Kurs: Prąd elektryczny stały (kurs podstawowy) · Moduł 12

Praca prądu elektrycznego, kilowatogodzina i koszty energii

PPrezentacja dla nauczyciela

Jak elektrownia mierzy zużytą przez nas energię i dlaczego na rachunku za prąd nie ma dżuli, lecz kilowatogodziny? Jak ze wskazań woltomierza, amperomierza i stopera obliczyć wykonaną pracę prądu oraz koszt zagotowania wody w czajniku?

Cele tego modułu:

Poznasz wyprowadzenie i postać wzoru na pracę prądu elektrycznego: $W = U \cdot I \cdot t$.
Zrozumiesz relację między jednostką podstawową SI (dżul, $\text{J}$) a jednostką praktyczną (kilowatogodzina, $\text{kWh}$).
Nauczysz się przeliczać kilowatogodziny na dżule i megadżule: $1\text{ kWh} = 3\ 600\ 000\text{ J}$.
Dowiesz się, jak działa domowy licznik energii elektrycznej.
Nauczysz się obliczać rzeczywisty koszt zasilania domowych odbiorników prądu.

Wyprowadzenie wzoru na pracę prądu: $W = U \cdot I \cdot t$

Wiemy już z modułów 03 i 04, jak definiujemy napięcie i natężenie:

Z definicji napięcia elektrycznego ($U = \frac{W}{q}$) wynika, że praca wykonana przez pole elektryczne wynosi: \[ W = U \cdot q \]
Z definicji natężenia prądu ($I = \frac{q}{t}$) wynika, że przepłynięty ładunek wynosi: \[ q = I \cdot t \]

Wstawiając wyrażenie na ładunek $q$ do wzoru na pracę, otrzymujemy fundamentalny wzór na pracę prądu elektrycznego:

Wzór na pracę prądu elektrycznego \[ W = U \cdot I \cdot t \]

gdzie:

$W$ — praca prądu (w dżulach, $\text{J}$),
$U$ — napięcie na zaciskach odbiornika (w woltach, $\text{V}$),
$I$ — natężenie płynącego prądu (w amperach, $\text{A}$),
$t$ — czas przepływu prądu (w sekundach, $\text{s}$).

Pamiętaj: praca prądu oznacza ilość energii elektrycznej zamienionej w odbiorniku na inną postać energii: ciepło (w grzałce), światło (w diodzie LED), energię mechaniczną ruchu (w silniku) czy fale dźwiękowe (w głośniku).

1. Z której zależności fizycznej wynika w wyprowadzeniu wstępny wzór $W = U \cdot q$?

Z definicji napięcia $U = \frac{W}{q}$, czyli z pracy na jednostkę ładunku Z prawa Ohma $U = I \cdot R$, czyli z iloczynu prądu i oporu Z definicji natężenia prądu $I = \frac{q}{t}$, czyli z ładunku na sekundę Z definicji mocy prądu $P = \frac{W}{t}$, czyli z pracy na sekundę

2. Co podstawiamy w miejsce ładunku $q$, aby z $W = U \cdot q$ otrzymać $W = U \cdot I \cdot t$?

$q = \frac{I}{t}$, bo natężenie maleje wraz z upływem czasu $q = I \cdot t$, bo ładunek to iloczyn natężenia i czasu jego przepływu $q = \frac{U}{R}$, bo ładunek zależy od napięcia i oporu $q = \frac{t}{I}$, bo ładunek jest odwrotnie proporcjonalny do natężenia

3. Co oznacza praca prądu wykonana w odbiorniku?

Ładunek, który w tym czasie przepłynął przez odbiornik Moc, jaką odbiornik pobierał w chwili pomiaru Ilość energii elektrycznej zamienionej na inną postać energii, np. ciepło lub światło Napięcie, jakie panowało na zaciskach odbiornika

Jednostki pracy: dżul vs kilowatogodzina

Podstawową jednostką pracy i energii w układzie SI jest dżul ($\text{J}$):

\[ 1\text{ J} = 1\text{ V} \times 1\text{ A} \times 1\text{ s} = 1\text{ W} \cdot \text{s} \]

Jeden dżul to bardzo mała porcja energii — zagotowanie szklanki wody wymaga około $80\ 000\text{ J}$. Z tego względu w energetyce zawodowej i na rachunkach za prąd stosuje się jednostkę znacznie większą: kilowatogodzinę (symbol: kWh).

Definicja i przelicznik kilowatogodziny

1 kilowatogodzina ($1\text{ kWh}$) to praca wykonana przez prąd o mocy $1\text{ kilowata}$ ($1000\text{ W}$) w ciągu $1\text{ godziny}$ ($3600\text{ sekund}$):

\[ 1\text{ kWh} = 1000\text{ W} \times 3600\text{ s} = 3\ 600\ 000\text{ J} = 3{,}6\text{ MJ} \]

I odwrotnie: $1\text{ J} = \frac{1}{3\ 600\ 000}\text{ kWh} \approx 2{,}78 \cdot 10^{-7}\text{ kWh}$.

4. Ile dżuli energii odpowiada dokładnie jednej kilowatogodzinie?

3600 J, bo tyle sekund ma jedna godzina 100 000 J, bo tyle wynosi praca prądu o mocy 1 kW w ciągu 100 s 1 000 000 J, bo w jednym kilowacie mieści się tysiąc watów 3 600 000 J, bo $1000\text{ W} \times 3600\text{ s} = 3{,}6\text{ MJ}$

5. Dlaczego rozliczenia energii elektrycznej prowadzi się w kilowatogodzinach, a nie w dżulach?

Bo dżul jest bardzo małą jednostką — samo zagotowanie szklanki wody wymaga około $80\ 000\text{ J}$ Bo dżul nie należy do układu SI i nie wolno go stosować w energetyce Bo kilowatogodzina mierzy moc, a dżul tylko pracę Bo w kilowatogodzinach podaje się napięcie sieci zasilającej

6. Która równość poprawnie wyraża jednego dżula?

$1\text{ J} = 1\text{ A} \cdot 1\ \Omega$ $1\text{ J} = 1\text{ V} \cdot 1\text{ A} \cdot 1\text{ s} = 1\text{ W} \cdot \text{s}$ $1\text{ J} = 1\text{ W} \cdot 1\text{ h}$ $1\text{ J} = 1\text{ V} \cdot 1\text{ A} \cdot 1\text{ h}$

Rysunek: schemat pomiaru zużycia energii licznikiem prądu

Licznik energii elektrycznej montowany na wejściu instalacji domowej: mierzy pracę prądu w kilowatogodzinach ($1\text{ kWh} = 3{,}6\text{ MJ}$).

7. Co mierzy i w jakich jednostkach podaje wynik licznik energii elektrycznej?

Moc chwilową pobieraną przez odbiorniki, w watach Natężenie prądu w instalacji, w amperach Pracę prądu, czyli zużytą energię, w kilowatogodzinach Napięcie między przewodem fazowym i neutralnym, w woltach

8. Gdzie w instalacji domowej znajduje się licznik energii i dlaczego właśnie tam?

Przy każdym gniazdku, aby osobno rozliczać każde urządzenie Równolegle do przewodu neutralnego, aby mierzyć tylko napięcie sieci Na końcu instalacji, za wszystkimi odbiornikami, aby sumować ich moce Na wejściu instalacji, aby przez licznik przepływał cały prąd zasilający dom

9. Opis na schemacie mówi, że licznik rejestruje całkę $E = \int U \cdot I\, dt$. Co to oznacza w praktyce?

Że sumuje iloczyn napięcia i natężenia po całym czasie pracy odbiorników Że zapamiętuje najwyższą moc, jaka kiedykolwiek pojawiła się w instalacji Że zlicza liczbę włączeń i wyłączeń poszczególnych odbiorników Że uśrednia napięcie sieci i podaje je w kilowatogodzinach

Jak obliczamy koszty energii elektrycznej w gospodarstwie domowym?

Aby dowiedzieć się, ile zapłacisz za korzystanie z danego sprzętu elektrycznego, wykonujesz dwa proste kroki:

Krok 1: Obliczasz energię $E$ w kilowatogodzinach, mnożąc moc sprzętu (w kilowatach) przez czas jego pracy (w godzinach): \[ E_{[\text{kWh}]} = P_{[\text{kW}]} \times t_{[\text{h}]} \]
Krok 2: Mnożysz uzyskaną liczbę $\text{kWh}$ przez stawkę za energię (przyjmijmy np. cenę $1{,}00\text{ zł}$ za $1\text{ kWh}$): \[ \text{Koszt} = E_{[\text{kWh}]} \times \text{cena za 1 kWh} \]

Przykłady kosztów codziennych urządzeń:

Urządzenie	Moc $P$	Czas pracy $t$	Zużyta energia	Szacunkowy koszt ($1\text{ zł/kWh}$)
Czajnik elektryczny	$2000\text{ W} = 2\text{ kW}$	$3\text{ min} = 0{,}05\text{ h}$	$0{,}10\text{ kWh}$ ($360\text{ kJ}$)	$0{,}10\text{ zł}$ (10 groszy)
Pralka (program bawełna 60°C)	średnio $1000\text{ W} = 1\text{ kW}$	$1{,}5\text{ h}$	$1{,}50\text{ kWh}$ ($5{,}4\text{ MJ}$)	$1{,}50\text{ zł}$
Telewizor LED 55"	$100\text{ W} = 0{,}1\text{ kW}$	$5\text{ h}$ (wieczór filmowy)	$0{,}50\text{ kWh}$ ($1{,}8\text{ MJ}$)	$0{,}50\text{ zł}$ (50 groszy)
Żarówka LED	$10\text{ W} = 0{,}01\text{ kW}$	$10\text{ h}$	$0{,}10\text{ kWh}$ ($360\text{ kJ}$)	$0{,}10\text{ zł}$ (10 groszy)
Ładowarka do smartfona	$20\text{ W} = 0{,}02\text{ kW}$	$2\text{ h}$	$0{,}04\text{ kWh}$ ($144\text{ kJ}$)	$0{,}04\text{ zł}$ (4 grosze)

10. W jakiej kolejności obliczamy koszt pracy urządzenia elektrycznego?

Mnożymy moc w watach przez czas w minutach i wynik uznajemy za koszt w złotych Zamieniamy moc na kilowaty, czas na godziny, mnożymy je, a potem mnożymy energię przez cenę 1 kWh Dzielimy napięcie sieci przez moc urządzenia i mnożymy przez stawkę Dzielimy energię w kWh przez cenę 1 kWh, aby otrzymać koszt

11. Czajnik o mocy $2000\text{ W}$ pracuje 3 minuty, czyli $0{,}05\text{ h}$. Ile energii zużyje przy stawce $1\text{ zł/kWh}$?

$6\text{ kWh}$, bo $2000 \times 3 = 6000$ $0{,}6\text{ kWh}$ $0{,}10\text{ kWh}$, czyli około 10 groszy $100\text{ kWh}$

12. Który odbiornik z tabeli zużywa najwięcej energii w podanym czasie pracy?

Żarówka LED $10\text{ W}$ pracująca $10\text{ h}$ Telewizor $100\text{ W}$ pracujący $5\text{ h}$ Ładowarka $20\text{ W}$ pracująca $2\text{ h}$ Pralka $1000\text{ W}$ pracująca $1{,}5\text{ h}$

Animacja: wirtualny licznik energii i kalkulator kosztów

Wybierz urządzenie domowe lub ustaw własną moc $P$ oraz czas pracy $t$. Zobacz, jak licznik nalicza kilowatogodziny, przelicza je na dżule i podaje dokładny koszt:

Moc urządzenia $P$: 1000 W Czas pracy $t$: 2,0 h Cena za 1 kWh: 1,00 zł

13. W symulatorze wydłużasz czas pracy urządzenia przy niezmienionej mocy. Jak zmienia się wskazanie licznika?

Rośnie proporcjonalnie do czasu, bo $E = P \cdot t$ Nie zmienia się, bo licznik pokazuje tylko moc urządzenia Rośnie z kwadratem czasu pracy Maleje, bo dłuższa praca oznacza mniejszą moc średnią

14. Ustawiono moc $500\text{ W}$ i czas pracy $4\text{ h}$. Jaką energię wskaże wirtualny licznik?

$2000\text{ kWh}$ $2\text{ kWh}$ $0{,}5\text{ kWh}$ $125\text{ kWh}$

15. Licznik naliczył $2\text{ kWh}$, a cena wynosi $0{,}60\text{ zł}$ za $1\text{ kWh}$. Jaki koszt pokaże kalkulator?

$0{,}30\text{ zł}$ $3{,}33\text{ zł}$ $1{,}20\text{ zł}$ $12{,}00\text{ zł}$

Przykłady obliczeniowe z pełnym rozwiązaniem

Przykład 1 — obliczanie pracy prądu ze wzoru $W = U \cdot I \cdot t$

Treść: Przez grzałkę bojlera podłączoną do napięcia $U = 230\text{ V}$ płynie prąd o natężeniu $I = 8\text{ A}$. Jaką pracę wykona prąd w czasie $t = 30\text{ minut}$? Wynik podaj w dżulach oraz w kilowatogodzinach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wypisujemy dane i zamieniamy jednostki na układ SI: \[ U = 230\text{ V}, \quad I = 8\text{ A}, \quad t = 30\text{ min} = 30 \times 60\text{ s} = 1800\text{ s} \]
Obliczamy pracę w dżulach ze wzoru $W = U \cdot I \cdot t$: \[ W = 230\text{ V} \times 8\text{ A} \times 1800\text{ s} = 3\ 312\ 000\text{ J} \approx 3{,}31\text{ MJ} \]
Przeliczamy dżule na kilowatogodziny, dzieląc przez $3\ 600\ 000$: \[ W_{[\text{kWh}]} = \frac{3\ 312\ 000\text{ J}}{3\ 600\ 000\text{ J/kWh}} = 0{,}92\text{ kWh} \]
Odpowiedź: Prąd wykonał pracę $3\ 312\ 000\text{ J}$, co odpowiada $0{,}92\text{ kWh}$.

16. Dlaczego w przykładzie czas $30$ minut zamieniono na $1800$ sekund?

Aby otrzymać wynik w kilowatogodzinach bez dodatkowych przeliczeń Ponieważ jedna godzina ma 1800 sekund Aby uwzględnić sprawność grzałki bojlera Ponieważ we wzorze $W = U \cdot I \cdot t$ czas musi być wyrażony w sekundach

17. Grzałka bojlera: $U = 230\text{ V}$, $I = 8\text{ A}$, $t = 1800\text{ s}$. Jaką pracę wykona prąd?

$3\ 312\ 000\text{ J}$, czyli około $3{,}31\text{ MJ}$ $1840\text{ J}$, czyli około $1{,}84\text{ kJ}$ $110\ 400\text{ J}$, czyli około $110\text{ kJ}$ $33\ 120\text{ J}$, czyli około $33\text{ kJ}$

18. Jak przeliczyć wynik $3\ 312\ 000\text{ J}$ na kilowatogodziny?

Pomnożyć przez $3{,}6$, bo tyle dżuli ma jedna kilowatogodzina Podzielić przez $3\ 600\ 000$, co daje $0{,}92\text{ kWh}$ Podzielić przez $1000$, co daje $3312\text{ kWh}$ Pomnożyć przez $3600$, co daje $1{,}19 \cdot 10^{10}\text{ kWh}$

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Silnik pompy ciepła zużył w pewnym cyklu pracy energię równą 7,2 MJ (megadżuli). Ile kilowatogodzin zarejestrował w tym czasie licznik?

Wskazówka 1 — przelicznik

$1\text{ kWh} = 3{,}6\text{ MJ} = 3\ 600\ 000\text{ J}$.

Wskazówka 2 — dzielenie

$7{,}2 \div 3{,}6 = 2$.

$0{,}5\text{ kWh}$ (błędna odpowiedź uzyskana z odwrotnego podzielenia 3,6 przez 7,2) $7{,}2\text{ kWh}$ (błędna odpowiedź zakładająca równość jednego megadżula i kilowatogodziny) $2\text{ kWh}$ (obliczone poprawnie: $7{,}2\text{ MJ} / 3{,}6\text{ MJ/kWh} = 2\text{ kWh}$)

Zadanie 2. Samochodowa lodówka turystyczna zasilana z gniazda zapalniczki 12 V pobiera prąd 2 A. Jaką pracę wykonuje prąd w ciągu 10 minut?

Wskazówka 1 — zamiana czasu

10 minut to $10 \times 60 = 600\text{ sekund}$.

Wskazówka 2 — podstawienie do wzoru

$W = 12 \times 2 \times 600 = 14\ 400\text{ J}$.

$W = 14\ 400\text{ J}$ (obliczone poprawnie ze wzoru $W = UIt$ po zamianie minut na sekundy) $W = 240\text{ J}$ (błędny wynik uzyskany z pomnożenia danych bez zamiany minut na sekundy) $W = 1200\text{ J}$ (błędny wynik wynikający z pominięcia wartości napięcia w obliczeniach)

Zadanie 3. Grzejnik elektryczny o mocy 2000 W pracował bez przerw przez 3 godziny. Ile wyniósł koszt zużytego prądu przy stawce 1,00 zł za 1 kWh?

Wskazówka 1 — moc w kilowatach

$2000\text{ W} = 2\text{ kW}$.

Wskazówka 2 — energia i koszt

$E = 2\text{ kW} \times 3\text{ h} = 6\text{ kWh}$. Koszt = $6 \times 1{,}00 = 6\text{ zł}$.

$2\text{ zł}$ (błędna odpowiedź wynikająca z policzenia kosztu energii za tylko jedną godzinę) $6\text{ zł}$ (obliczone poprawnie: $2\text{ kW} \times 3\text{ h} = 6\text{ kWh}$, co daje 6 zł) $6000\text{ zł}$ (błędna odpowiedź wynikająca z pomnożenia mocy w watach zamiast kilowatach)

Quiz wiedzy — Moduł 12

1. Który z poniższych wzorów prawidłowo określa pracę wykonaną przez prąd elektryczny w odbiorniku? $W = \frac{U \cdot t}{I}$ (iloraz iloczynu napięcia i czasu przez natężenie prądu) $W = U \cdot I \cdot t$ (iloczyn napięcia, natężenia prądu oraz czasu jego przepływu) $W = \frac{I \cdot t}{U}$ (iloraz ładunku elektrycznego przez przyłożone napięcie)

2. Ile dokładnie dżuli energii elektrycznej odpowiada jednej kilowatogodzinie (1 kWh)? Dokładnie 3 600 000 J (ponieważ $1\text{ kW} = 1000\text{ W}$, a godzina ma 3600 s) Dokładnie 1000 J (błędne utożsamienie jednej kilowatogodziny z tysiącem dżuli energii) Dokładnie 60 000 J (błędny wynik uzyskany z pomnożenia tysiąca watów przez 60 sekund)

3. Od jakich czynników zależy wielkość energii elektrycznej zarejestrowanej przez domowy licznik prądu? Jedynie od grubości miedzianych kabli doprowadzających prąd ze stacji transformatorowej Wyłącznie od wielkości napięcia sieciowego, bez względu na rodzaj włączonego sprzętu Od napięcia sieciowego, sumarycznego natężenia pobieranego prądu oraz czasu pracy sprzętu

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj:

Wzór na pracę prądu: $W = U \cdot I \cdot t$.
Jednostka podstawowa SI: dżul ($1\text{ J} = 1\text{ V} \cdot 1\text{ A} \cdot 1\text{ s}$).
Jednostka rozliczeniowa: kilowatogodzina ($1\text{ kWh} = 3\ 600\ 000\text{ J} = 3{,}6\text{ MJ}$).
Energia pobrana w kWh: $E_{[\text{kWh}]} = P_{[\text{kW}]} \cdot t_{[\text{h}]}$.
Koszt zużycia energii: $\text{Koszt} = E_{[\text{kWh}]} \cdot \text{stawka za 1 kWh}$.