Kurs: Prąd elektryczny stały (kurs podstawowy) · Moduł 11

Równoległe łączenie odbiorników i obwody mieszane

PPrezentacja dla nauczyciela

Dlaczego wyłączenie lampki na biurku nie wyłącza lodówki w kuchni ani telewizora w salonie? Jak działa połączenie równoległe, czym jest I prawo Kirchhoffa i dlaczego opór zastępczy maleje, gdy dołączamy kolejne urządzenia?

Cele tego modułu:

Zrozumiesz istotę połączenia równoległego oraz pojęcia węzła i gałęzi obwodu.
Poznasz regułę jednakowego napięcia: $U = U_1 = U_2 = \dots = U_n$.
Poznasz I prawo Kirchhoffa dla węzła obwodu: bilans prądów wpływających i wypływających ($I = I_1 + I_2$).
Nauczysz się obliczać opór zastępczy $R_z$ ze wzoru odwrotności: $\frac{1}{R_z} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.
Zrozumiesz, dlaczego domowa instalacja elektryczna jest w całości połączona równolegle.

Istota połączenia równoległego: węzły i gałęzie

W połączeniu równoległym wszystkie odbiorniki energii (żarówki, grzałki, gniazdka) są włączone między te same dwa punkty obwodu, zwane węzłami:

Węzeł to punkt obwodu, w którym łączą się co najmniej trzy przewody (miejsce rozgałęzienia strumienia prądu).
Gałąź to odcinek obwodu łączący dwa węzły, przez który płynie prąd o określonym natężeniu.

1. Czym jest węzeł w obwodzie elektrycznym?

Punktem, w którym łączą się co najmniej trzy przewody i rozgałęzia się prąd Punktem, w którym przewód zmienia kierunek, ale nie ma rozgałęzienia Miejscem w obwodzie, w którym prąd ma największe natężenie Odcinkiem obwodu między dwoma sąsiednimi odbiornikami

2. Co nazywa się gałęzią obwodu?

Pojedynczy przewód doprowadzający prąd do źródła napięcia Odcinek między dwoma węzłami, przez który płynie prąd o określonym natężeniu Całą drogę prądu od bieguna dodatniego do ujemnego Miejsce, w którym ładunki gromadzą się przed rozgałęzieniem

3. Jak są włączone odbiorniki w połączeniu równoległym?

Jeden za drugim, tak że koniec jednego łączy się z początkiem następnego Tak, że każdy z nich ma własne, osobne źródło napięcia Między te same dwa węzły, czyli do tych samych biegunów źródła Szeregowo z bezpiecznikiem, ale bez połączenia z drugim biegunem

Trzy fundamentalne prawa połączenia równoległego

1. Prawo napięć — napięcie na każdym odbiorniku jest takie samo

Ponieważ każdy odbiornik jest podłączony bezpośrednio do tych samych dwóch węzłów (czyli do tych samych biegunów źródła zasilania), na każdym z nich panuje dokładnie takie samo napięcie, równe napięciu źródła:

\[ U = U_1 = U_2 = \dots = U_n \]

Przykład: W Twoim mieszkaniu do każdego gniazdka doprowadzone jest napięcie sieciowe $230\text{ V}$. Niezależnie od tego, czy podłączysz ładowarkę do telefonu, czy czajnik, oba urządzenia zasilane są tym samym napięciem $230\text{ V}$.

2. Prawo natężeń — I prawo Kirchhoffa dla węzła

Ładunki elektryczne nie gromadzą się w węźle ani z niego nie uciekają. Całkowity strumień prądu dopływający do węzła musi rozdzielić się na poszczególne gałęzie:

I prawo Kirchhoffa (bilans prądów w węźle)

Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z niego wypływających:

\[ I = I_1 + I_2 + \dots + I_n \]

Z prawa Ohma ($I_1 = U / R_1$ oraz $I_2 = U / R_2$) wynika, że prąd o większym natężeniu płynie przez gałąź o mniejszym oporze (prąd wybiera „drogę mniejszego oporu”).

3. Prawo oporu zastępczego w układzie równoległym

Dodanie każdej kolejnej gałęzi równoległej otwiera dla elektronów nową, dodatkową drogę przepływu. To tak, jakby na zatłoczonej autostradzie otworzono kolejny pas ruchu — całkowita przepustowość drogi rośnie, a opór maleje!

Opór zastępczy $R_z$ w połączeniu równoległym

Odwrotność oporu zastępczego jest równa sumie odwrotności oporów poszczególnych gałęzi:

\[ \frac{1}{R_z} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]

Przydatne wzory uproszczone:

Dla dwóch oporników równoległych ($R_1$ i $R_2$): \[ R_z = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \quad \left(\frac{\text{iloczyn}}{\text{suma}}\right) \]
Dla $n$ jednakowych oporników o oporze $R$: \[ R_z = \frac{R}{n} \] (Np. dwa jednakowe oporniki $20\ \Omega$ połączone równolegle dają opór zastępczy $10\ \Omega$).

Fundamentalna zasada: Opór zastępczy układu równoległego jest zawsze mniejszy od najmniejszego oporu składowego ($R_z < R_1$ i $R_z < R_2$)!

4. Jakie napięcie panuje na każdym z odbiorników połączonych równolegle do źródła o napięciu U?

Tylko pierwszy odbiornik dostaje pełne napięcie U, kolejne mniej Napięcie dzieli się proporcjonalnie do oporów, jak w układzie szeregowym Napięcie na każdym odbiorniku jest równe U podzielonemu przez liczbę gałęzi Takie samo jak napięcie źródła: U₁ = U₂ = U

5. Co głosi I prawo Kirchhoffa dla węzła?

Suma natężeń prądów wpływających do węzła równa się sumie prądów wypływających Suma napięć w węźle jest równa zeru, bo węzeł nie ma oporu Natężenie prądu w węźle jest odwrotnie proporcjonalne do liczby gałęzi Opór węzła równa się sumie oporów wszystkich dołączonych gałęzi

6. Jak obliczyć opór zastępczy dwóch oporników połączonych równolegle?

Opór zastępczy to suma oporów: R_z = R_1 + R_2 Odwrotność oporu zastępczego to suma odwrotności oporów: 1/R_z = 1/R_1 + 1/R_2 Opór zastępczy to średnia arytmetyczna: R_z = (R_1 + R_2)/2 Opór zastępczy równa się większemu z oporów, bo on dominuje

Rysunek: schemat połączenia równoległego z węzłami i podziałem prądów

Schemat układu równoległego: w węźle A prąd główny $I$ dzieli się na prądy gałęziowe $I_1$ i $I_2$, a w węźle B prądy ponownie się sumują.

7. Co dzieje się z prądami w węźle B na schemacie?

Prąd główny I dzieli się w węźle B na dwa mniejsze prądy Prądy I₁ i I₂ mają w węźle B przeciwne zwroty i znoszą się do zera Prądy gałęziowe I₁ i I₂ łączą się i tworzą prąd główny I W węźle B prąd zamienia się w napięcie doprowadzane do źródła

8. Gdyby opór R₂ był większy od R₁, to co pokazałyby amperomierze w gałęziach?

I₂ byłoby większe od I₁, bo większy opór wymusza większy prąd Oba prądy byłyby równe, bo napięcie na gałęziach jest jednakowe I₂ byłoby równe zeru, bo prąd wybiera zawsze tylko drogę mniejszego oporu I₂ byłoby mniejsze od I₁, bo przez większy opór płynie mniejszy prąd

9. Dlaczego napięcie między węzłami A i B jest takie samo dla obu gałęzi?

Bo obie gałęzie są dołączone do tych samych dwóch węzłów obwodu Bo w obu gałęziach płynie prąd o takim samym natężeniu Bo opory obu żarówek są zawsze jednakowe Bo węzły A i B mają zerowy opór i nie przenoszą napięcia

Dlaczego instalacja domowa jest połączona równolegle?

Dwie kluczowe zalety układu równoległego w domu:

Niezależna praca odbiorników: każda gałąź ma swój własny wyłącznik. Wyłączenie światła w pokoju nie przerywa zasilania lodówki czy komputera, bo prąd nadal swobodnie płynie przez pozostałe gałęzie.
Jednakowe, stałe napięcie $230\text{ V}$: wszystkie urządzenia domowe są konstruowane na standardowe napięcie $230\text{ V}$ i każde z nich otrzymuje dokładnie takie napięcie niezależnie od liczby włączonych sprzętów.

Ostrzeżenie: przeciążenie instalacji!

Każde kolejne urządzenie podłączone do gniazdka (nowa gałąź równoległa) pobiera swój prąd $I_k$. Zgodnie z prawem Kirchhoffa prąd główny w przewodach ściennych rośnie: $I = I_1 + I_2 + I_3 + \dots$. Włączenie zbyt wielu urządzeń dużej mocy (np. czajnik + piekarnik + pralka) grozi przeciążeniem przewodów, ich niebezpiecznym nagrzaniem i zadziałaniem bezpiecznika!

10. Dlaczego wyłączenie lampki w pokoju nie wyłącza lodówki?

Bo lodówka jest zasilana z osobnego, wyższego napięcia niż lampka Bo każda gałąź ma własny wyłącznik, a prąd płynie dalej pozostałymi gałęziami Bo prąd w instalacji domowej nie może płynąć przez więcej niż jedno urządzenie Bo wyłączenie lampki zwiększa napięcie w pozostałych gniazdkach

11. Dlaczego każde urządzenie domowe otrzymuje napięcie 230 V niezależnie od liczby włączonych sprzętów?

Bo instalacja automatycznie podwyższa napięcie, gdy rośnie obciążenie Bo napięcie 230 V jest dzielone równo między wszystkie gniazdka Bo wszystkie są połączone równolegle do tych samych węzłów instalacji Bo każde gniazdko ma własny transformator obniżający napięcie

12. Dlaczego włączenie czajnika, piekarnika i pralki jednocześnie może spowodować zadziałanie bezpiecznika?

Bo każde nowe urządzenie obniża napięcie w instalacji do zera Bo równoległe dołączanie urządzeń zwiększa opór zastępczy instalacji Bo bezpiecznik jest włączony równolegle do każdego z tych urządzeń Bo prąd główny jest sumą prądów gałęzi i przy wielu odbiornikach staje się zbyt duży

Animacja: interaktywny obwód równoległy z przełącznikami gałęzi

Włączaj i wyłączaj poszczególne gałęzie obwodu oraz reguluj opory odbiorników. Zobacz, jak prąd główny $I = I_1 + I_2$ reaguje na dołączanie urządzeń i jak ładunki rozdzielają się w węzłach:

Napięcie $U$: 12,0 V Opór $R_1$: 6,0 Ω Opór $R_2$: 12,0 Ω

13. Wyłączasz gałąź 2 w symulacji. Co dzieje się z prądami?

I₂ spada do zera, I₁ się nie zmienia, a prąd główny maleje I₂ spada do zera, a prąd główny rośnie, bo cały prąd płynie do gałęzi 1 I₁ wzrasta, bo musi zastąpić prąd, który płynął w gałęzi 2 Oba prądy maleją do zera, bo obwód zostaje przerwany

14. Zmniejszasz opór R₁, zostawiając napięcie i R₂ bez zmian. Jak zareaguje symulacja?

Prąd I₁ wzrośnie, ale prąd główny zmaleje, bo opór zastępczy wzrośnie Prąd I₁ wzrośnie, prąd główny też wzrośnie, a I₂ pozostanie bez zmian Prąd I₁ wzrośnie, a prąd I₂ zmaleje, bo napięcie zostanie podzielone inaczej Oba prądy gałęziowe pozostaną bez zmian, bo napięcie źródła jest stałe

15. Podnosisz napięcie źródła przy niezmienionych oporach obu gałęzi. Co pokażą mierniki?

Prądy gałęzi nie zmienią się, bo zależą wyłącznie od oporów Prąd główny nie zmieni się, bo rośnie zarówno napięcie, jak i opór Prądy obu gałęzi wzrosną proporcjonalnie, a prąd główny będzie ich sumą Prąd jednej gałęzi wzrośnie, a drugiej zmaleje, aby suma pozostała stała

Przykłady obliczeniowe z pełnym rozwiązaniem

Przykład 1 — obliczanie oporu zastępczego i prądów w gałęziach

Treść zadania: Dwa oporniki $R_1 = 6\ \Omega$ i $R_2 = 12\ \Omega$ połączono równolegle do baterii o napięciu $U = 12\text{ V}$. Oblicz: opór zastępczy $R_z$, prądy w każdej gałęzi ($I_1$ i $I_2$) oraz całkowity prąd $I$ pobierany ze źródła.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczamy opór zastępczy $R_z$: \[ R_z = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6\ \Omega \times 12\ \Omega}{6\ \Omega + 12\ \Omega} = \frac{72}{18}\ \Omega = 4\ \Omega \] Zauważ: $4\ \Omega$ to mniej niż $6\ \Omega$ i mniej niż $12\ \Omega$ (zgodnie z zasadą $R_z < R_{\text{min}}$).
Obliczamy prąd w gałęzi 1: \[ I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{12\text{ V}}{6\ \Omega} = 2\text{ A} \]
Obliczamy prąd w gałęzi 2: \[ I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{12\text{ V}}{12\ \Omega} = 1\text{ A} \]
Obliczamy całkowity prąd z I prawa Kirchhoffa: \[ I = I_1 + I_2 = 2\text{ A} + 1\text{ A} = 3\text{ A} \] Sprawdzenie z prawa Ohma: $I = \frac{U}{R_z} = \frac{12\text{ V}}{4\ \Omega} = 3\text{ A}$ (wynik idealnie zgodny!).

16. Dwa oporniki 6 Ω i 12 Ω połączono równolegle. Ile wynosi opór zastępczy?

18 Ω, czyli suma oporów obu gałęzi 9 Ω, czyli średnia arytmetyczna oporów 12 Ω, bo większy opór dominuje w układzie 4 Ω, czyli iloczyn oporów podzielony przez ich sumę: 72/18

17. Jaki prąd płynie w gałęzi z opornikiem 6 Ω, jeśli napięcie źródła wynosi 12 V?

2 A, bo I₁ = 12 V / 6 Ω 1 A, bo I₁ = 12 V / 12 Ω 3 A, bo I₁ = 12 V / 4 Ω 0,5 A, bo I₁ = 6 Ω / 12 V

18. Ile wynosi całkowity prąd pobierany ze źródła w tym układzie?

1,5 A, bo prąd dzieli się równo między dwie gałęzie 3 A, bo I = I₁ + I₂ = 2 A + 1 A 2 A, bo decyduje gałąź o mniejszym oporze 12 A, bo prąd sumuje się z napięciem źródła

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Dwa jednakowe oporniki o oporze 20 Ω każdy połączono równolegle. Ile wynosi opór zastępczy takiego układu?

Wskazówka 1 — wzór uproszczony

Dla dwóch jednakowych oporów: $R_z = R / 2$.

Wskazówka 2 — obliczenie

$20 \div 2 = 10\ \Omega$.

$R_z = 40\ \Omega$ (błędna odpowiedź wynikająca ze zsumowania oporów jak w szeregu) $R_z = 10\ \Omega$ (obliczone poprawnie ze wzoru dla oporników równoległych: $R / 2$) $R_z = 20\ \Omega$ (błędna odpowiedź zakładająca brak zmiany oporu przy połączeniu)

Zadanie 2. Do węzła wpływa prąd główny, który rozdziela się na dwie gałęzie o natężeniach 2 A oraz 3 A. Jakie jest natężenie prądu głównego?

Wskazówka 1 — I prawo Kirchhoffa

Suma prądów wpływających równa się sumie wypływających.

Wskazówka 2 — suma

$2\text{ A} + 3\text{ A} = 5\text{ A}$.

$I = 1\text{ A}$ (błędny wynik wynikający z odjęcia mniejszego prądu od większego) $I = 6\text{ A}$ (błędny wynik wynikający z pomnożenia prądów gałęziowych przez siebie) $I = 5\text{ A}$ (ponieważ prąd wpływający do węzła jest sumą prądów wypływających)

Zadanie 3. Dlaczego domowe gniazdka elektryczne łączy się ze sobą równolegle, a nie szeregowo?

Wskazówka 1 — niezależność urządzeń

Włączenie lub wyłączenie jednego sprzętu nie może wpływać na inne.

Wskazówka 2 — napięcie pracy

Każde urządzenie musi otrzymywać pełne napięcie 230 V.

Zapewnia to stałe napięcie 230 V na każdym sprzęcie i ich niezależną pracę Zapobiega to całkowicie jakiemukolwiek przepływowi prądu przez bezpieczniki Pozwala na zaoszczędzenie energii poprzez zmniejszenie natężenia do zera

Quiz wiedzy — Moduł 11

1. Jakie napięcie panuje na każdym z odbiorników połączonych w układzie równoległym do źródła o napięciu U? Dokładnie takie samo, równe pełnemu napięciu zasilania: $U_1 = U_2 = \dots = U$ Napięcie dzieli się proporcjonalnie do oporu, więc na każdym jest ułamek U Napięcie zależy od odległości od źródła: na najdalszym odbiorniku wynosi 0 V

2. Co dzieje się z całkowitym oporem zastępczym obwodu, gdy do pracujących urządzeń dołączymy równolegle kolejne? Opór zastępczy rośnie, ponieważ w obwodzie znajduje się większa liczba urządzeń Opór zastępczy maleje, ponieważ otwieramy dodatkową drogę dla przepływu ładunków Opór zastępczy nie zmienia się, gdyż zależy wyłącznie od parametrów baterii

3. O czym mówi I prawo Kirchhoffa stosowane do analizy węzłów obwodu elektrycznego? Że opór każdego węzła musi być równy zeru, aby prąd nie ulegał rozproszeniu Że natężenie prądu płynącego przez przewód jest odwrotnie proporcjonalne do pola Że suma natężeń prądów wpływających do węzła równa się sumie wypływających

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj:

W połączeniu równoległym odbiorniki są włączone między te same węzły.
Napięcie: $U = U_1 = U_2 = \dots = U_n$ (jednakowe na każdym odbiorniku).
I prawo Kirchhoffa: $I = I_1 + I_2 + \dots + I_n$ (prądy w gałęziach sumują się do prądu głównego).
Opór zastępczy: $\frac{1}{R_z} = \sum \frac{1}{R_i}$ (dla dwóch oporników: $R_z = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$).
Opór zastępczy układu równoległego jest zawsze mniejszy od najmniejszego oporu składowego!
Instalacja domowa jest połączona równolegle (niezależność urządzeń i stałe napięcie 230 V).