29 zł. Wyznacz ceny za kilogram i sprawdź oba zakupy.
• Suma dwóch liczb całkowitych wynosi 35, a ich różnica 7. Wyznacz te liczby i uzasadnij, że spełniają warunek całkowitości. Pokaż rozwiązanie x+y=35 oraz x−y=7.

Zadania dodatkowe

• W dwóch klasach jest razem 49 uczniów. W klasie A jest o 3 uczniów więcej niż w klasie B. Ilu uczniów jest w każdej klasie? Sprawdź, czy otrzymane liczby są całkowite.
• Za 3 kg jabłek i 2 kg gruszek zapłacono 26 zł, a za 2 kg jabłek i 4 kg gruszek 28 zł. Wyznacz ceny za kilogram. Pokaż rozwiązanie Krok 1. 3a + 2g = 26 oraz 2a + 4g = 28.
• Suma dwóch liczb wynosi 38. Podwojona pierwsza jest o 4 większa od drugiej. Wyznacz liczby. Pokaż rozwiązanie Krok 1. x + y = 38. Krok 2. 2x = y + 4, czyli 2x − y = 4.

Co zabrać z lekcji

• W zadaniu maturalnym ważne są: poprawny model, widoczne przekształcenia i odpowiedź odnosząca się do treści.
• Model: x + y = 45 oraz 2x = y + 6.
• Suma dwóch liczb wynosi 27. Trzykrotność pierwszej jest o 3 mniejsza od dwukrotności drugiej. Wyznacz liczby i sprawdź wynik.
• W dwóch klasach jest razem 49 uczniów. W klasie A jest o 3 uczniów więcej niż w klasie B. Ilu uczniów jest w każdej klasie? Sprawdź, czy otrzymane liczby są…