MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 06
Przekroje i zadania złożone
Połączysz własności brył w zadaniach z przekrojami, pojemnością i skalą. Zobaczysz, jak kierunek cięcia zmienia kształt przekroju, i rozwiążesz zadania o basenie, pudełku oraz dachu.
Wprowadzenie
Przekrój bryły to figura, którą zobaczysz na przeciętej powierzchni, gdy przetniesz bryłę płaszczyzną. To nie to samo co siatka: siatka to cała powierzchnia bryły rozłożona na płaszczyźnie, a przekrój to jedna płaska „warstwa” wewnątrz bryły.
Kształt przekroju zależy od dwóch rzeczy: od rodzaju bryły i od ustawienia płaszczyzny. Ten sam graniastosłup może dać kwadrat, prostokąt albo inny wielokąt — wszystko zależy od tego, jak poprowadzisz cięcie. Dlatego przed obliczeniami zawsze ustal, czy płaszczyzna jest równoległa do podstawy, prostopadła do niej, czy przechodzi przez wierzchołek.
Na egzaminie przekrój najczęściej pojawia się w trzech wariantach: płaszczyzna równoległa do podstawy, płaszczyzna prostopadła do podstawy oraz płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa. W każdym z nich najpierw nazwij bryłę, a potem ustal, które krawędzie przecina płaszczyzna.
Najważniejsza własność
Graniastosłup, przekrój równoległy do podstawy. Przekrój jest przystający do podstawy — ma taki sam kształt i takie same wymiary. Pole przekroju jest więc równe polu podstawy. Nie zmniejsza się wraz z wysokością, bo graniastosłup ma jednakowy przekrój na całej wysokości. Jeśli płaszczyzna przechodzi na wysokości x od podstawy, to górna część jest graniastosłupem o tej samej podstawie i wysokości H − x.
Graniastosłup prosty, przekrój prostopadły do podstawy. Przekrój jest prostokątem. Jeden bok tego prostokąta to wysokość bryły H, a drugi to odcinek, wzdłuż którego płaszczyzna przecina podstawę. Pole przekroju wynosi H · długość tego odcinka. Jeśli tniemy przez krawędź podstawy, drugi bok ma długość tej krawędzi; jeśli przez przekątną — długość przekątnej. Na przykład w prostopadłościanie o podstawie 6 cm × 8 cm i wysokości 12 cm przekrój przez przekątną podstawy ma boki 10 cm i 12 cm, bo √(6² + 8²) = 10, więc jego pole wynosi 120 cm².
Ostrosłup, przekrój równoległy do podstawy. Przekrój jest mniejszym wielokątem podobnym do podstawy. Jeśli płaszczyzna leży w odległości x od wierzchołka, a cała wysokość bryły wynosi H, to skala podobieństwa wynosi k = x/H. Boki przekroju są k razy krótsze, pole — k² razy mniejsze, a objętość górnego ostrosłupa — k³ razy mniejsza. W połowie wysokości, czyli dla k = 1/2, pole przekroju to 1/4 pola podstawy, a objętość górnej bryły to 1/8 objętości całej.
Ostrosłup, przekrój przez wierzchołek. Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek przecina ostrosłup w trójkącie. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekrój przez wierzchołek i przekątną podstawy jest trójkątem równoramiennym: jego podstawa to przekątna podstawy, a wysokość to wysokość bryły H. Dla krawędzi podstawy a pole tego przekroju wynosi 1/2 · a√2 · H.
Graniastosłup, przekrój równoległy do podstawy: figura przystająca do podstawy.
Graniastosłup prosty, przekrój prostopadły do podstawy: prostokąt o jednym boku H.
Ostrosłup, przekrój równoległy do podstawy: wielokąt podobny w skali k = x/H.
Ostrosłup, przekrój przez wierzchołek: trójkąt.
Skala k: długości · k, pola · k², objętości · k³.
Zadania złożone łączą przekrój z polem powierzchni, objętością, pojemnością i skalą. Pamiętaj o jednostkach: 1 dm³ = 1 l, 1 m³ = 1000 l, 1 cm³ = 1 ml. Przy skali k długości zmieniają się k razy, pola k² razy, a objętości k³ razy.
Zanim policzysz, narysuj przekrój obok bryły i przenieś na niego wymiary. Zapytaj: czy ten bok to H, krawędź podstawy, przekątna, a może wysokość ściany bocznej? Pomylenie tych odcinków to najczęstsza przyczyna błędu.
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 30 cm × 20 cm × 15 cm. Ile kartonu potrzeba na całą siatkę (z pokrywką)? Ile litrów zmieści pudełko?
- Pole powierzchni: Pc = 2 · (30 · 20 + 30 · 15 + 20 · 15) = 2 · (600 + 450 + 300) = 2700 cm².
- Objętość: V = 30 · 20 · 15 = 9000 cm³.
- Zamiana: 1000 cm³ = 1 dm³ = 1 l, więc 9000 cm³ = 9 l.
Odpowiedź: 2700 cm² kartonu; pojemność 9 l.
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 12 m × 5 m × 1,8 m. Ile litrów wody zmieści się w basenie? Ile metrów kwadratowych płytek potrzeba na dno i cztery ściany?
- Objętość: V = 12 · 5 · 1,8 = 108 m³.
- Zamiana: 1 m³ = 1000 l, więc 108 m³ = 108 000 l.
- Dno: 12 · 5 = 60 m². Dłuższe ściany: 2 · 12 · 1,8 = 43,2 m². Krótsze ściany: 2 · 5 · 1,8 = 18 m².
- Pole płytek: 60 + 43,2 + 18 = 121,2 m².
Odpowiedź: 108 000 l wody; 121,2 m² płytek.
Dach dwuspadowy ma szerokość 8 m, wysokość 3 m i długość 10 m. Oblicz objętość przestrzeni pod dachem i powierzchnię dwóch połaci.
- Przekrój dachu to trójkąt równoramienny o podstawie 8 m i wysokości 3 m. Pole przekroju: 1/2 · 8 · 3 = 12 m².
- Objętość: V = 12 · 10 = 120 m³.
- Połowa szerokości to 4 m. Krokiew: √(4² + 3²) = √25 = 5 m.
- Jedna połać: 5 · 10 = 50 m². Dwie połacie: 2 · 50 = 100 m².
Odpowiedź: 120 m³ przestrzeni; 100 m² dwóch połaci.
Spróbuj samodzielnie
Rozwiąż zadania, zapisując kolejne kroki. Przy przekroju najpierw ustal jego kształt i wymiary, a dopiero potem podstawiaj do wzoru na pole lub objętość.
Prostopadłościan ma wymiary 8 cm × 6 cm × 5 cm. Płaszczyzna równoległa do podstawy o wymiarach 8 cm × 6 cm przecina bryłę w połowie wysokości. Podaj wymiary przekroju, jego pole oraz objętość górnej części.
Pokaż rozwiązanie
Przekrój jest prostokątem 8 cm × 6 cm, bo jest równoległy do podstawy. Pole: 8 · 6 = 48 cm². Górna część to prostopadłościan o podstawie 48 cm² i wysokości 2,5 cm (połowa z 5 cm), więc V = 48 · 2,5 = 120 cm³.Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość 12 cm. Przekrój równoległy do podstawy przechodzi przez środek wysokości. Oblicz pole przekroju i o ile procent jest ono mniejsze od pola podstawy.
Pokaż rozwiązanie
Skala podobieństwa wynosi k = 1/2, bo płaszczyzna jest w połowie wysokości. Bok przekroju: 1/2 · 10 = 5 cm, więc pole przekroju to 5 · 5 = 25 cm². Pole podstawy: 10 · 10 = 100 cm². Różnica: 100 − 25 = 75 cm², czyli 75% pola podstawy. Pole przekroju jest mniejsze o 75%.Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 20 m × 8 m × 2 m. (a) Ile litrów wody zmieści? (b) Ile metrów kwadratowych płytek potrzeba na dno i cztery ściany? (c) Drugi basen jest podobny w skali 1:2. Ile razy mniejsza jest jego objętość?
Pokaż rozwiązanie
(a) V = 20 · 8 · 2 = 320 m³ = 320 000 l. (b) Dno: 20 · 8 = 160 m²; dłuższe ściany: 2 · 20 · 2 = 80 m²; krótsze ściany: 2 · 8 · 2 = 32 m²; razem 160 + 80 + 32 = 272 m². (c) Skala 1:2 oznacza, że długości są 2 razy mniejsze, więc objętość jest 2³ = 8 razy mniejsza.
Krótki quiz
Wybierz odpowiedź. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie.
W graniastosłupie przekrój równoległy do podstawy jest taki sam jak podstawa, a w ostrosłupie — mniejszy i podobny. Przekrój prostopadły do podstawy graniastosłupa prostego to prostokąt, a przekrój przez wierzchołek ostrosłupa to trójkąt.