Kurs: Prąd elektryczny stały (kurs podstawowy) · Moduł 06

Prawo Ohma i opór elektryczny

PPrezentacja dla nauczyciela

Jak natężenie płynącego prądu zależy od przyłożonego napięcia? Czym jest opór elektryczny odbiornika, jak odczytywać charakterystyki $I(U)$ i dlaczego prawo Ohma jest najważniejszym fundamentem elektrotechniki?

Cele tego modułu:

Poznasz treść prawa Ohma dla części obwodu oraz jego postać matematyczną: $I = \frac{U}{R}$.
Zrozumiesz fizyczny sens oporu elektrycznego (rezystancji) $R = \frac{U}{I}$ i jednostki om ($\Omega$).
Nauczysz się przekształcać wzór prawa Ohma do wyznaczania natężenia, napięcia i oporu.
Nauczysz się rysować i interpretować wykres zależności natężenia od napięcia $I(U)$.
Przetestujesz działanie prawa Ohma w interaktywnym symulatorze ze zmiennym napięciem i oporem.

Doświadczenie wprowadzające: badanie zależności $I$ od $U$

Wyobraźmy sobie prosty obwód złożony ze źródła o regulowanym napięciu, opornika metalowego o stałej wartości, amperomierza włączonego szeregowo oraz woltomierza dołączonego równolegle do opornika. Zmieniając stopniowo napięcie źródła od $0\text{ V}$ do $12\text{ V}$ i notując wskazania obu mierników, otrzymujemy tabelę pomiarową:

Napięcie przyłożone $U$ [V]	Natężenie prądu $I$ [A]	Iloraz $U / I$ [V/A]
$0{,}0$	$0{,}00$	—
$2{,}0$	$0{,}20$	$10{,}0$
$4{,}0$	$0{,}40$	$10{,}0$
$6{,}0$	$0{,}60$	$10{,}0$
$10{,}0$	$1{,}00$	$10{,}0$

Z powyższej tabeli wyłania się fundamentalna prawidłowość: iloraz napięcia i natężenia prądu jest stały! Gdy zwiększamy napięcie 2 razy, natężenie prądu również rośnie dokładnie 2 razy. Zależność między $I$ a $U$ jest zatem wprost proporcjonalna.

1. W tabeli pomiarowej dla opornika iloraz U/I wynosi stale 10,0 V/A. Co z tego wynika?

Opór opornika jest stały i wynosi 10 Ω Opór opornika rośnie proporcjonalnie do przyłożonego napięcia Natężenie prądu rośnie szybciej niż napięcie, bo zależy od jego kwadratu Opór opornika wynosi 0,1 Ω, bo trzeba odwrócić iloraz napięcia i natężenia

2. Napięcie zwiększono z 2,0 V do 6,0 V i natężenie wzrosło z 0,20 A do 0,60 A. Jaki wniosek jest poprawny?

Natężenie wzrosło trzykrotnie głównie z powodu nagrzania drutu Natężenie wzrosło trzykrotnie, bo jest wprost proporcjonalne do napięcia Natężenie wzrosło dziewięciokrotnie, bo zależy od kwadratu napięcia Natężenie nie powinno się zmienić, bo opór opornika jest stały

3. Jak należy włączyć mierniki w opisanym obwodzie, aby poprawnie wyznaczyć charakterystykę opornika?

Amperomierz równolegle do opornika, a woltomierz szeregowo w obwodzie Oba mierniki szeregowo, bezpośrednio za źródłem napięcia Amperomierz szeregowo, a woltomierz równolegle do końców opornika Oba mierniki równolegle do źródła napięcia

Sformułowanie prawa Ohma

Zależność tę w 1827 roku sformułował niemiecki fizyk i matematyk Georg Simon Ohm:

Prawo Ohma dla części obwodu

Natężenie prądu $I$ płynącego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia $U$ przyłożonego do jego końców i odwrotnie proporcjonalne do jego oporu elektrycznego $R$ (przy stałej temperaturze przewodnika):

\[ I = \frac{U}{R} \]

Trójkąt prawa Ohma — jak zapamiętać przekształcenia:

Zapisz literę $U$ na górze trójkąta, a litery $I$ oraz $R$ na dole obok siebie. Zasłaniając palcem poszukiwaną wielkość, natychmiast odczytujesz odpowiedni wzór:

\[ I = \frac{U}{R} \qquad U = I \cdot R \qquad R = \frac{U}{I} \]

4. Które sformułowanie prawa Ohma dla części obwodu jest poprawne?

Napięcie jest wprost proporcjonalne do oporu, a odwrotnie proporcjonalne do natężenia: U = R/I Natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do napięcia i wprost proporcjonalne do oporu: I = R/U Opór jest iloczynem napięcia i natężenia: R = U·I Natężenie jest wprost proporcjonalne do napięcia i odwrotnie proporcjonalne do oporu: I = U/R

5. Jak otrzymać z prawa Ohma wzór U = I·R, korzystając z trójkąta prawa Ohma?

Pomnożyć obie strony równania I = U/R przez R Podzielić obie strony równania I = U/R przez R Pomnożyć obie strony równania I = U/R przez U Odwrócić oba ułamki bez zmiany wykonywanego działania

6. W jakich warunkach stosuje się prawo Ohma w podanej postaci I = U/R?

Przy dowolnej temperaturze przewodnika, także gdy żarnik żarówki mocno się nagrzewa Przy stałej temperaturze przewodnika, bo wtedy opór nie zmienia się wraz z prądem Wyłącznie wtedy, gdy w obwodzie nie ma żadnego oporu elektrycznego Tylko dla cieczy przewodzących prąd, a nie dla metali

Pojęcie oporu elektrycznego (rezystancji) i jednostka om ($\Omega$)

Opór elektryczny (rezystancja), oznaczany symbolem $R$ (od ang. resistance), to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność przewodnika do przeciwstawiania się przepływowi prądu elektrycznego. Wynika on ze zderzeń dryfujących elektronów swobodnych z drgającymi jonami sieci krystalicznej metalu.

Definicja jednostki: 1 om ($1\ \Omega$)

Jednostką oporu w układzie SI jest om (symbol: grecka litera omega $\Omega$):

\[ 1\ \Omega = 1\ \frac{\text{V}}{\text{A}} = \frac{1\text{ wolt}}{1\text{ amper}} \]

Przewodnik ma opór równy $1\ \Omega$, jeżeli przyłożone do jego końców napięcie $1\text{ wolta}$ wywołuje w nim przepływ prądu o natężeniu $1\text{ ampera}$.

Często spotykane wielokrotności oma w technice:

$1\text{ k}\Omega = 1000\ \Omega = 10^3\ \Omega$ (kiloom),
$1\text{ M}\Omega = 1\ 000\ 000\ \Omega = 10^6\ \Omega$ (megaom).

7. Która zależność jednostek poprawnie definiuje om?

1 Ω = 1 A/V 1 Ω = 1 V·A 1 Ω = 1 V/A 1 Ω = 1 J/A

8. Przewodnik ma opór równy 1 Ω, gdy:

przy napięciu 1 V płynie w nim prąd o natężeniu 1 mA przy napięciu 230 V płynie w nim prąd o natężeniu 1 A przy natężeniu 1 A napięcie na jego końcach wynosi 10 V przyłożenie 1 V wywołuje przepływ prądu o natężeniu 1 A

9. Ile omów ma opornik oznaczony jako 1 kΩ?

1000 Ω, czyli 10³ Ω 100 Ω, czyli 10² Ω 1 000 000 Ω, czyli 10⁶ Ω 0,001 Ω, czyli 10⁻³ Ω

Wykres zależności $I(U)$ — charakterystyka prądowo-napięciowa

Gdy przedstawimy zależność natężenia prądu $I$ od przyłożonego napięcia $U$ na wykresie kartezjańskim (oś pozioma: $U$, oś pionowa: $I$), otrzymujemy tzw. charakterystykę prądowo-napięciową:

Dla przewodników metalowych w stałej temperaturze wykresem jest linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych $(0,0)$. Elementy spełniające to prawo nazywamy odbiornikami omowymi (liniowymi).
Nachylenie prostej: im bardziej stromo wznosi się linia wykresu, tym większe jest natężenie prądu przy danym napięciu — a to oznacza mniejszy opór elektryczny przewodnika ($R = \Delta U / \Delta I$).
Odbiorniki nieliniowe (np. żarówka wolframowa, dioda półprzewodnikowa) nie mają prostej charakterystyki: wraz ze wzrostem napięcia żarnik żarówki mocno się nagrzewa, co zwiększa opór metalu i powoduje wygięcie wykresu ku osi napięcia.

10. Jak wygląda charakterystyka I(U) odbiornika omowego w stałej temperaturze?

Jest to parabola przechodząca przez początek układu współrzędnych Jest to linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych Jest to linia prosta przecinająca oś natężenia powyżej zera Jest to krzywa wyginająca się ku osi napięcia

11. Co oznacza, że prosta na wykresie I(U) wznosi się bardziej stromo?

Że opór przewodnika jest większy, bo prąd szybciej narasta Że opór przewodnika jest mniejszy, bo mniejsze napięcie wystarcza do wzrostu prądu Że opór przewodnika jest mniejszy, bo przy tym samym napięciu płynie większy prąd Że opór jest taki sam, bo nachylenie zależy wyłącznie od doboru skali osi

12. Dlaczego charakterystyka żarówki wolframowej nie jest linią prostą?

Ponieważ wolfram ma ujemną rezystywność i przy nagrzewaniu przewodzi coraz lepiej Ponieważ prąd w żarówce płynie tylko w jednym kierunku, a nie przemiennie Ponieważ napięcie na żarówce zależy od indukcji własnej jej włókna Ponieważ rozgrzany żarnik zwiększa opór i wykres wygina się ku osi napięcia

Rysunek: interpretacja charakterystyk $I(U)$ dla dwóch różnych oporników

Charakterystyka prądowo-napięciowa: bardziej stroma prosta odpowiada mniejszemu oporowi (większemu prądowi przy danym napięciu).

13. Na rysunku przy napięciu 10 V przez opornik A płynie 2 A, a przez opornik B 0,5 A. Jakie są ich opory?

Opór A wynosi 5 Ω i jest czterokrotnie mniejszy niż opór B równy 20 Ω Opór A wynosi 20 Ω i jest czterokrotnie większy niż opór B równy 5 Ω Oba oporniki mają opór 10 Ω, bo napięcie jest jednakowe Opór A wynosi 2 Ω, a opór B 0,5 Ω, bo takie wartości wskazują amperomierze

14. Dlaczego prosta opornika B jest na wykresie znacznie bardziej płaska niż prosta opornika A?

Ponieważ opornik B ma mniejszy opór i dlatego płynie w nim większy prąd Ponieważ opornik B ma większy opór, więc przy tym samym napięciu płynie w nim mniejszy prąd Ponieważ przez opornik B płynie większy prąd przy każdym napięciu Ponieważ nachylenie zależy tylko od rezystywności, a nie od oporu przewodnika

15. Obie proste na rysunku przecinają początek układu współrzędnych. Co to potwierdza?

Że opór obu oporników rośnie wraz ze wzrostem napięcia Że przy zerowym napięciu przez oporniki płynie niewielki prąd szczątkowy Że natężenie jest proporcjonalne do napięcia, a przy U = 0 prąd nie płynie Że oba oporniki mają dokładnie taki sam opór elektryczny

Animacja: interaktywny symulator prawa Ohma

Zmieniaj napięcie baterii $U$ oraz opór odbiornika $R$, aby zaobserwować, jak natężenie prądu $I = U/R$ zmienia się na bieżąco na schemacie oraz na dynamicznym wykresie:

Napięcie $U$: 12,0 V Opór $R$: 6,0 Ω

16. W symulatorze ustawiono napięcie 12 V i opór 6 Ω. Jakie natężenie prądu pokaże układ?

72 A 0,5 A 18 A 2 A

17. W symulatorze zwiększasz opór R, nie zmieniając napięcia U. Co dzieje się z natężeniem prądu?

Maleje, bo w prawie Ohma opór występuje w mianowniku: I = U/R Rośnie proporcjonalnie do oporu, bo większy opór wymusza większy prąd Nie zmienia się, ponieważ napięcie źródła pozostaje stałe Maleje tylko dlatego, że wzrost oporu obniża napięcie baterii

18. Przy stałym oporze 6 Ω zwiększasz napięcie z 6 V do 12 V. Jak zmienia się prąd i nachylenie prostej na wykresie?

Prąd rośnie dwukrotnie, a prosta staje się dwukrotnie bardziej stroma Prąd rośnie dwukrotnie, a nachylenie prostej pozostaje takie samo Prąd się nie zmienia, zmienia się wyłącznie nachylenie prostej Prąd rośnie czterokrotnie, bo napięcie występuje we wzorze w kwadracie

Przykłady obliczeniowe z pełnym rozwiązaniem

Przykład 1 — obliczanie natężenia prądu ze wzoru $I = U / R$

Treść: Grzałka elektryczna o oporze $R = 46\ \Omega$ została włączona do gniazdka domowego o napięciu $U = 230\text{ V}$. Jakie natężenie prądu płynie przez tę grzałkę?

Rozwiązanie:

Wypisujemy dane: $U = 230\text{ V}$, $R = 46\ \Omega$. Szukane: $I$.
Stosujemy prawo Ohma: \[ I = \frac{U}{R} = \frac{230\text{ V}}{46\ \Omega} = 5\text{ A} \]
Odpowiedź: Przez grzałkę płynie prąd o natężeniu $5\text{ A}$.

Przykład 2 — wyznaczanie oporu odbiornika ze wzoru $R = U / I$

Treść: Po dołączeniu małej żarówki do baterii o napięciu $U = 4{,}5\text{ V}$ amperomierz wskazał prąd $I = 0{,}15\text{ A}$. Ile wynosi opór włókna tej żarówki podczas świecenia?

Rozwiązanie:

Wypisujemy dane: $U = 4{,}5\text{ V}$, $I = 0{,}15\text{ A}$. Szukane: $R$.
Przekształcamy prawo Ohma do postaci na opór: \[ R = \frac{U}{I} = \frac{4{,}5\text{ V}}{0{,}15\text{ A}} = \frac{450}{15}\ \Omega = 30\ \Omega \]
Odpowiedź: Opór rozżarzonego włókna wynosi $30\ \Omega$.

19. Grzałka o oporze 46 Ω jest włączona do gniazdka o napięciu 230 V. Jakie płynie przez nią natężenie prądu?

0,2 A 10 580 A 5 A 2,3 A

20. Żarówka dołączona do baterii 4,5 V pobiera prąd 0,15 A. Ile wynosi opór jej włókna podczas świecenia?

0,675 Ω 0,033 Ω 3 Ω 30 Ω

21. Tę samą grzałkę o oporze 46 Ω podłączono do napięcia 115 V, czyli połowy napięcia sieci. Jakie będzie natężenie prądu?

2,5 A 5 A, ponieważ opór grzałki pozostaje taki sam 10 A, ponieważ mniejsze napięcie oznacza większy prąd 0,4 A, ponieważ opór trzeba podzielić przez napięcie

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Do końców pewnego metalowego opornika przyłożono napięcie 3 V i zmierzono prąd o natężeniu 0,4 A. Jakie natężenie prądu popłynie przez ten opornik, jeśli napięcie zwiększymy trzykrotnie (do 9 V), zakładając stałą temperaturę?

Wskazówka 1 — proporcjonalność prosta

Zgodnie z prawem Ohma natężenie rośnie tyle samo razy, ile wzrosło napięcie.

Wskazówka 2 — obliczenie

$3 \times 0{,}4\text{ A} = 1{,}2\text{ A}$.

$I = 0{,}4\text{ A}$ (ponieważ opór nie pozwala na zmianę prądu przy zmianie napięcia) $I = 1{,}2\text{ A}$ (ponieważ przy stałym oporze natężenie rośnie trzykrotnie tak jak napięcie) $I = 0{,}13\text{ A}$ (wynik błędnego podzielenia natężenia przez trzy zamiast pomnożenia)

Zadanie 2. Na wykresie $I(U)$ dla pewnego przewodnika odczytano punkt pomiarowy: dla napięcia $U = 6\text{ V}$ natężenie wynosi $I = 0{,}3\text{ A}$. Ile wynosi opór elektryczny tego przewodnika?

Wskazówka 1 — wzór na opór

Zastosuj wzór $R = \frac{U}{I}$.

Wskazówka 2 — dzielenie liczb dziesiętnych

$6 \div 0{,}3 = 60 \div 3 = 20$.

$R = 20\ \Omega$ (ponieważ $R = 6\text{ V} / 0{,}3\text{ A} = 20\ \Omega$) $R = 1{,}8\ \Omega$ (wynik błędnego pomnożenia napięcia przez natężenie prądu) $R = 0{,}05\ \Omega$ (wynik błędnego podzielenia natężenia prądu przez napięcie)

Zadanie 3. Co oznacza, że opornik włączony do układu ma rezystancję równą dokładnie $1\ \Omega$?

Wskazówka 1 — definicja oma

$1\ \Omega = 1\text{ V} / 1\text{ A}$.

Wskazówka 2 — interpretacja słowna

Napięcie 1 wolta wywołuje prąd o natężeniu 1 ampera.

Że przewodnik zużywa dokładnie jeden dżul energii na każdą minutę swojej pracy Że przewodnik całkowicie blokuje przepływ ładunków przy napięciu do jednego wolta Że przyłożenie napięcia jednego wolta wywołuje w nim przepływ prądu jednego ampera

Quiz wiedzy — Moduł 06

1. Które sformułowanie precyzyjnie oddaje treść prawa Ohma dla metalowego przewodnika o stałej temperaturze? Natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia: $I = U / R$ Opór elektryczny rośnie zawsze wprost proporcjonalnie do kwadratu napięcia: $R = U^2$ Napięcie na zaciskach jest odwrotnie proporcjonalne do natężenia prądu: $U = R / I$

2. Co stanie się z natężeniem prądu płynącego przez opornik, jeżeli napięcie źródła zmaleje dwukrotnie? Natężenie prądu wzrośnie dwukrotnie, ponieważ prąd dąży do wyrównania strat Natężenie prądu pozostanie bez zmian, gdyż zależy wyłącznie od materiału drutu Natężenie prądu również zmaleje dwukrotnie, zachowując proporcjonalność do $U$

3. Na wspólnym wykresie $I(U)$ narysowano proste dla dwóch oporników: prosta opornika A jest bardzo stroma, a prosta opornika B jest niemal płaska. Co z tego wynika? Opornik A ma znacznie większy opór niż opornik B, bo potrzebuje wyższego napięcia Opornik A ma mniejszy opór niż opornik B, bo przy tym samym $U$ płynie w nim większy prąd Oba oporniki mają dokładnie taki sam opór, a różnica wynika jedynie z błędu pomiaru

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj:

Prawo Ohma: $I = \frac{U}{R}$ (natężenie jest wprost proporcjonalne do napięcia).
Opór elektryczny: $R = \frac{U}{I}$ — miara oporu stawianego prądowi przez przewodnik.
Jednostka oporu: om ($1\ \Omega = 1\text{ V} / 1\text{ A}$).
Charakterystyka $I(U)$: dla oporników omowych to linia prosta; im bardziej stroma, tym mniejszy opór.