MODUŁ 02 · BLOK I: CO TO JEST DRGANIE

Amplituda i okres: jak daleko i jak długo

PPrezentacja dla nauczyciela

Dwa podstawowe pojęcia, które pozwalają opisać każde drganie w fizyce: amplituda (jak daleko ciało wychyla się ze środka) oraz okres (ile sekund trwa jedno pełne powtórzenie). Towarzyszy im częstotliwość, która mówi, ile drgań mieści się w jednej sekundzie.

Amplituda: jak szeroko sięga drganie

Gdy huśtawka wisi swobodnie i nikt jej nie dotyka, spoczywa nieruchomo pionowo w dół. To miejsce nazywamy położeniem równowagi (środkiem drgań). Gdy popchniesz huśtawkę, zaczyna się od niego oddalać w lewo i w prawo.

Amplituda ($A$) to największe wychylenie ciała z położenia równowagi — czyli odległość od środka do skrajnego punktu toru. Mierzymy ją w jednostkach długości: centymetrach (cm) lub metrach (m).

Mocne pchnięcie = duża amplituda. Huśtawka unosi się wysoko, daleko od położenia pionowego.
Lekkie pchnięcie = mała amplituda. Huśtawka wykonuje jedynie drobne wahania blisko pionu.

Amplituda zależy od tego, ile energii przekażemy układowi i w jakim stanie był na początku — nie tylko od tego, jak silne było pojedyncze pchnięcie. Liczy się też, jak długo pchaliśmy i czy huśtawka już się kołysała. Dlatego dwa układy pchnięte „taką samą siłą” mogą mieć różne amplitudy.

Ważna pułapka: Odległość między dwoma skrajnymi punktami (od maksymalnego wychylenia w lewo do maksymalnego w prawo) wynosi $2A$ (podwójna amplituda). Amplituda to odległość od środka do skraju, czyli dokładnie połowa całej rozpiętości ruchu!

1. Ciężarek wychyla się między dwoma skrajnymi punktami oddalonymi o 12 cm. Ile wynosi amplituda?

$A = 6$ cm $A = 12$ cm $A = 24$ cm $A = 3$ cm

2. Od czego zależy amplituda huśtawki?

Wyłącznie od długości łańcuchów, na których wisi siedzisko Od energii przekazanej układowi, m.in. od siły i czasu pchania Wyłącznie od masy osoby siedzącej, niezależnie od pchnięcia Od częstotliwości drgań — im szybciej kołysze się huśtawka, tym wyżej się wznosi

3. Huśtawkę pchano tak samo mocno, ale za drugim razem dłużej. Co się zmieni?

Amplituda i okres wzrosną proporcjonalnie do czasu pchania Amplituda się nie zmieni, bo liczy się tylko pojedyncze pchnięcie Amplituda wzrośnie, a okres pozostanie praktycznie taki sam Okres wzrośnie, bo dłuższe pchanie zawsze wydłuża cykl

Okres i częstotliwość: jak szybko powtarza się ruch

Szybkość powtórzeń w fizyce opisują dwie powiązane ze sobą wielkości:

Okres ($T$) — czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie (tam i z powrotem, powrót do stanu początkowego). Jednostką okresu jest sekunda (s).
Częstotliwość ($f$) — liczba pełnych drgań wykonanych w czasie jednej sekundy. Jednostką częstotliwości jest herc (Hz, $1\text{ Hz} = 1/\text{s}$).

Związek między okresem a częstotliwością jest odwrotny:

Wzór na okres i częstotliwość:
$$f = \frac{1}{T} \qquad \text{oraz} \qquad T = \frac{1}{f}$$ Jeśli huśtawka wykonuje jedno pełne wahnięcie w czasie $T = 2\text{ s}$, to jej częstotliwość wynosi $f = \frac{1}{2\text{ s}} = 0,5\text{ Hz}$ (pół drgania na sekundę).

Czy okres zależy od amplitudy? Dla huśtawki i wahadła (przy niezbyt wielkich wychyleniach) okres nie zależy od amplitudy. Silniejsze pchnięcie sprawia, że huśtawka leci wyżej i rozwija większą prędkość, ale drogę pokonuje w niemal dokładnie takim samym czasie! Pamiętaj, że to przybliżenie dla małych wychyleń — przy bardzo szerokim rozhuśtaniu okres nieco się wydłuża. Dotyczy to wahadła i przyjętego modelu, a nie każdego układu drgającego.

4. Wahadło wykonuje 20 pełnych drgań w ciągu 10 s. Ile wynoszą okres i częstotliwość?

$T = 10$ s, $f = 0{,}1$ Hz $T = 20$ s, $f = 0{,}05$ Hz $T = 2$ s, $f = 2$ Hz $T = 0{,}5$ s, $f = 2$ Hz

5. Co dokładnie oznacza częstotliwość 1 Hz?

Ciało wykonuje jedno pełne drganie w ciągu jednej sekundy Jedno pełne drganie trwa jedną minutę Ciało przebywa jeden metr w ciągu jednej sekundy Ciało mija położenie równowagi dokładnie raz w ciągu sekundy

6. Czy okres huśtawki zależy od amplitudy przy niezbyt dużych wychyleniach?

Tak, podwojenie amplitudy podwaja okres drgań Nie, okres pozostaje niemal taki sam, choć droga jest dłuższa Tak, im większa amplituda, tym krótszy okres Nie, ponieważ huśtawka w ogóle nie ma stałego okresu

Jak zmierzyć okres drgań w domu

Pojedyncze drganie trwa często ułamek sekundy, a czas reakcji człowieka przy włączaniu stopera wynosi około 0,2–0,3 sekundy. Zmierzenie jednego drgania byłoby obarczone ogromnym błędem. Dlatego w fizyce mierzy się wiele drgań naraz:

Instrukcja rzetelnego pomiaru:

Włącz stoper w telefonie dokładnie w chwili, gdy huśtawka osiąga skrajne położenie (punkt zwrotu).
Odlicz na głos 10 pełnych drgań (każdy powrót do tego samego skrajnego punktu to jedno drganie).
Zatrzymaj stoper przy dziesiątym powrocie i zapisz zmierzony czas $t$.
Oblicz okres, dzieląc cały czas przez liczbę drgań: $T = \frac{t}{n}$.

Uwaga przy liczeniu: samo skrajne położenie na starcie to jeszcze nie jest jedno wykonane drganie — to tylko punkt początkowy pomiaru. Pierwsze pełne drganie kończy się dopiero wtedy, gdy huśtawka wróci do tego samego skrajnego położenia. Dlatego odliczasz zakończone powroty, a nie mijane pozycje. Przykład z liczbami: 10 pełnych wahnięć zajęło 24 sekundy. Okres jednego drgania wynosi: $T = 24\text{ s} \div 10 = 2,4\text{ s}$. Częstotliwość wynosi: $f = 1 \div 2,4\text{ s} \approx 0,42\text{ Hz}$.

Tak liczy się jedno pełne drganie: od zera, przez skraj w jedną stronę, znowu przez zero, skraj w drugą stronę i powrót do zera — po tym czasie ciało rusza w tę samą stronę co na początku.

7. Dlaczego przy pomiarze stoperem liczy się czas 10 drgań, a nie jednego?

Ponieważ pojedyncze drganie nie ma określonego czasu trwania Ponieważ stoper mierzy wyłącznie czasy dłuższe niż 10 s Ponieważ błąd reakcji rozkłada się na 10 cykli i względny błąd maleje Ponieważ 10 drgań zawsze trwa dokładnie 10 sekund

8. 10 pełnych drgań zajęło 24 s. Ile wynosi okres?

$T = 24$ s $T = 0{,}42$ s $T = 10$ s $T = 2{,}4$ s

9. W których momentach najlepiej włączyć i wyłączyć stoper?

Gdy huśtawka mija to samo skrajne położenie: na starcie i po dziesiątym powrocie Gdy huśtawka mija środek, bo porusza się wtedy najszybciej W dowolnej chwili, bo wynik i tak dzieli się przez liczbę drgań Gdy huśtawka zatrzymuje się w skrajnym punkcie, ale tylko przy pierwszym wahnięciu

Rysunek: ta sama huśtawka, dwa różne pchnięcia

Porównanie huśtawki przy silnym i słabym wychyleniu. Amplituda $A$ jest inna, ale czas jednego pełnego powtórzenia (okres $T$) pozostaje taki sam.

Ta sama huśtawka. Amplituda zależy od siły pchnięcia, ale okres drgań $T$ pozostaje taki sam.

10. Na rysunku huśtawka osiąga różne wychylenia, ale ma ten sam okres. Co z tego wynika?

Że amplituda i okres są wprost proporcjonalne Że okres nie zależy od amplitudy, a od długości zawieszenia Że przy większym wychyleniu huśtawka wykonuje więcej cykli Że oba pchnięcia dostarczyły dokładnie tyle samo energii

11. Co oznaczają strzałki narysowane przy siedzeniu huśtawki?

Kierunek siły grawitacji działającej na siedzenie Zakres, w którym zmienia się okres drgań Amplitudę, czyli odległość od równowagi do skraju Podwojoną amplitudę, czyli całą rozpiętość toru

12. Co się stanie, jeśli huśtawkę pchniemy mocniej, nie zmieniając długości łańcuchów?

Okres wzrośnie, bo ciało ma do pokonania dłuższą drogę Okres zmaleje, bo ciało porusza się z większą prędkością Okres i amplituda pozostaną bez zmian Amplituda wzrośnie, a okres pozostanie praktycznie taki sam

Ćwiczenie: odczytaj amplitudę i okres z wykresu

Podstawa programowa wymaga, byś potrafił odczytać amplitudę i okres z wykresu wychylenia od czasu. Najlepiej spróbować samodzielnie, zanim rozwinie się odpowiedź. Jedna kratka w poziomie to $1\text{ s}$, jedna kratka w pionie to $1\text{ cm}$.

Wykres wychylenia huśtawki od czasu. Odczytaj amplitudę (od środka do szczytu) oraz okres (od szczytu do szczytu).

Ćwiczenie z wykresem — sprawdź się

Polecenie: Odczytaj z powyższego wykresu amplitudę drgań $A$ oraz okres drgań $T$. Pamiętaj: amplituda to odległość od linii środka do szczytu (nie od dołka do szczytu!), a okres to czas między dwoma sąsiednimi szczytami.

Krok 1 — amplituda

Szczyt fali sięga 3 kratek powyżej linii środka, a jedna kratka w pionie to $1\text{ cm}$. Amplituda wynosi więc $A = 3\text{ cm}$. (Gdybyś zmierzył od dołka do szczytu, dostałbyś $6\text{ cm}$ — to podwojona amplituda $2A$, klasyczna pułapka!)

Krok 2 — okres

Sąsiednie szczyty wypadają w chwilach $t = 1\text{ s}$ i $t = 5\text{ s}$ (szczyt jest w jednej czwartej okresu po starcie z równowagi). Różnica to $T = 5\text{ s} - 1\text{ s} = 4\text{ s}$. Jedna kratka w poziomie to $1\text{ s}$, więc okres to 4 kratki.

Pełna odpowiedź

Amplituda $A = 3\text{ cm}$, okres $T = 4\text{ s}$ (częstotliwość $f = 1/T = 0{,}25\text{ Hz}$).

Ten sam okres, ale wykres zaczyna się inaczej

Okres można odczytać nie tylko „od szczytu do szczytu”. Ważne, żeby porównać dwa punkty odpowiadające temu samemu stanowi ruchu — dwa szczyty, dwa dołki albo dwa przejścia przez zero w tę samą stronę. Sprawdź to na dwóch kolejnych wykresach tej samej huśtawki ($A = 3\text{ cm}$).

wykres zaczyna się od maksymalnego wychylenia (+A)

wykres zaczyna się od położenia równowagi i wychyla w stronę ujemną

Wykres B — odczyt

Wykres zaczyna się w chwili $t = 0$ od maksymalnego wychylenia ($x = +A$). Kolejne szczyty wypadają w $t = 0\text{ s}$, $t = 4\text{ s}$ i $t = 8\text{ s}$, więc $T = 4\text{ s}$. Amplituda $A = 3\text{ cm}$. Gdybyś mierzył „od zera do zera”, musisz wziąć dwa zera w tę samą stronę: $t = 2\text{ s}$ i $t = 6\text{ s}$ — też wychodzi $T = 4\text{ s}$.

Wykres C — odczyt

Wykres zaczyna się od położenia równowagi, ale huśtawka rusza w stronę ujemną. Najniższe punkty ($x = -A$) wypadają w $t = 1\text{ s}$ i $t = 5\text{ s}$, więc $T = 4\text{ s}$ — identycznie jak w poprzednich wykresach. Amplituda nadal $A = 3\text{ cm}$. To pokazuje, że okres nie zależy od tego, w którym miejscu cyklu zaczynamy obserwację.

Zadanie odwrotne — dobierz wykres do danych

Zwykle odczytujesz okres z wykresu. Teraz jest odwrotnie: masz dane i wybierasz wykres. To sprawdza, czy rozumiesz związek między okresem, częstotliwością i kształtem wykresu, a nie tylko odczytujesz liczby.

Trzy wykresy tej samej huśtawki z różnymi okresami. Porównaj odstępy między szczytami.

Polecenie: Pewna huśtawka ma okres $T = 2\text{ s}$ (czyli $f = 0{,}5\text{ Hz}$). Który z powyższych wykresów ją przedstawia? Uzasadnij, podając odstęp między szczytami.

Rozwiązanie

Wykres B. Na wykresie A szczyty wypadają co $1\text{ s}$ (to okres $1\text{ s}$), na wykresie C dopiero co $4\text{ s}$. Na wykresie B odstęp między szczytami to $2\text{ s}$ — dokładnie tyle, ile wynosi podany okres. Kontrola przez częstotliwość: $f = 0{,}5\text{ Hz}$ oznacza pół drgania na sekundę, czyli jedno pełne drganie w $2\text{ s}$ — to wykres B.

13. Na wykresie jedna kratka w pionie to 1 cm, a szczyt leży 3 kratki nad osią. Ile wynosi amplituda?

$A = 3$ cm $A = 6$ cm $A = 1{,}5$ cm $A = 3$ s

14. Szczyty wykresu wypadają w chwilach 1 s i 5 s. Ile wynosi okres?

$T = 1$ s $T = 4$ s $T = 5$ s $T = 2$ s

15. Wykres zaczyna się od maksymalnego wychylenia $+A$. Jak najpewniej wyznaczyć okres?

Zmierzyć czas od początku wykresu do pierwszego przejścia przez zero Zmierzyć czas od pierwszego szczytu do pierwszego dołka Zmierzyć odstęp między dwoma kolejnymi szczytami lub dołkami Zmierzyć czas od początku do chwili, gdy wychylenie znów wynosi zero

Animacja: zmień amplitudę, okres i zmierz stoperem

Przesuń suwaki: amplitudę (jak daleko wychyla się huśtawka) i okres (ile trwa cykl). Następnie kliknij Mierz 10 drgań, aby przeprowadzić wzorcowy pomiar laboratoryjny stoperem.

Amplituda (A): 50 px Okres (T): 2,0 s

Dlaczego liczymy 10 drgań, a nie jedno? Gdy mierzysz 1 drganie trwające 2,0 s, błąd refleksu człowieka (np. 0,2 s) stanowi aż 10% wyniku. Gdy zmierzysz 10 drgań (20,0 s), ten sam błąd 0,2 s rozkłada się na 10 cykli, stanowiąc zaledwie 1% wyniku pomiaru!

16. W symulacji zwiększasz tylko amplitudę, nie ruszając suwaka okresu. Co pokaże pomiar 10 drgań?

Zmierzony czas wyraźnie wzrośnie, bo droga jest dłuższa Zmierzony czas zmaleje, bo huśtawka bardziej się rozpędza Pomiar stanie się niemożliwy, bo ruch przestanie być okresowy Zmierzony czas pozostanie taki sam, bo okres się nie zmienił

17. Po co w symulacji umieszczono przycisk „Mierz 3 drgania” obok „Mierz 10 drgań”?

Aby pokazać, że przy mniejszej liczbie cykli błąd reakcji waży więcej Aby zmierzyć inną wielkość fizyczną niż przy dziesięciu drganiach Aby sprawdzić, czy okres zależy od liczby mierzonych cykli Aby skrócić pomiar bez żadnego wpływu na jego dokładność

18. Suwak okresu ustawiono na 3,0 s. Ile pełnych drgań wykona huśtawka w ciągu 6 s?

3 drgania 2 drgania 0,5 drgania 18 drgań

Przykład na liczbach

Przykład 1 — okres i częstotliwość huśtawki

Zadanie: Na placu zabaw zmierzyłeś czas 10 pełnych drgań huśtawki. Stoper wskazał dokładnie 25 sekund. Oblicz okres ($T$) oraz częstotliwość ($f$) tych drgań.

Rozwiązanie krok po kroku:

Czas całkowity $t = 25\text{ s}$, liczba drgań $n = 10$.
Okres to czas jednego drgania: $T = \frac{t}{n} = \frac{25\text{ s}}{10} = 2,5\text{ s}$.
Częstotliwość to odwrotność okresu: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2,5\text{ s}} = 0,4\text{ Hz}$.

Odpowiedź: Okres drgań wynosi 2,5 s, a częstotliwość to 0,4 Hz.

Przykład 2 — amplituda drgań linijki

Zadanie: Drgający koniec linijki porusza się w pionie. W najwyższym położeniu znajduje się 4 cm powyżej poziomu spoczynku, a w najniższym — 4 cm poniżej poziomu spoczynku. Ile wynosi amplituda drgań oraz całkowita rozpiętość ruchu?

Rozwiązanie krok po kroku:

Położenie równowagi to poziom spoczynku linijki.
Maksymalne wychylenie od poziomu spoczynku wynosi 4 cm — to jest właśnie amplituda ($A = 4\text{ cm}$).
Całkowita rozpiętość ruchu (od skrajnego dołka do skrajnego szczytu) wynosi $2A = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = 8\text{ cm}$.

Odpowiedź: Amplituda wynosi 4 cm, a cała rozpiętość toru to 8 cm.

19. Dziesięć pełnych drgań huśtawki trwało 25 s. Ile wynosi okres?

$T = 25$ s $T = 0{,}4$ s $T = 2{,}5$ s $T = 10$ s

20. Przy okresie 2,5 s częstotliwość drgań wynosi...

2,5 Hz 25 Hz 0,25 Hz 0,4 Hz

21. Koniec linijki wychyla się 4 cm nad i 4 cm pod poziom spoczynku. Podaj amplitudę i rozpiętość ruchu.

$A = 4$ cm, rozpiętość 8 cm $A = 8$ cm, rozpiętość 4 cm $A = 4$ cm, rozpiętość 4 cm $A = 2$ cm, rozpiętość 4 cm

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Huśtawkę pchnięto najpierw lekko, a po chwili bardzo mocno. Co stało się z jej amplitudą i okresem drgań?

Wskazówka 1 — co zmienia mocniejsze pchnięcie?

Mocniejsze pchnięcie dostarcza więcej energii — huśtawka wychyla się znacznie wyżej od położenia równowagi.

Wskazówka 2 — od czego zależy okres?

Okres huśtawki zależy od długości jej łańcuchów, a nie od kąta wychylenia (dla typowych wychyleń). Wyższa huśtawka leci szybciej, ale pokonuje dłuższą drogę.

Amplituda wzrosła i okres drgań również wyraźnie wzrósł Amplituda wzrosła, a okres drgań pozostał bez zmian Amplituda i okres zmniejszyły się

Zadanie 2. Ciężarek drga na sprężynie między dwoma skrajnymi punktami, które są od siebie oddalone o 16 cm. Ile wynosi amplituda tych drgań?

Wskazówka 1 — czym jest amplituda?

Amplituda to odległość od położenia równowagi (środka) do jednego ze skrajnych punktów, a nie odległość między dwoma skrajnymi punktami.

Wskazówka 2 — relacja ze skrajnymi punktami

Odległość między skrajnymi punktami to $2A$. Aby otrzymać amplitudę $A$, należy tę odległość podzielić przez 2.

16 cm 8 cm 32 cm

Zadanie 3. W czasie 6 sekund wahadło wykonało 15 pełnych drgań. Ile wynosi okres tych drgań?

Wskazówka 1 — definicja okresu

Okres $T$ to czas jednego pełnego drgania. Dzielimy cały zmierzony czas przez liczbę wykonanych drgań.

Wskazówka 2 — obliczenie

$T = t \div n = 6\text{ s} \div 15$.

T = 0,4 s T = 2,5 s T = 90 s

Zadanie transferowe — niepodpisany wykres

Nie liczy się do paska postępu. To zadanie z nową skalą (inna niż w przykładach) i bez żadnych podpisów na wykresie — wszystko odczytujesz sam.

Niepodpisany wykres wychylenia od czasu. Jedna kratka w poziomie to 1 s, jedna kratka w pionie to 1 cm. Wszystkie potrzebne wielkości odczytaj sam.

Polecenie:

Wskaż (w pamięci) linię położenia równowagi na wykresie.
Odczytaj amplitudę $A$.
Wyznacz okres $T$ dwoma różnymi sposobami i sprawdź, czy wynik się zgadza.
Oblicz częstotliwość $f$.

Rozwiązanie

1. Linią położenia równowagi jest oś pozioma na wysokości $x = 0$ (środkowa linia siatki) — widać po tym, że krzywa przechodzi przez nią i wychyla się symetrycznie w górę i w dół.

Rozwiązanie — amplituda

2. Szczyt sięga 2 kratki nad osią, a jedna kratka w pionie to $1 ext{ cm}$. Zatem $A = 2 ext{ cm}$. (Od dołka do szczytu byłoby $4 ext{ cm}$ — to $2A$, nie amplituda.)

Rozwiązanie — okres dwoma sposobami

3. Sposób pierwszy — od szczytu do szczytu: szczyty wypadają w $t = 0{,}75 ext{ s}$ i $t = 3{,}75 ext{ s}$, więc $T = 3{,}75 - 0{,}75 = 3 ext{ s}$. Sposób drugi — od dołka do dołka: dołki w $t = 2{,}25 ext{ s}$ i $t = 5{,}25 ext{ s}$, więc $T = 5{,}25 - 2{,}25 = 3 ext{ s}$. Oba sposoby dają $T = 3 ext{ s}$. (Kontrola trzecim sposobem: przejścia przez zero w tę samą stronę w $t = 0 ext{ s}$ i $t = 3 ext{ s}$ — też $3 ext{ s}$.)

Rozwiązanie — częstotliwość

4. $f = 1/T = 1/3 ext{ s} \approx 0{,}33 ext{ Hz}$. Odpowiedź: $A = 2 ext{ cm}$, $T = 3 ext{ s}$, $f \approx 0{,}33 ext{ Hz}$.

Quiz wiedzy — Moduł 02

1. Amplituda drgań to: Czas trwania jednego pełnego drgania Największe wychylenie ciała z położenia równowagi Całkowita droga przebyta przez ciało w ciągu jednej minuty

2. Dlaczego przy wyznaczaniu okresu stoperem mierzy się czas np. 10 drgań, a nie 1? Ponieważ 1 drganie nie posiada okresu Ponieważ stoper nie potrafi mierzyć czasów krótszych niż dziesięć sekund Aby zmniejszyć wpływ błędu ludzkiego refleksu przy włączaniu i wyłączaniu stopera

3. Skrzydła brzęczącej pszczoły wykonują około 250 drobnych machnięć w ciągu 1 sekundy. Jak opisać te drgania? Bardzo mały okres ($T = 0,004\text{ s}$), wysoka częstotliwość ($f = 250\text{ Hz}$), mała amplituda Bardzo duży okres ($T = 250\text{ s}$), bardzo mała częstotliwość oraz zupełnie zerowa amplituda drgań Okres i częstotliwość wynoszą dokładnie zero

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj

Amplituda to odległość od położenia równowagi do skraju — połowa całej rozpiętości ruchu.
Okres to czas jednego pełnego drgania: $T = t/n$.
Częstotliwość to liczba drgań na sekundę: $f = 1/T$.

Uważaj na błąd

Mylenie amplitudy z rozpiętością. Jeśli podano odległość między skrajnymi punktami, to jest $2A$ — amplituda to jej połowa. I odwrotnie: okres to nie częstotliwość ($T \neq f$).

Sprawdź, czy rozumiesz

Dlaczego mierzymy czas 10 drgań, a nie jednego?

Odpowiedź

Bo jedno drganie trwa krótko, a błąd reakcji przy włączaniu stopera (ok. 0,2 s) byłby wtedy bardzo duży. Przy 10 drganiach ten sam błąd rozkłada się na dziesięć cykli i wynik jest znacznie dokładniejszy.