Kurs: Prąd elektryczny stały (kurs podstawowy) · Moduł 09

Sprawdzian II: Prawo Ohma, opór i połączenie szeregowe

PPrezentacja dla nauczyciela

Kompleksowe podsumowanie i sprawdzian wiedzy z Bloku II. Usystematyzuj wiadomości o prawie Ohma, rezystywności przewodników, działaniu reostatów i regułach obwodu szeregowego przed przystąpieniem do obwodów równoległych.

Zakres powtórzenia i cele modułu:

Powtórzysz i utrwalisz postać oraz zastosowanie prawa Ohma: $I = \frac{U}{R}$.
Przećwiczysz obliczenia oparte na wzorze konstrukcyjnym oporu: $R = \rho \cdot \frac{l}{S}$.
Utrwalisz analizę spadków napięć i oporu zastępczego w układzie szeregowym.
Przetestujesz dynamiczny rozkład potencjału elektrycznego w symulatorze obwodu z trzema opornikami.
Rozwiążesz Sprawdzian II złożony z 6 zadań weryfikujących umiejętności rachunkowe i konceptualne.

Zestawienie praw i wzorów Bloku II

Nazwa prawa / pojęcia	Wzór matematyczny	Fizyczne znaczenie i komentarz
Prawo Ohma dla części obwodu	$I = \frac{U}{R} \iff U = I \cdot R$	Natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do napięcia i odwrotnie proporcjonalne do oporu (przy $T = \text{const}$).
Definicja oporu (rezystancji)	$R = \frac{U}{I} \quad [1\ \Omega = 1\ \text{V}/\text{A}]$	Stosunek napięcia na odbiorniku do natężenia prądu przez niego płynącego.
Wzór na opór przewodnika	$R = \rho \cdot \frac{l}{S}$	Opór rośnie z długością $l$, maleje wraz z polem przekroju $S$ i zależy od materiału ($\rho$).
Natężenie w układzie szeregowym	$I = I_1 = I_2 = \dots = I_n$	W nierozgałęzionym obwodzie szeregowym przez każdy element przepływa dokładnie ten sam prąd.
Napięcie w układzie szeregowym	$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n$	Napięcie źródła dzieli się na odbiorniki; większy spadek napięcia odkłada się na elemencie o większym oporze.
Opór zastępczy szeregowy	$R_z = R_1 + R_2 + \dots + R_n$	Opór całkowity jest sumą oporów cząstkowych i jest zawsze większy od każdego z oporów składowych ($R_z > R_i$).

1. Jaką jednostką wyraża się opór elektryczny i jak wynika ona z prawa Ohma?

1 Ω = 1 V/A, czyli wolt na amper 1 Ω = 1 A/V, czyli amper na wolt 1 Ω = 1 V·A, czyli wolt razy amper 1 Ω = 1 J/C, czyli dżul na kulomb

2. Jak zmieni się opór przewodnika z danego materiału, gdy zwiększymy jego pole przekroju S, nie zmieniając długości?

Zwiększy się, bo grubszy przewód zawiera więcej materiału oporowego Zmniejszy się, bo S występuje w mianowniku wzoru R = ρ·l/S Nie zmieni się, bo opór zależy tylko od długości i rodzaju materiału Zwiększy się dwukrotnie, bo pole przekroju jest wprost proporcjonalne do oporu

3. Co dokładnie mówi prawo Ohma dla części obwodu?

Natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do napięcia i wprost proporcjonalne do oporu Napięcie jest odwrotnie proporcjonalne do iloczynu natężenia i oporu Natężenie jest wprost proporcjonalne do napięcia i odwrotnie proporcjonalne do oporu Opór jest wprost proporcjonalny do natężenia i odwrotnie proporcjonalny do napięcia

Metoda analizy obwodu szeregowego krok po kroku

Uniwersalny schemat rozwiązywania zadań:

Krok 1: Oblicz opór zastępczy całego szeregu: $R_z = R_1 + R_2 + \dots$.
Krok 2: Z prawa Ohma wyznacz natężenie prądu płynącego w obwodzie: $I = \frac{U}{R_z}$.
Krok 3: Oblicz spadki napięć na poszczególnych opornikach: $U_1 = I \cdot R_1$, $U_2 = I \cdot R_2$, itd.
Krok 4: Wykonaj bilans kontrolny: sprawdź, czy suma obliczonych napięć $U_1 + U_2 + \dots$ jest równa napięciu zasilania $U$.

4. Od czego zaczyna się analizę obwodu szeregowego według podanego schematu?

Od obliczenia spadków napięć na poszczególnych opornikach Od odczytania natężenia prądu z amperomierza włączonego w gałąź Od sprawdzenia bilansu napięć przez dodanie wszystkich spadków Od obliczenia oporu zastępczego przez zsumowanie oporów wszystkich elementów

5. Na czym polega bilans kontrolny wykonywany w ostatnim kroku metody?

Na sprawdzeniu, że suma obliczonych spadków napięć równa się napięciu zasilania Na sprawdzeniu, że suma oporów równa się oporowi największego opornika Na sprawdzeniu, że natężenia w kolejnych opornikach sumują się do prądu źródła Na sprawdzeniu, że moc źródła równa się sumie napięć na opornikach

6. Dlaczego w drugim kroku dzielimy napięcie źródła przez opór zastępczy, a nie przez opór jednego opornika?

Bo opór zastępczy jest zawsze mniejszy od najmniejszego opornika w obwodzie Bo prąd jest w całym szeregu jednakowy i zależy od łącznego oporu wszystkich elementów Bo napięcie źródła odkłada się w całości tylko na pierwszym oporniku Bo przez pierwszy opornik płynie zawsze największy prąd w całym obwodzie

Rysunek: rozkład potencjału elektrycznego wzdłuż obwodu szeregowego

Schodkowy spadek potencjału wzdłuż obwodu: każdy kolejny opornik „pochłania” część napięcia zasilania proporcjonalnie do swojego oporu.

7. Co oznacza poziomy odcinek wykresu między spadkami U₁ i U₂?

Że na tym odcinku prąd chwilowo przestaje płynąć Że na przewodzie odkłada się dodatkowy spadek napięcia 8 V Że na przewodzie łączącym oporniki potencjał się nie zmienia i wynosi 8 V Że potencjał wzrasta na przewodzie od 8 V do 12 V

8. Dlaczego na wykresie spadek na R₂ (8 V) jest większy niż na R₁ (4 V)?

Bo przez R₂ płynie większy prąd niż przez R₁ Bo R₂ jest położony bliżej bieguna ujemnego źródła Bo na drugim oporniku zawsze odkłada się większa część napięcia Bo przy jednakowym prądzie spadek jest wprost proporcjonalny do oporu, a R₂ jest większy

9. Potencjał na biegunie dodatnim wynosi 12 V, a na ujemnym 0 V. Co z tego wynika dla spadków na opornikach?

Ich suma wynosi 12 V, bo potencjał musi spaść od 12 V do 0 V Ich suma wynosi 24 V, bo każdy opornik zużywa pełne napięcie źródła Ich różnica wynosi 12 V, bo spadki mają przeciwne znaki Ich suma jest mniejsza od 12 V, bo część napięcia zostaje w źródle

Animacja: rozkład potencjału w obwodzie z trzema opornikami

Zmieniaj wartości oporów $R_1$, $R_2$ i $R_3$ oraz napięcie zasilania $U$. Obserwuj na bieżąco wykres schodkowy potencjału oraz wskazania mierników:

Napięcie $U$: 12,0 V $R_1$: 2,0 Ω $R_2$: 4,0 Ω $R_3$: 6,0 Ω

10. W symulacji ustawiono U = 12 V oraz R₁ = 2 Ω, R₂ = 4 Ω, R₃ = 6 Ω. Na którym oporniku spadek jest największy?

Na R₁ i wynosi 6 V, bo jest pierwszy w obwodzie Na R₃ i wynosi 6 V, bo ma największy opór Na wszystkich opornikach po 4 V, bo napięcie dzieli się równo Na R₂ i wynosi 8 V, bo jest środkowym elementem układu

11. Zwiększasz R₃, zostawiając napięcie i pozostałe opory bez zmian. Jak zareaguje symulacja?

Prąd w obwodzie wzrośnie, a spadek na R₃ zmaleje Prąd i spadek na R₃ pozostaną bez zmian, bo zmienia się tylko jeden opór Prąd w obwodzie zmaleje, a udział R₃ w napięciu źródła wzrośnie Prąd zmaleje, a spadek na R₃ również zmaleje, bo U₃ = I·R₃

12. Obniżasz napięcie źródła z 24 V do 6 V, nie zmieniając oporów. Co się stanie ze spadkami napięć?

Pozostaną bez zmian, bo zależą wyłącznie od oporów oporników Zmaleją dwukrotnie, bo napięcie dzieli się na trzy oporniki Wzrosną, bo przy mniejszym napięciu opór zastępczy maleje Wszystkie zmaleją czterokrotnie, bo prąd też zmaleje czterokrotnie

Zadania treningowe przed sprawdzianem

Zadanie 1. Silniczek elektryczny podłączony do źródła 24 V pobiera prąd o natężeniu 1,5 A. Ile wynosi jego opór pozorny?

Wskazówka 1 — prawo Ohma

$R = \frac{U}{I}$.

Wskazówka 2 — obliczenie

$24 \div 1{,}5 = 16$.

$R = 36\ \Omega$ (błędna odpowiedź uzyskana z niepoprawnego wymnożenia napięcia przez prąd) $R = 16\ \Omega$ (obliczone poprawnie z prawa Ohma: $R = 24\text{ V} / 1{,}5\text{ A} = 16\ \Omega$) $R = 0{,}06\ \Omega$ (błędna odpowiedź uzyskana z odwrotnego podzielenia natężenia przez napięcie)

Zadanie 2. Jak zmieni się opór drutu miedzianego, jeśli rozciągniemy go tak, że jego długość wzrośnie 2 razy, a pole przekroju zmaleje 2 razy?

Wskazówka 1 — wzór konstrukcyjny

$R = \rho \cdot \frac{l}{S}$. Licznik rośnie 2x, a mianownik maleje 2x.

Wskazówka 2 — ułamek

$2 / (1/2) = 4$.

Opór wzrośnie czterokrotnie, ponieważ oba te czynniki wpływają w tę samą stronę Opór nie zmieni się, ponieważ jednoczesne zmiany obu tych wielkości wzajemnie się znoszą Opór zmaleje czterokrotnie, gdyż cieńszy drut pozwala na znacznie szybszy przepływ jonów

Zadanie 3. Dwa oporniki 2 Ω i 4 Ω połączono szeregowo pod napięcie 12 V. Jaki spadek napięcia zmierzy woltomierz na oporniku 4 Ω?

Wskazówka 1 — opór zastępczy i prąd

$R_z = 2 + 4 = 6\ \Omega$, prąd $I = 12 / 6 = 2\text{ A}$.

Wskazówka 2 — napięcie U2

$U_2 = I \cdot R_2 = 2\text{ A} \times 4\ \Omega = 8\text{ V}$.

$U_2 = 12\text{ V}$ (błędna odpowiedź zakładająca pełne napięcie zasilania na elemencie) $U_2 = 4\text{ V}$ (jest to spadek napięcia na pierwszym, mniejszym oporniku dwuomowym) $U_2 = 8\text{ V}$ (ponieważ na oporniku o większym oporze odkłada się proporcjonalnie większe U)

13. Silniczek zasilany napięciem 24 V pobiera prąd 1,5 A. Jak wyznaczyć jego opór pozorny i ile on wynosi?

Ze wzoru R = U/I, czyli 24 V / 1,5 A = 16 Ω Ze wzoru R = U·I, czyli 24 V · 1,5 A = 36 Ω Ze wzoru R = I/U, czyli 1,5 A / 24 V ≈ 0,06 Ω Ze wzoru R = U²/I, czyli 576 / 1,5 ≈ 384 Ω

14. Drut rozciągnięto tak, że jego długość wzrosła dwukrotnie, a pole przekroju zmalało dwukrotnie. Jak zmienił się opór?

Nie zmienił się, bo obie zmiany wzajemnie się znoszą Wzrósł czterokrotnie, bo licznik wzrósł dwa razy, a mianownik zmalał dwa razy Zmalał czterokrotnie, bo cieńszy drut stawia mniejszy opór Wzrósł dwukrotnie, bo decyduje wyłącznie wydłużenie drutu

15. Dwa oporniki 2 Ω i 4 Ω połączono szeregowo i podłączono do 12 V. Jakie napięcie wskaże woltomierz na oporniku 4 Ω?

12 V, bo każdy element otrzymuje pełne napięcie źródła 4 V, bo na mniejszym oporze odkłada się większa część napięcia 8 V, bo prąd 2 A płynie przez opór 4 Ω 6 V, bo napięcie dzieli się równo między dwa oporniki