MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 02

Graniastosłupy: pole powierzchni

Obliczysz pole powierzchni graniastosłupa, korzystając z siatki i pola podstawy.

Wprowadzenie

Pole powierzchni całkowitej to łączna powierzchnia wszystkich ścian bryły. Najłatwiej je policzyć, rozkładając graniastosłup na siatkę: dwie przystające podstawy i prostokąty ścian bocznych. Siatka pokazuje każdą ścianę osobno, więc wystarczy dodać ich pola.

Siatka prostopadłościanu 4 cm × 3 cm × 2 cm. Pomarańczowe figury to dwie podstawy, a niebieskie prostokąty to cztery ściany boczne. Po złożeniu powstaje prostopadłościan.

Dla bryły z rysunku pole jednej podstawy wynosi 4 · 3 = 12 cm². Ściany boczne to dwa prostokąty 4 cm × 2 cm i dwa prostokąty 3 cm × 2 cm, więc ich łączne pole to 2 · 8 + 2 · 6 = 28 cm². Zatem pole powierzchni całkowitej wynosi Pc = 2 · 12 + 28 = 52 cm².

1. Czym jest pole powierzchni całkowitej bryły?

sumą pól wszystkich jej ścian sumą długości wszystkich jej krawędzi iloczynem pola podstawy i wysokości polem jednej wybranej podstawy

2. Z ilu prostokątów składa się siatka prostopadłościanu, którego żadna ściana nie jest kwadratem?

4 5 8 6

3. Prostopadłościan ma podstawę 4 cm × 3 cm i wysokość 2 cm. Ile wynosi pole jego powierzchni bocznej?

14 cm² 24 cm² 28 cm² 52 cm²

Najważniejsza własność

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pól dwóch podstaw i wszystkich ścian bocznych. Zapisujemy ją krótko:

Pole powierzchni całkowitej

Pc = 2 · Pp + Pb

Pc — pole powierzchni całkowitej, Pp — pole jednej podstawy, Pb — pole powierzchni bocznej.

W graniastosłupie prostym każda ściana boczna jest prostokątem. Jeden bok tego prostokąta to krawędź podstawy, a drugi to wysokość bryły H. Suma długości wszystkich krawędzi podstawy to obwód podstawy, dlatego:

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego

Pb = obwód podstawy · H

H — wysokość graniastosłupa, czyli odległość między podstawami.

Sprytny krok

Najpierw ustal, która ściana jest podstawą, i policz jej pole oraz obwód. Dopiero potem pomnóż obwód przez wysokość. Wysokość H to odległość między podstawami, a nie długość dowolnej krawędzi bryły.

Przykład 1 — prostopadłościan

Prostopadłościan ma wymiary 6 cm × 4 cm × 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Przyjmij ścianę 6 cm × 4 cm za podstawę. Pp = 6 · 4 = 24 cm².
Obwód podstawy: 2 · (6 + 4) = 20 cm.
Wysokość bryły H = 3 cm, więc Pb = 20 · 3 = 60 cm².
Pc = 2 · 24 + 60 = 48 + 60 = 108 cm².

Odpowiedź: 108 cm².

Przykład 2 — graniastosłup prosty o podstawie trójkątnej

Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm oraz przeciwprostokątnej 5 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz Pc.

Pole podstawy: Pp = 1/2 · 3 · 4 = 6 cm².
Obwód podstawy: 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Pole powierzchni bocznej: Pb = 12 · 10 = 120 cm².
Pc = 2 · 6 + 120 = 12 + 120 = 132 cm².

Odpowiedź: 132 cm².

Jednostki pola

Pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych: cm², dm², m². Przy zamianie: 1 dm² = 100 cm², a 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Na przykład 0,25 m² = 2500 cm². Przed dodaniem pól zapisz je w tej samej jednostce.

Uwaga na wzór

We wzorze Pc = 2 · Pp + Pb litera Pp oznacza pole jednej podstawy. Dopiero mnożnik 2 obejmuje obie podstawy. Nie dodawaj Pb do samego Pp bez podwojenia.

4. Który wzór opisuje pole powierzchni całkowitej graniastosłupa?

Pc = Pp + Pb Pc = 2 · Pp + Pb Pc = Pp · H Pc = 2 · Pb + Pp

5. Graniastosłup prosty ma w podstawie kwadrat o boku 5 cm, a jego wysokość wynosi 8 cm. Ile wynosi Pc?

90 cm² 200 cm² 260 cm² 210 cm²

6. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm, a wysokość bryły wynosi 6 cm. Ile wynosi Pc?

84 cm² 72 cm² 78 cm² 96 cm²

Spróbuj samodzielnie

Prostopadłościan ma wymiary 8 cm × 5 cm × 4 cm. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.
Pokaż rozwiązanie
Przyjmuję ścianę 8 cm × 5 cm za podstawę. Pp = 8 · 5 = 40 cm². Obwód podstawy: 2 · (8 + 5) = 26 cm. Wysokość H = 4 cm, więc Pb = 26 · 4 = 104 cm². Pc = 2 · 40 + 104 = 80 + 104 = 184 cm².
Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm oraz przeciwprostokątnej 10 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 1/2 · 6 · 8 = 24 cm². Obwód podstawy: 6 + 8 + 10 = 24 cm. Pb = 24 · 12 = 288 cm². Pc = 2 · 24 + 288 = 48 + 288 = 336 cm².
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 20 cm × 15 cm × 10 cm. Ile centymetrów kwadratowych papieru potrzeba na oklejenie wszystkich ścian? Podaj wynik także w m².
Pokaż rozwiązanie
Pp = 20 · 15 = 300 cm². Obwód podstawy: 2 · (20 + 15) = 70 cm. Pb = 70 · 10 = 700 cm². Pc = 2 · 300 + 700 = 600 + 700 = 1300 cm². Ponieważ 1 m² = 10 000 cm², to 1300 cm² = 0,13 m². Potrzeba 1300 cm², czyli 0,13 m² papieru.

7. Prostopadłościan ma wymiary 7 cm × 4 cm × 3 cm. Ile wynosi jego pole powierzchni całkowitej?

84 cm² 100 cm² 122 cm² 132 cm²

8. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm oraz przeciwprostokątnej 13 cm. Wysokość bryły wynosi 10 cm. Ile wynosi Pc?

360 cm² 330 cm² 390 cm² 300 cm²

9. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego o obwodzie podstawy 18 cm i wysokości 7 cm wynosi:

25 cm² 126 cm² 63 cm² 252 cm²

Krótki quiz

Sprawdź, czy potrafisz dobrać podstawę, obliczyć pole powierzchni bocznej i poprawnie użyć jednostek. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie.

Zapamiętaj

Pc = 2 · Pp + Pb, a w graniastosłupie prostym Pb = obwód podstawy · H. Wynik podawaj w jednostkach kwadratowych.

10. Sześcian ma krawędź długości 6 cm. Ile wynosi jego pole powierzchni całkowitej?

36 cm² 72 cm² 144 cm² 216 cm²

11. Graniastosłup ma pole podstawy 15 cm² i pole powierzchni bocznej 80 cm². Ile wynosi pole powierzchni całkowitej?

95 cm² 110 cm² 125 cm² 160 cm²

12. Ile centymetrów kwadratowych ma 0,4 m²?

40 cm² 400 cm² 4000 cm² 40 000 cm²