Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-11-04
Pomiń nawigację
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · klasa 8

MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 04

Ostrosłupy: pole powierzchni

Obliczysz pole powierzchni ostrosłupa, w tym pole ścian bocznych. Rozróżnisz wysokość bryły od wysokości ściany bocznej i wykorzystasz twierdzenie Pitagorasa.

Wprowadzenie

Ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę i jeden wierzchołek — nazywany wierzchołkiem ostrosłupa. Każdy wierzchołek podstawy jest połączony z tym wierzchołkiem, dlatego wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami.

Liczba ścian bocznych jest równa liczbie boków podstawy: ostrosłup trójkątny ma 3 ściany boczne, czworokątny — 4, a sześciokątny — 6. Pole powierzchni całkowitej to suma pola jedynej podstawy i pól wszystkich ścian bocznych.

H h S — wierzchołek ostrosłupa środek krawędzi podstawa Pp ściana boczna Pc = Pp + Pb P ściany = 1/2 · a · h H — wysokość bryły h — wysokość ściany a — krawędź podstawy h jest dłuższe od H
Ostrosłup ma tylko jedną podstawę. Ściany boczne to trójkąty, a ich wspólny wierzchołek leży nad podstawą. Wysokość bryły H jest prostopadła do podstawy, natomiast wysokość ściany bocznej h leży w tej ścianie.
1. Z ilu figur składa się siatka ostrosłupa czworokątnego?
1. Z ilu figur składa się siatka ostrosłupa czworokątnego?
2. Czym są ściany boczne ostrosłupa?
2. Czym są ściany boczne ostrosłupa?
3. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa obliczamy jako:
3. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa obliczamy jako:

Najważniejsza własność

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa obliczamy, dodając pole jego jedynej podstawy do pól wszystkich ścian bocznych:

Pole powierzchni ostrosłupa

Pc = Pp + Pb
Pole jednej ściany bocznej: P = 1/2 · a · h, gdzie a to krawędź podstawy (podstawa trójkąta), a h to wysokość ściany bocznej.
Dla ostrosłupa prawidłowego: Pb = 1/2 · obwód podstawy · h.

Ściana boczna jest trójkątem. Jej podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa, a wysokością — odcinek poprowadzony z wierzchołka ostrosłupa do tej krawędzi pod kątem prostym. Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek jego wysokości leży w środku podstawy. W takim ostrosłupie wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, dlatego wystarczy obliczyć pole jednej ściany i pomnożyć je przez ich liczbę. Zamiast dodawać pola kolejnych trójkątów, można też użyć wzoru z obwodem podstawy.

H to nie h

H jest wysokością całej bryły — odległością wierzchołka od płaszczyzny podstawy. h jest wysokością ściany bocznej i leży w tej ścianie. Do pola ściany bocznej potrzebujesz h, a nie H. W ostrosłupie prawidłowym w przekroju przez wierzchołek, środek podstawy i środek krawędzi powstaje trójkąt prostokątny, w którym H jest przyprostokątną, a h — przeciwprostokątną. Dlatego h jest dłuższe od H.

Przykład rozwiązany

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość bryły H = 4 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

  1. Podstawa jest kwadratem: Pp = 6² = 36 cm².
  2. Odległość środka podstawy od krawędzi to połowa boku: 6 : 2 = 3 cm.
  3. Z twierdzenia Pitagorasa dla przekroju: h² = H² + 3² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, więc h = 5 cm.
  4. Pole jednej ściany bocznej: 1/2 · 6 · 5 = 15 cm². Cztery takie ściany: Pb = 4 · 15 = 60 cm².
  5. Pc = Pp + Pb = 36 + 60 = 96 cm².

Odpowiedź: Pc = 96 cm².

Przykład rozwiązany — podstawa trójkątna

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 8 cm i wysokość ściany bocznej h = 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

  1. Podstawa jest trójkątem równobocznym. Jej wysokość to 4√3 cm, więc Pp = 1/2 · 8 · 4√3 = 16√3 ≈ 27,7 cm².
  2. Obwód podstawy: 3 · 8 = 24 cm.
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 1/2 · 24 · 6 = 72 cm².
  4. Pc = 16√3 + 72 ≈ 27,7 + 72 = 99,7 cm².

Odpowiedź: Pc = 72 + 16√3 cm² ≈ 99,7 cm².

4. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma obwód podstawy 24 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi:
4. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma obwód podstawy 24 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi:
5. W ostrosłupie prawidłowym wysokość bryły H i wysokość ściany bocznej h spełniają zależność:
5. W ostrosłupie prawidłowym wysokość bryły H i wysokość ściany bocznej h spełniają zależność:
6. Pole jednej trójkątnej ściany bocznej o podstawie 6 cm i wysokości 9 cm wynosi:
6. Pole jednej trójkątnej ściany bocznej o podstawie 6 cm i wysokości 9 cm wynosi:

Spróbuj samodzielnie

  1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość ściany bocznej 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

    Pokaż rozwiązanie
    Pp = 10² = 100 cm². Pole jednej ściany bocznej: 1/2 · 10 · 12 = 60 cm², więc Pb = 4 · 60 = 240 cm². Pc = 100 + 240 = 340 cm².

  2. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 8 cm i wysokość bryły 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

    Pokaż rozwiązanie
    Pp = 8² = 64 cm². Odległość środka podstawy od krawędzi to 4 cm, więc h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 i h = 5 cm. Pb = 4 · (1/2 · 8 · 5) = 4 · 20 = 80 cm². Pc = 64 + 80 = 144 cm².

  3. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 12 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm².

    Pokaż rozwiązanie
    Obwód podstawy: 3 · 12 = 36 cm, więc Pb = 1/2 · 36 · 7 = 126 cm². Wysokość trójkąta równobocznego o boku 12 to 6√3 cm, więc Pp = 1/2 · 12 · 6√3 = 36√3 ≈ 62,4 cm². Pc ≈ 126 + 62,4 = 188,4 cm².
7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość ściany bocznej 12 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość ściany bocznej 12 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
8. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 8 cm i wysokość bryły 3 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
8. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 8 cm i wysokość bryły 3 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
9. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 12 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi około:
9. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 12 cm i wysokość ściany bocznej 7 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi około:

Krótki quiz

Wybierz jedną odpowiedź. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie, a po sprawdzeniu przeczytaj uzasadnienie.

Zapamiętaj

Ostrosłup ma jedną podstawę, więc Pc = Pp + Pb. Pole ściany bocznej to 1/2 · a · h, a w ostrosłupie prawidłowym Pb = 1/2 · obwód podstawy · h. Uważaj, żeby nie użyć wysokości bryły H zamiast wysokości ściany bocznej h.

10. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość ściany bocznej 8 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
10. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość ściany bocznej 8 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:
11. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma obwód podstawy 21 cm i wysokość ściany bocznej 10 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi:
11. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma obwód podstawy 21 cm i wysokość ściany bocznej 10 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi:
12. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma pole podstawy 64 cm² i pole powierzchni bocznej 96 cm². Pole powierzchni całkowitej wynosi:
12. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma pole podstawy 64 cm² i pole powierzchni bocznej 96 cm². Pole powierzchni całkowitej wynosi:

Materiały edukacyjne Hyżyk · Graniastosłupy i ostrosłupy — egzamin ósmoklasisty · Prywatność i dane