MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 05
Ostrosłupy: objętość
Obliczysz objętość ostrosłupa i wykorzystasz zależność z graniastosłupem. Nauczysz się też obliczać brakującą wysokość lub pole podstawy oraz poprawnie dobierać jednostki objętości.
Wprowadzenie
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Wyrażamy ją w jednostkach sześciennych: cm³, dm³, m³. Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek, a jego objętość zależy od pola podstawy Pp i wysokości bryły H.
Wysokość H to odległość wierzchołka ostrosłupa od płaszczyzny podstawy — odcinek poprowadzony prostopadle do podstawy. Nie należy jej mylić z wysokością ściany bocznej h, która leży w trójkątnej ścianie.
Najważniejsza własność
Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości bryły:
V = 1/3 · Pp · H
Graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości: V = Pp · H, czyli 3 razy więcej.
Szukana wysokość: H = 3V / Pp. Szukane pole podstawy: Pp = 3V / H.
Związek z graniastosłupem jest bardzo praktyczny. Jeśli graniastosłup i ostrosłup mają takie samo pole podstawy i taką samą wysokość, to objętość graniastosłupa jest trzy razy większa od objętości ostrosłupa. Odwrotnie: ostrosłup ma objętość trzy razy mniejszą. Trzy takie ostrosłupy miałyby razem objętość równą objętości tego graniastosłupa.
Do objętości podstawiamy H — wysokość bryły, czyli odległość wierzchołka od podstawy. Wysokość ściany bocznej h służy do obliczania pola powierzchni, nie objętości. Pomyłka H z h to najczęstszy błąd w tym temacie.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz jego objętość. Ile wynosi objętość graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości?
- Podstawa jest kwadratem: Pp = 6² = 36 cm².
- Objętość ostrosłupa: V = 1/3 · 36 · 4 = 12 · 4 = 48 cm³.
- Objętość graniastosłupa: V = 36 · 4 = 144 cm³.
- Sprawdzenie: 3 · 48 = 144, czyli graniastosłup ma trzy razy większą objętość.
Odpowiedź: Ostrosłup ma 48 cm³, a graniastosłup 144 cm³.
Ostrosłup ma podstawę będącą trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Wysokość bryły wynosi 9 cm. Oblicz objętość.
- Pole podstawy: Pp = 1/2 · 6 · 8 = 24 cm².
- Objętość: V = 1/3 · 24 · 9 = 8 · 9 = 72 cm³.
- Gdyby to był graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości, miałby 24 · 9 = 216 cm³, czyli trzy razy więcej.
Odpowiedź: V = 72 cm³.
Ostrosłup ma objętość 60 cm³ i pole podstawy 20 cm². Oblicz wysokość bryły.
- Podstawiamy do wzoru: 60 = 1/3 · 20 · H.
- Mnożymy obie strony przez 3: 180 = 20 · H.
- Dzielimy przez 20: H = 9 cm.
Odpowiedź: H = 9 cm.
1 cm³ = 1000 mm³, 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 l, 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l. Wynik objętości zawsze zapisuj w jednostkach sześciennych, np. cm³, a nie cm².
Spróbuj samodzielnie
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 9 cm i wysokość 10 cm. Oblicz objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 9² = 81 cm². V = 1/3 · 81 · 10 = 27 · 10 = 270 cm³.Ostrosłup ma podstawę będącą trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm oraz wysokość 15 cm. Oblicz objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 1/2 · 6 · 8 = 24 cm². V = 1/3 · 24 · 15 = 8 · 15 = 120 cm³.Objętość ostrosłupa wynosi 150 cm³, a pole jego podstawy 25 cm². Oblicz wysokość bryły.
Pokaż rozwiązanie
150 = 1/3 · 25 · H. Po pomnożeniu przez 3: 450 = 25 · H. Dzielimy przez 25: H = 18 cm.
Krótki quiz
Wybierz jedną odpowiedź. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie, a po sprawdzeniu przeczytaj uzasadnienie.
V = 1/3 · Pp · H. Graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości ma objętość trzy razy większą. Do objętości bierzemy wysokość bryły H, a nie wysokość ściany bocznej h. Wynik podawaj w cm³, dm³ lub m³.