POWTÓRKA PRZED EGZAMINEM · KLASA 8

Zestaw powtórkowy — graniastosłupy i ostrosłupy

20 zadań otwartych w stylu egzaminacyjnym. Najpierw rozwiąż samodzielnie, a potem rozwiń rozwiązanie i porównaj tok rozumowania — nie tylko wynik.

01. Siatki i nazwy

Sprawdź, czy potrafisz rozłożyć bryłę na płaszczyznę i nazwać jej elementy.

Graniastosłup czworokątny ma wymiary podstawy 5 cm × 4 cm i wysokość 3 cm. Opisz siatkę tej bryły: jakie figury wchodzą w jej skład i jakie mają wymiary?
Pokaż rozwiązanie
Siatka zawiera dwie podstawy 5 cm × 4 cm oraz cztery prostokąty boczne: dwa o wymiarach 5 cm × 3 cm i dwa o wymiarach 4 cm × 3 cm. Razem jest 6 figur.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę kwadratową o boku 6 cm i wysokość ściany bocznej 5 cm. Ile wynosi pole jednej ściany bocznej?
Pokaż rozwiązanie
Ściana boczna jest trójkątem o podstawie 6 cm i wysokości 5 cm. P = 1/2 · 6 · 5 = 15 cm². Cztery takie ściany mają razem 60 cm².

Oblicz pole powierzchni całkowitej, korzystając z siatki.

Prostopadłościan ma wymiary 8 cm × 5 cm × 4 cm. Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 8 · 5 = 40 cm². Obwód podstawy = 2 · 8 + 2 · 5 = 26 cm, więc Pb = 26 · 4 = 104 cm². Pc = 2 · 40 + 104 = 184 cm².
Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm oraz przeciwprostokątnej 5 cm. Wysokość bryły wynosi 10 cm. Oblicz Pc.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 1/2 · 3 · 4 = 6 cm². Obwód podstawy = 3 + 4 + 5 = 12 cm, więc Pb = 12 · 10 = 120 cm². Pc = 2 · 6 + 120 = 132 cm².

Zastosuj wzór V = Pp · H i sprawdź jednostki.

Prostopadłościan ma wymiary 12 cm × 5 cm × 8 cm. Oblicz jego objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 12 · 5 = 60 cm², a H = 8 cm. V = 60 · 8 = 480 cm³.
Graniastosłup ma pole podstawy 18 cm² i wysokość 7 cm. Oblicz objętość.
Pokaż rozwiązanie
V = Pp · H = 18 · 7 = 126 cm³.

Zamieniaj cm³, dm³, m³ i litry bez błędów.

Akwarium ma wymiary 60 cm × 30 cm × 40 cm. Ile litrów wody zmieści się w akwarium?
Pokaż rozwiązanie
V = 60 · 30 · 40 = 72 000 cm³. Ponieważ 1 dm³ = 1000 cm³, to 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 l.
Zamień 2,5 m³ na litry oraz 750 ml na cm³.
Pokaż rozwiązanie
1 m³ = 1000 l, więc 2,5 m³ = 2500 l. 1 ml = 1 cm³, więc 750 ml = 750 cm³.

Dodaj pole podstawy i pola trójkątnych ścian bocznych.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę kwadratową o boku 8 cm i wysokość ściany bocznej 6 cm. Oblicz Pc.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 8² = 64 cm². Jedna ściana boczna: 1/2 · 8 · 6 = 24 cm², cztery ściany: 96 cm². Pc = 64 + 96 = 160 cm².
Ostrosłup ma podstawę o polu 24 cm² i trzy ściany boczne, każda o polu 15 cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej.
Pokaż rozwiązanie
Pc = Pp + Pb = 24 + 3 · 15 = 24 + 45 = 69 cm².

Pamiętaj o współczynniku 1/3 we wzorze na objętość.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę kwadratową o boku 9 cm i wysokość 5 cm. Oblicz objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 9² = 81 cm². V = 1/3 · 81 · 5 = 135 cm³.
Objętość ostrosłupa wynosi 80 cm³, a pole podstawy 16 cm². Oblicz wysokość.
Pokaż rozwiązanie
V = 1/3 · Pp · H, więc 80 = 1/3 · 16 · H. Mnożymy przez 3: 240 = 16H, stąd H = 15 cm.

Rozpoznaj kształt przekroju i jego wymiary.

Prostopadłościan ma podstawę 10 cm × 6 cm i wysokość 4 cm. Przekrój równoległy do podstawy poprowadzono na wysokości 2 cm. Jaki jest kształt i pole przekroju?
Pokaż rozwiązanie
Przekrój równoległy do podstawy jest prostokątem 10 cm × 6 cm, takim jak podstawa. Jego pole wynosi 60 cm².
Ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie 8 cm × 8 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w połowie wysokości. Jakie jest pole otrzymanego przekroju?
Pokaż rozwiązanie
Przekrój jest kwadratem podobnym do podstawy w skali 1/2. Bok ma 4 cm, więc pole wynosi 4² = 16 cm². Pole zmniejsza się jak kwadrat skali.

Połącz objętości lub pola kilku brył w jednym zadaniu.

Pudełko ma kształt prostopadłościanu 10 cm × 8 cm × 6 cm, a na nim stoi ostrosłup o podstawie 10 cm × 8 cm i wysokości 3 cm. Oblicz łączną objętość.
Pokaż rozwiązanie
Objętość prostopadłościanu: 10 · 8 · 6 = 480 cm³. Objętość ostrosłupa: 1/3 · 80 · 3 = 80 cm³. Razem 560 cm³.
Prostopadłościenne pudełko bez pokrywy ma podstawę 10 cm × 8 cm i wysokość 5 cm. Oblicz pole powierzchni materiału potrzebnego na jego wykonanie.
Pokaż rozwiązanie
Dno: 10 · 8 = 80 cm². Dwie ściany 10 × 5: 100 cm². Dwie ściany 8 × 5: 80 cm². Razem 80 + 100 + 80 = 260 cm².

Pamiętaj, że w skali 1:50 każdy wymiar jest 50 razy większy, a objętość — 50³ razy.

Model prostopadłościanu w skali 1:50 ma wymiary 4 cm × 3 cm × 2 cm. Podaj rzeczywiste wymiary w metrach.
Pokaż rozwiązanie
1 cm w modelu odpowiada 50 cm = 0,5 m w rzeczywistości. Wymiary: 4 cm → 2 m, 3 cm → 1,5 m, 2 cm → 1 m.
Objętość modelu z poprzedniego zadania wynosi 24 cm³. Oblicz objętość rzeczywistego prostopadłościanu w m³.
Pokaż rozwiązanie
Skala objętości to 50³ = 125 000. Objętość rzeczywista: 24 · 125 000 = 3 000 000 cm³ = 3 m³.

Sprawdź tok rozumowania i wskaż, gdzie popełniono błąd.

Uczeń obliczył pole powierzchni prostopadłościanu 5 cm × 4 cm × 3 cm jako Pp + Pb = 20 + 54 = 74 cm². Wskaż błąd i podaj poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanie
Uczeń pominął drugą podstawę. Powinno być Pc = 2 · Pp + Pb = 2 · 20 + 54 = 94 cm².
Uczeń obliczył pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o podstawie 6 cm i wysokości bryły 4 cm jako 36 + 4 · (1/2 · 6 · 4) = 84 cm². Wysokość ściany bocznej wynosi 5 cm. Wskaż błąd i podaj poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanie
Uczeń użył wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej. Poprawnie: Pb = 4 · (1/2 · 6 · 5) = 60 cm², więc Pc = 36 + 60 = 96 cm².