MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 03

Graniastosłupy: objętość

Obliczysz objętość graniastosłupa i zamienisz jednostki objętości.

Wprowadzenie

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Wyobraź sobie, że wypełniasz prostopadłościan jednakowymi sześcianami o krawędzi 1 cm. Każdy taki sześcian ma objętość 1 cm³. Na rysunku jedna warstwa liczy 4 · 3 = 12 kostek, a warstw są 2, więc bryła zawiera 24 kostki, czyli ma objętość 24 cm³.

Prostopadłościan 4 cm × 3 cm × 2 cm podzielony na jednostkowe sześciany. Jedna warstwa to 4 · 3 = 12 kostek, a warstwy są 2. Razem 24 kostki, czyli 24 cm³.

Pole podstawy mówi, ile kostek mieści jedna warstwa, a wysokość — ile warstw jest w bryle. Dlatego objętość graniastosłupa obliczamy jako iloczyn pola podstawy i wysokości. Wystarczy znać pole jednej podstawy, nie trzeba liczyć wszystkich kostek.

1. Czym jest objętość bryły?

liczbą jednostkowych sześcianów, które się w niej mieszczą sumą pól wszystkich jej ścian obwodem podstawy pomnożonym przez wysokość sumą długości wszystkich jej krawędzi

2. Prostopadłościan 4 cm × 3 cm × 2 cm wypełniono jednostkowymi sześcianami o krawędzi 1 cm. Ile sześcianów potrzeba?

9 12 24 26

3. W jakich jednostkach wyrażamy objętość?

cm² cm³ cm m²

Najważniejsza własność

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola jego podstawy i wysokości bryły. Zapisujemy to wzorem:

Objętość graniastosłupa

V = Pp · H

V — objętość, Pp — pole jednej podstawy, H — wysokość graniastosłupa, czyli odległość między podstawami.

W graniastosłupie prostym wysokość H jest długością krawędzi bocznej. Wysokość musi być prostopadła do podstawy. W graniastosłupie trójkątnym uważaj na dwie różne wysokości: wysokość trójkąta w podstawie służy do obliczenia Pp, a H to wysokość całej bryły.

W prostopadłościanie możesz wybrać dowolną ścianę jako podstawę, jeśli do niej dobierzesz wysokość. Dla prostopadłościanu 6 cm × 4 cm × 3 cm:

podstawa 6 cm × 4 cm ma pole 24 cm², a wysokość wynosi 3 cm, więc V = 24 · 3 = 72 cm³;
podstawa 6 cm × 3 cm ma pole 18 cm², a wysokość wynosi 4 cm, więc V = 18 · 4 = 72 cm³;
podstawa 4 cm × 3 cm ma pole 12 cm², a wysokość wynosi 6 cm, więc V = 12 · 6 = 72 cm³.

Za każdym razem wynik jest taki sam. Ważne, żeby pole podstawy i wysokość dotyczyły tego samego kierunku.

Sprytny krok

Najpierw wskaż podstawę i policz jej pole. Potem znajdź wysokość prostopadłą do tej podstawy. Nie mnoż przypadkowych trzech krawędzi, jeśli bryła nie jest prostopadłościanem.

Przykład 1 — prostopadłościan

Prostopadłościan ma wymiary 5 cm × 4 cm × 3 cm. Oblicz jego objętość.

Przyjmij ścianę 5 cm × 4 cm za podstawę. Pp = 5 · 4 = 20 cm².
Wysokość prostopadła do tej podstawy wynosi H = 3 cm.
V = Pp · H = 20 · 3 = 60 cm³.

Odpowiedź: 60 cm³.

Przykład 2 — graniastosłup trójkątny

Graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm oraz przeciwprostokątnej 10 cm. Wysokość bryły wynosi 12 cm. Oblicz objętość.

Pole podstawy: Pp = 1/2 · 6 · 8 = 24 cm².
Wysokość bryły H = 12 cm.
V = 24 · 12 = 288 cm³.

Odpowiedź: 288 cm³.

Przykład 3 — akwarium

Prostopadłościenne akwarium ma wymiary 50 cm × 30 cm × 40 cm. Ile litrów wody zmieści się w nim do pełna?

Objętość w centymetrach sześciennych: V = 50 · 30 · 40 = 60 000 cm³.
1 l = 1000 cm³, więc dzielimy przez 1000: 60 000 : 1000 = 60 l.

Odpowiedź: 60 l. (Pomijamy grubość szkła.)

Jednostki objętości i pojemności

1 dm³ = 1 l
1 m³ = 1000 l
1 cm³ = 1 ml
1 l = 1000 ml = 1000 cm³
1 m³ = 1 000 000 cm³

Zamiana jednostek

Zamieniając cm³ na litry, dzielisz przez 1000. Zamieniając m³ na litry, mnożysz przez 1000. Najpierw doprowadź wszystkie wymiary do tej samej jednostki, a dopiero potem licz objętość.

4. Który wzór pozwala obliczyć objętość graniastosłupa?

V = Pp + H V = 2 · Pp + Pb V = Pp · H V = Pb · H

5. Prostopadłościan ma wymiary 5 cm × 4 cm × 3 cm. Ile wynosi jego objętość?

12 cm³ 60 cm³ 47 cm³ 120 cm³

6. Graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Wysokość bryły wynosi 10 cm. Ile wynosi objętość?

240 cm³ 480 cm³ 120 cm³ 80 cm³

Spróbuj samodzielnie

Pojemnik w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 60 cm × 40 cm × 50 cm. Oblicz jego objętość w cm³ i w litrach.
Pokaż rozwiązanie
V = 60 · 40 · 50 = 120 000 cm³. Ponieważ 1 l = 1000 cm³, to 120 000 : 1000 = 120 l. Pojemnik ma objętość 120 000 cm³, czyli 120 l.
Graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm oraz przeciwprostokątnej 13 cm. Wysokość bryły wynosi 20 cm. Oblicz objętość w cm³ i w litrach.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 1/2 · 5 · 12 = 30 cm². V = 30 · 20 = 600 cm³. Ponieważ 1000 cm³ = 1 l, to 600 cm³ = 0,6 l.
Prostopadłościenne akwarium ma podstawę 80 cm × 35 cm i wysokość 45 cm. Woda sięga do wysokości 30 cm. Ile litrów wody jest w akwarium? Ile litrów jeszcze trzeba, aby napełnić je do pełna?
Pokaż rozwiązanie
Objętość wody: 80 · 35 · 30 = 84 000 cm³ = 84 l. Pełna pojemność akwarium: 80 · 35 · 45 = 126 000 cm³ = 126 l. Brakuje 126 − 84 = 42 l. W akwarium jest 84 l wody, a do pełna potrzeba jeszcze 42 l.

7. Prostopadłościenne akwarium ma wymiary 60 cm × 40 cm × 50 cm. Ile litrów wody zmieści się w nim do pełna?

12 l 1200 l 12 000 l 120 l

8. Graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm oraz przeciwprostokątnej 13 cm. Wysokość bryły wynosi 20 cm. Ile wynosi objętość?

600 cm³ 300 cm³ 1200 cm³ 60 cm³

9. Akwarium ma podstawę 80 cm × 35 cm i wysokość 45 cm. Woda sięga do wysokości 30 cm. Ile litrów wody jest w akwarium?

126 l 42 l 840 l 84 l

Krótki quiz

Sprawdź, czy umiesz obliczyć objętość, dobrać właściwą podstawę i zamienić jednostki. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie.

Zapamiętaj

V = Pp · H. Wysokość musi być prostopadła do podstawy. Pamiętaj: 1 dm³ = 1 l, 1 m³ = 1000 l, 1 cm³ = 1 ml.

10. 1 dm³ to:

1 ml 1 l 100 l 10 l

11. 1 m³ to:

100 l 10 000 l 1000 l 1 000 000 l

12. 0,25 m³ to ile litrów?

25 l 2500 l 0,25 l 250 l