MODUŁ 11 · BLOK III: DLACZEGO DRGANIA MILKNĄ I WRACAJĄ

Energia w drganiach: kinetyczna i potencjalna

PPrezentacja dla nauczyciela

Popatrz uważnie na kołyszącą się huśtawkę lub wahadło. Na samej górze, w punktach zwrotnych, na ułamek sekundy całkowicie się zatrzymuje. Z kolei na samym dole, mijając środek, mknie najszybciej. To bezpośredni dowód na nieustanną przemianę energii: energii potencjalnej grawitacji (związanej z wysokością) w energię kinetyczną (związaną z prędkością) i z powrotem.

Dwie postacie energii mechanicznej

Uwaga: energia potencjalna ma różne postacie. To, którą rozpatrujemy, zależy od układu:
• W huśtawce (i każdym wahadle) analizujemy przede wszystkim energię potencjalną grawitacji, związaną z wysokością.
• W układzie ze sprężyną można dodatkowo rozpatrywać energię potencjalną sprężystości, związaną z jej odkształceniem.
To różne postacie energii potencjalnej — nie mieszaj ich w jednym rachunku.

Energia potencjalna ($E_p$) — energia zmagazynowana dzięki położeniu lub odkształceniu sprężystemu. Im wyżej wzniesie się huśtawka ponad najniższe położenie, tym większa jest jej energia potencjalna grawitacji ($E_p = m \cdot g \cdot h$) — jeżeli za poziom zerowy energii przyjmiemy najniższe położenie huśtawki. W punkcie maksymalnego wychylenia ($x = \pm A$) energia potencjalna osiąga maksimum ($E_p = \text{max}$). To zdanie dotyczy modelu huśtawki z ustalonym poziomem zerowym. Nie przenoś go automatycznie na pionową sprężynę — tam energia sprężystości i energia grawitacji zmieniają się jednocześnie.
Energia kinetyczna ($E_k$) — energia związana z ruchem ciała ($E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$). Zależy wprost od kwadratu prędkości $v$. W punktach zwrotnych wynosi zero ($v = 0 \implies E_k = 0$). Przy przejściu przez położenie równowagi ($x = 0$), gdzie prędkość jest największa ($v_{\text{max}}$), energia kinetyczna osiąga swoje maksimum ($E_k = \text{max}$).

Zasada zachowania energii mechanicznej w ruchu drgającym:
Gdy pomijamy opory ruchu i tarcie, całkowita energia mechaniczna $E_m$ układu drgającego pozostaje stała w każdej chwili ruchu: \[ E_m = E_k + E_p = \text{const} \] Kiedy energia kinetyczna rośnie, potencjalna maleje dokładnie o tyle samo — następuje jedynie bezustanna wymiana między dwiema postaciami energii!
To model idealny. W rzeczywistych drganiach część energii mechanicznej zamienia się w ciepło (opór powietrza, tarcie), więc suma $E_m$ powoli maleje, a amplituda maleje razem z nią — to drgania tłumione z modułu 09.

1. Od czego zależy energia potencjalna grawitacji huśtawki?

Od jej prędkości w danym momencie Od wysokości ciała ponad przyjęty poziom zerowy Od częstotliwości drgań Od amplitudy i okresu, ale nie od wysokości

2. Czym jest energia kinetyczna drgającego ciała?

Energią zmagazynowaną w odkształceniu sprężystym Energią zależną od wysokości ciała nad poziomem zerowym Wielkością stałą przez cały cykl drgań Energią ruchu $E_k = \frac{m v^2}{2}$, zależną od kwadratu prędkości

3. Co mówi zasada zachowania energii mechanicznej w modelu bez oporów?

Energia kinetyczna jest zawsze większa od potencjalnej Energia potencjalna zamienia się w kinetyczną, ale ich suma pozostaje stała Suma $E_k + E_p$ rośnie wraz z amplitudą Energia kinetyczna w punktach zwrotnych osiąga maksimum

Cykl wahnięcia krok po kroku

Maksymalne wychylenie w lewo ($x = -A$). Huśtawka zatrzymuje się na moment ($v = 0$). Prędkość wynosi zero, więc $E_k = 0$. Wysokość jest największa: $E_p = \text{max}$. Cała energia układu ma postać energii potencjalnej: $E_m = E_p$.
Ruch w dół ku środkowi. Huśtawka traci wysokość, ale przyspiesza pod działaniem grawitacji. Energia potencjalna systematycznie zamienia się w energię kinetyczną.
Przejście przez położenie równowagi ($x = 0$). Huśtawka znajduje się w najniższym położeniu. Przy przyjętym poziomie zerowym energii potencjalnej grawitacji jej energia potencjalna wynosi zero ($h = 0 \implies E_p = 0$), a energia kinetyczna osiąga maksimum. Tutaj $E_k = \text{max}$ i cała energia mechaniczna to energia kinetyczna: $E_m = E_k$.
Wznoszenie ku prawemu skrajowi. Huśtawka unosi się w górę i stopniowo wyhamowuje. Energia kinetyczna zamienia się z powrotem w potencjalną.
Maksymalne wychylenie w prawo ($x = +A$). Znów chwilowy spoczynek ($v = 0$). Znowu $E_k = 0$, a $E_p = \text{max}$. Huśtawka zawraca i cykl powtarza się w nieskończoność (lub wygasa powoli pod wpływem oporów powietrza).

4. Huśtawka przechodzi przez położenie równowagi $x = 0$. Jakie są wtedy $E_p$ i $E_k$ przy poziomie zerowym w najniższym punkcie?

$E_p = $ max, $E_k = 0$ $E_p = 0$, $E_k = 0$ $E_p = 0$, $E_k = $ max $E_p = $ max, $E_k = $ max

5. Huśtawka wędruje od skrajnego wychylenia w lewo ku środkowi. Co dzieje się z energiami?

Obie maleją, bo ciało zbliża się do najniższego punktu Energia potencjalna maleje, a kinetyczna rośnie Energia kinetyczna maleje, a potencjalna rośnie Obie pozostają bez zmian aż do środka

6. Huśtawka osiąga maksymalne wychylenie w prawo ($x = +A$). Jaki jest wtedy stan energii?

$E_k = 0$, a $E_p$ jest maksymalna $E_k$ jest maksymalna, a $E_p = 0$ Obie energie są maksymalne Obie energie są równe zeru

Przykłady przemian energii w przyrodzie i technice

Ciężarek na poziomej sprężynie (bez wstępnego naciągu). W skrajnych punktach rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężyny masa stoi ($E_k = 0$), a energia jest zmagazynowana w sprężystości stali ($E_{ps} = \text{max}$). Przy przelocie przez środek sprężyna wraca do długości spoczynkowej ($E_{ps} = 0$), a ciężarek ma największą prędkość ($E_k = \text{max}$).
Skoczek na bungee lub trampolinie. W najwyższym punkcie dominuje energia potencjalna grawitacji. W najniższym — energia potencjalna sprężystości napiętej liny. W połowie lotu — maksymalna prędkość i energia kinetyczna.
Zegar z kukułką i wahadłem. Spadający ciężarek dostarcza minimalne porcje energii na pokonanie oporów, a wahadło nieustannie zamienia energię potencjalną na kinetyczną, odmierzając idealnie równe sekundy.
Rollercoaster i rampa skateboardowa. Na krawędzi rampy deskorolkarz na chwilę zamiera ($E_p = \text{max}$), by po zjeździe na sam dół mknąć z maksymalną prędkością ($E_k = \text{max}$) na przeciwległą krawędź.

7. Ciężarek na poziomej sprężynie jest w skrajnym położeniu ściśnięcia. Co można powiedzieć o jego energiach?

$E_k$ jest maksymalna, a $E_{ps} = 0$ Obie energie są równe zeru $E_k = 0$, a energia potencjalna sprężystości jest maksymalna Energia kinetyczna równa się energii potencjalnej grawitacji

8. Skoczek bungee jest w najniższym punkcie lotu. Która energia dominuje?

Energia kinetyczna, bo skoczek porusza się najszybciej Energia potencjalna grawitacji, bo jest najwyżej Energia kinetyczna i potencjalna grawitacji są równe Energia potencjalna sprężystości napiętej liny

9. Deskorolkarz zjeżdża z krawędzi rampy na sam dół. Co ma tam największą wartość?

Energia potencjalna grawitacji Energia kinetyczna Energia potencjalna sprężystości Suma energii jest równa zeru

Rysunek: rozkład energii w trzech położeniach huśtawki

Geometrycznie poprawna huśtawka o stałej długości liny $L$. Słupki obrazują proporcje energii kinetycznej $E_k$ (zielony) i potencjalnej $E_p$ (pomarańczowy). Sumaryczna wysokość słupków jest niezmienna.

Zasada zachowania energii na huśtawce (model bez oporów): w skrajnych położeniach cała energia ma postać potencjalną ($E_p$), w położeniu równowagi zamienia się całkowicie w kinetyczną ($E_k$), a ich suma $E_m$ jest stała.

10. Co jest niezmienne na rysunku trzech położeń huśtawki?

Suma wysokości słupków $E_k$ i $E_p$ Wysokość samego słupka energii potencjalnej Wysokość samego słupka energii kinetycznej Prędkość huśtawki

11. W położeniu pośrednim słupki mają po 50%. Co to oznacza?

Że huśtawka stoi i ma tylko energię potencjalną Że energia mechaniczna zmalała o połowę Że połowa energii mechanicznej jest kinetyczna, a połowa potencjalna Że prędkość huśtawki jest dwa razy większa niż w środku

12. W skrajnym położeniu słupek energii potencjalnej ma 100%, a kinetycznej 0%. Dlaczego?

Bo huśtawka ma największą prędkość, a najmniejszą wysokość Bo w skrajnym położeniu działa na nią tylko tarcie Bo energia mechaniczna wtedy znika Bo huśtawka zatrzymuje się na moment i jest najwyżej

Animacja: huśtawka i dynamiczne słupki energii

Obserwuj kołysanie huśtawki oraz słupki energii w czasie rzeczywistym. Zielony słupek to energia kinetyczna ($E_k$), pomarańczowy to energia potencjalna ($E_p$), a fioletowa linia pozioma wskazuje niezmienną sumę: $E_m = E_k + E_p = 100\%$.

Eksperyment z przyciskiem „Zatrzymaj”:
Spróbuj zatrzymać ruch dokładnie w chwili, gdy huśtawka osiąga skrajne wychylenie ($E_k \approx 0$, $E_p \approx 100\%$), a następnie w punkcie przejścia przez pion ($E_k \approx 100\%$, $E_p \approx 0$). Zauważ, że linia sumy $100\%$ nigdy nie zmienia swojej wysokości!

Uwaga: pionowa sprężyna z ciężarkiem to inny przypadek!
Gdy ciężarek wisi na pionowej sprężynie, sprężyna jest już rozciągnięta w położeniu równowagi — ciężarek rozciągnął ją swoim ciężarem, zanim drgania w ogóle się zaczęły. Położenie równowagi nie pokrywa się więc z naturalną (fabryczną) długością sprężyny.
Co to zmienia w energii? Trzeba liczyć dwa rodzaje energii potencjalnej osobno: energię sprężystości (zależną od pełnego rozciągnięcia sprężyny) oraz energię grawitacji (zależną od wysokości ciężarka). W położeniu równowagi energia sprężystości nie wynosi zero — sprężyna jest przecież naciągnięta! Dobra wiadomość: drgania wokół tego przesuniętego położenia równowagi zachowują się tak samo jak na sprężynie poziomej, więc cała reszta tego modułu (zamiana ruchu w pozycję i z powrotem) działa bez zmian.

13. Co wskazuje fioletowa linia pozioma w animacji?

Chwilową wartość energii kinetycznej Niezmienną sumę $E_m = E_k + E_p = 100\%$ Malejącą amplitudę drgań Częstotliwość własną huśtawki

14. Zatrzymujesz animację w skrajnym wychyleniu. Jakie wartości pokażą słupki?

$E_k \approx 0$, $E_p \approx 100\%$ $E_k \approx 100\%$, $E_p \approx 0$ po 50% każdy oba po 0%

15. Dlaczego linia sumy energii nie zmienia wysokości podczas ruchu?

Bo animacja nie uwzględnia energii potencjalnej Bo energia kinetyczna jest zawsze równa potencjalnej Bo słupki są rysowane niezależnie od ruchu huśtawki Bo w modelu bez oporów energia mechaniczna jest stała

Przykład na liczbach

Przykład 1 — obliczanie prędkości w położeniu równowagi

Zadanie: Dziecko na huśtawce o łącznej masie $m = 40\text{ kg}$ zostaje odchylone tak, że jego środek masy wznosi się o $h = 0{,}8\text{ m}$ powyżej najniższego punktu. Przyjmując przyspieszenie ziemskie $g = 10\text{ m/s}^2$ i pomijając opory ruchu, oblicz maksymalną energię kinetyczną oraz prędkość huśtawki przy przejściu przez pion.

Rozwiązanie krok po kroku:

Energia potencjalna w punkcie maksymalnego wychylenia: \[ E_p = m \cdot g \cdot h = 40\text{ kg} \times 10\text{ m/s}^2 \times 0{,}8\text{ m} = 320\text{ J} \]
Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej cała energia potencjalna zamienia się w najniższym punkcie w energię kinetyczną: \[ E_k = E_p = 320\text{ J} \]
Wyznaczamy prędkość maksymalną ze wzoru $E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$: \[ 320 = \frac{40 \cdot v^2}{2} = 20 \cdot v^2 \implies v^2 = \frac{320}{20} = 16 \implies v = 4\text{ m/s} \]

Odpowiedź: Maksymalna energia kinetyczna wynosi $320\text{ J}$, a prędkość huśtawki w położeniu równowagi to $4\text{ m/s}$ (czyli ok. $14{,}4\text{ km/h}$).

16. Dziecko o masie 40 kg wznosi się o 0,8 m. Przy $g = 10\text{ m/s}^2$ energia potencjalna na tej wysokości wynosi:

32 J 3200 J 320 J 80 J

17. Przy przejściu przez pion cała ta energia zamienia się w kinetyczną. Jaka jest prędkość huśtawki?

2 m/s 4 m/s 8 m/s 16 m/s

18. Gdyby to samo dziecko wzniosło się tylko o 0,2 m, jego prędkość w najniższym punkcie wyniosłaby:

2 m/s 4 m/s 1 m/s 0,5 m/s

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Wahadło zegara ściennego znajduje się w skrajnym położeniu (amplituda maksymalna). Co można powiedzieć o jego energii kinetycznej i potencjalnej?

Wskazówka 1 — prędkość w punkcie zwrotnym

W punkcie skrajnym wahadło na ułamek sekundy zatrzymuje się, by zmienić kierunek ruchu ($v = 0$).

Wskazówka 2 — wysokość wahadła

W punkcie skrajnym ciężarek wahadła znajduje się na największej wysokości w całym cyklu.

Energia kinetyczna jest maksymalna, a potencjalna wynosi zero Energia kinetyczna wynosi zero, a energia potencjalna jest maksymalna Obie energie wynoszą zero

Zadanie 2. Podczas ruchu huśtawki od skrajnego wychylenia w stronę położenia równowagi:

Wskazówka 1 — co dzieje się z wysokością?

Wysokość maleje, zbliżając się do minimum. Zatem energia potencjalna musi maleć.

Wskazówka 2 — co dzieje się z prędkością?

Huśtawka rozpędza się, więc jej prędkość rośnie. Zatem energia kinetyczna rośnie.

Obie energie jednocześnie maleją, bo ciało traci rozpęd Energia potencjalna maleje, a kinetyczna rośnie Obie energie jednocześnie rosną

Zadanie 3. Ciężarek drgający na sprężynie ma w położeniu równowagi energię kinetyczną $10\text{ J}$. Ile wynosi jego energia potencjalna sprężystości w chwili maksymalnego wychylenia (zakładając brak oporów)?

Wskazówka 1 — zasada zachowania energii

W układzie bez oporów całkowita energia mechaniczna $E_m$ nie ulega zmianie.

Wskazówka 2 — energia w punktach charakterystycznych

W położeniu równowagi cała energia to kinetyczna ($E_m = E_k = 10\text{ J}$). W punkcie zwrotnym cała energia to potencjalna ($E_m = E_p$).

$0\text{ J}$ $5\text{ J}$ $10\text{ J}$

Zadanie transferowe — energia w czasie: idealnie i realnie

Nie liczy się do paska postępu. Odpowiedź znajdziesz w rozwijanym polu.

Dwa przebiegi energii

Polecenie: Na wykresie energii całkowitej $E_m$ w czasie: przebieg P to pozioma linia na stałej wysokości, przebieg R to linia stopniowo opadająca do zera. Który opisuje model idealny, a który rzeczywiste drgania? Gdzie podziewa się energia w przebiegu R?

Rozwiązanie

P — model idealny (bez oporów): energia mechaniczna jest stała, krąży tylko między energią ruchu a energią pozycji. R — drgania rzeczywiste (tłumione): energia mechaniczna maleje, bo opór powietrza i tarcie zamieniają ją w ciepło (i trochę w dźwięk). Obie energie ($E_k$ i $E_p$) maleją razem z amplitudą, a ich suma w przebiegu R opada. To ta sama różnica, którą widać między modułem 11 (model) i modułem 09 (rzeczywistość).

Zadanie transferowe — opisz przemiany słowami

Polecenie: Nie licz niczego. Opisz słowami, co dzieje się z energią kinetyczną i energią potencjalną huśtawki w dwóch etapach: (a) od skrajnego położenia do środka, (b) od środka do przeciwnego skraju.

Rozwiązanie

(a) Huśtawka jest najwyżej i chwilowo stoi, więc ma maksimum energii potencjalnej i zero energii kinetycznej. Lecąc w dół, traci wysokość, a rozpędza się: energia potencjalna maleje, a kinetyczna rośnie. (b) Od środka huśtawka wznosi się i zwalnia: energia kinetyczna maleje, a potencjalna rośnie, aż na przeciwnym skraju znowu jest maksimum potencjalnej i zero kinetycznej. W modelu bez oporów suma obu energii przez cały czas pozostaje ta sama — energia tylko zmienia postać.

Zadanie transferowe — energia na skraju i w równowadze

Polecenie: (a) Porównaj energię kinetyczną i potencjalną huśtawki w skrajnym położeniu oraz w położeniu równowagi. (b) Wyjaśnij, co zmienia się w tych dwóch położeniach, gdy drgania są tłumione.

Rozwiązanie

(a) W skrajnym położeniu huśtawka chwilowo stoi ($v = 0$), więc $E_k = 0$, a cała energia mechaniczna jest energią potencjalną ($E_p = \text{max}$). W położeniu równowagi huśtawka jest najniżej i leci najszybciej: $E_p = 0$ (przy poziomie zerowym w najniższym punkcie), a $E_k = \text{max}$. W modelu bez oporów suma $E_k + E_p$ jest w obu położeniach taka sama.

Rozwiązanie — część b

(b) W drganiach tłumionych suma energii mechanicznej maleje z każdym cyklem — część energii przechodzi do otoczenia (ciepło, dźwięk). Zmienia się więc wartość energii w obu położeniach: maksymalna $E_p$ na skraju jest coraz mniejsza, a maksymalna $E_k$ w równowadze też maleje. Nie zmienia się natomiast charakter przemiany: nadal na skraju jest maksimum $E_p$ i zero $E_k$, a w równowadze odwrotnie.

19. Na wykresie energii całkowitej przebieg P jest poziomy, a R opada do zera. Który opisuje model idealny?

R, bo energia w rzeczywistości zawsze opada Oba opisują model idealny P, bo w modelu bez oporów energia mechaniczna jest stała Żaden, bo energia całkowita zawsze rośnie

20. Gdzie podziewa się energia w przebiegu R?

Zamienia się w energię potencjalną sprężystości, która zostaje w układzie Zamienia się w ciepło i częściowo dźwięk przekazywane otoczeniu Znika bez śladu Przechodzi w energię kinetyczną, dlatego wykres opada

21. W drganiach tłumionych wartości $E_k$ i $E_p$ maleją z każdym cyklem. Co pozostaje bez zmian?

Maksymalna wartość energii potencjalnej na skraju Maksymalna wartość energii kinetycznej w równowadze Charakter przemian: na skraju maksimum $E_p$, w równowadze maksimum $E_k$ Suma $E_k + E_p$

Quiz wiedzy — Moduł 11

1. W którym miejscu huśtawka porusza się z największą prędkością? W punkcie maksymalnego wychylenia w lewo, czyli na końcu toru W punkcie maksymalnego wychylenia w prawo W położeniu równowagi (najniższy punkt w środku toru)

2. Jak brzmi zasada zachowania energii mechanicznej w ruchu drgającym bez oporów? Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała w czasie ($E_k + E_p = \text{const}$) Energia kinetyczna jest zawsze równa zeru, niezależnie od położenia i prędkości ciała Energia potencjalna stale rośnie w nieskończoność

3. W połowie drogi między położeniem równowagi a maksymalnym wychyleniem huśtawka posiada: Wyłącznie energię kinetyczną, bo potencjalna jest wtedy zerowa Zarówno energię kinetyczną, jak i energię potencjalną Zero jakiejkolwiek energii

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj

W huśtawce rozpatrujemy energię potencjalną grawitacji; w sprężynie dodatkowo energię potencjalną sprężystości — to różne postacie.
W modelu bez oporów $E_k + E_p$ jest stałe; w rzeczywistości maleje (tłumienie).
Wartość energii potencjalnej zależy od przyjętego poziomu zerowego.

Uważaj na błąd

Przenoszenie zdania „na skraju cała energia jest potencjalna” na pionową sprężynę. Tam energia sprężystości i energia grawitacji zmieniają się jednocześnie — trzeba je rozpatrywać osobno.

Sprawdź, czy rozumiesz

Gdzie huśtawka ma największą energię kinetyczną i dlaczego?

Odpowiedź

W najniższym położeniu (w równowadze). Wtedy ma największą prędkość — cała energia mechaniczna zamieniła się w kinetyczną, a energia potencjalna grawitacji (przy poziomie zerowym w najniższym punkcie) jest równa zeru.