MODUŁ 05 · BLOK II: CO CIĄGNIE CIAŁO Z POWROTEM

Siła, która ciągnie z powrotem: sprężyna i gumka

PPrezentacja dla nauczyciela

Kluczowe pytanie dla każdego ruchu drgającego brzmi: co sprawia, że ciało po wychyleniu wraca do środka? W przypadku huśtawki jest to grawitacja, w przypadku instrumentów — naciąg struny. W klocku na sprężynie ciało zawraca wypadkowa siła przywracająca, a jej głównym źródłem jest siła sprężystości. Przyjrzyjmy się obu tym wielkościom — bo to nie to samo.

Sprężyna, która pamięta swój kształt

Rozciągnij sprężynę i puść. Co się dzieje? Błyskawicznie powraca do swojej początkowej długości. Dzieje się tak, ponieważ odkształcony materiał wytwarza siłę sprężystości (siłę powrotną), która zawsze dąży do przywrócenia pierwotnego kształtu. Im mocniej sprężynę rozciągniesz, tym większą siłą będzie ciągnąć z powrotem.

Rozciągasz lekko — sprężyna stawia niewielki opór i delikatnie wraca do położenia równowagi.
Rozciągasz mocno — sprężyna stawia potężny opór, gromadzi dużą energię potencjalną sprężystości i gwałtownie wraca do środka.
Ściskasz sprężynę — siła sprężystości działa w drugą stronę: odpycha klocek, znów dążąc do przywrócenia długości spoczynkowej. (Gumka recepturka działa tylko przy rozciąganiu, bo przy ściskaniu po prostu wiotczeje).

Prawo Hooke'a w jednym zdaniu:
W zakresie sprężystym (przy niezbyt dużych odkształceniach) siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia sprężyny i skierowana przeciwnie do tego odkształcenia. W układzie wykonującym drgania wypadkowa siła przywracająca jest skierowana ku położeniu równowagi. Dla idealnej sprężyny opisuje ją zależność: $$F_{\text{wyp}} = -k \cdot x$$ gdzie $x$ oznacza wychylenie od położenia równowagi, a $k$ — sztywność sprężyny. Znak minus mówi, że siła wypadkowa ma zwrot przeciwny do wychylenia. Oznacza to, że 2 razy większe odciągnięcie daje 2 razy większą siłę przywracającą, a 3 razy większe — 3 razy większą! Powyżej pewnego odkształcenia sprężyna lub gumka rozciąga się już nieproporcjonalnie (albo pęka) i ten wzór przestaje działać.

Dwie różne rzeczy: długość naturalna i położenie równowagi.
• Długość naturalna to długość sprężyny, gdy nikt jej nie ciągnie i nic na niej nie wisi.
• Położenie równowagi to miejsce, w którym ciało spoczywa (wypadkowa sił równa zeru). Dla sprężyny poziomej (bez ciężarku na końcu) te dwa miejsca pokrywają się. Dla sprężyny pionowej z ciężarkiem — nie: ciężar już w spoczynku rozciąga sprężynę, więc położenie równowagi jest niżej niż długość naturalna.
Dlatego wzór $F_{\text{wyp}} = -k \cdot x$ stosujemy do wychylenia $x$ od położenia równowagi — wtedy opisuje wypadkową siłę przywracającą. Uwaga: siła sprężystości (naciąg samej sprężyny) to inna wielkość niż wypadkowa — zależy od odkształcenia względem długości naturalnej, nie od wychylenia z równowagi. W pionie ciężar nie znika, tylko równoważy część naciągu. Szczegóły w module 11.

1. Dlaczego we wzorze $F_{\text{wyp}} = -k \cdot x$ występuje znak minus?

Bo siła wypadkowa ma zwrot przeciwny do wychylenia $x$ Bo siła wypadkowa jest zawsze ujemna, czyli działa w dół Bo sztywność sprężyny $k$ jest wielkością ujemną Bo sprężyna traci energię przy każdym odkształceniu

2. Pionowa sprężyna z ciężarkiem wisi nieruchomo. Gdzie znajduje się położenie równowagi?

W miejscu, w którym sprężyna ma swoją długość naturalną Tam, gdzie naciąg sprężyny równoważy ciężar ciężarka — niżej niż długość naturalna W najwyższym punkcie, jaki ciężarek osiąga podczas drgań Tam, gdzie siła sprężystości jest największa, a ciężar najmniejszy

3. Dlaczego gumka recepturka nie odpycha ciała, gdy próbujemy ją ścisnąć?

Bo jej sztywność $k$ jest zbyt duża, by siła była odczuwalna Bo siła sprężystości zależy od masy rozciąganego ciała Bo przy ściskaniu wiotczeje i nie wytwarza siły odpychającej Bo po każdym rozciągnięciu traci swój kształt na stałe

Sprężyny wokół nas

Ta sama zasada sprężystości działa w wielu urządzeniach:

Drzwi ze sprężynowym zamykaczem — przy otwieraniu rozciągasz sprężynę. Gdy puścisz klamkę, siła sprężystości sama domyka skrzydło do framugi.
Materac i fotele sprężynowe — uginają się pod ciężarem ciała i sprężyście wypychają je w górę, dopasowując się do nacisku.
Klamerka do bielizny i spinacz — zwoje metalu sprężyście zaciskają się, trzymając pranie na sznurku.
Trampolina — sprężysta siatka i stalowe sprężyny na obwodzie uginają się pod skoczkiem i gromadzą energię, a następnie przekazują ją skoczkowi, dzięki czemu może on ponownie wznieść się w górę.
Siłomierz szkolny — urządzenie do pomiaru siły: wydłużenie sprężyny jest wprost proporcjonalne do ciężaru zawieszonego przedmiotu.
Amortyzator w samochodzie i rowerze — stalowa sprężyna przejmuje uderzenia od nierówności drogi, a olejowy tłumik wygasza drgania.

4. Od czego zależy wydłużenie sprężyny w szkolnym siłomierzu?

Od objętości zawieszonego przedmiotu, bo wypiera on powietrze Od długości sprężyny w stanie spoczynku Od masy przedmiotu, przy czym jego ciężar nie ma tu znaczenia Od ciężaru zawieszonego przedmiotu

5. Czym zajmuje się olejowy tłumik w amortyzatorze samochodowym?

Wygasza drgania sprężyny po przejęciu przez nią uderzenia Przejmuje uderzenia zamiast sprężyny, która tylko go trzyma Zwiększa sztywność sprężyny przy dużym obciążeniu Odpowiada za sprężyste odbicie koła od nierówności

6. Co dzieje się z energią sprężystej siatki trampoliny podczas ugięcia pod skoczkiem?

Energia zostaje rozproszona i skoczek nie wznosi się ponownie Siatka gromadzi energię i oddaje ją skoczkowi, który wznosi się w górę Siatka zamienia energię na ciepło, dlatego skoczek skacze coraz niżej Energia jest magazynowana w sprężynach na stałe, bez oddawania

Rysunek: ta sama sprężyna, trzy wychylenia

Trzy charakterystyczne stany poziomego oscylatora sprężynowego. Zwróć uwagę na zieloną linię przerywaną (położenie równowagi $x=0$) oraz zieloną strzałkę siły wypadkowej $\vec{F}$ — w tym układzie siła ta działa w stronę położenia równowagi, przeciwdziałając każdemu odkształceniu sprężyny. W tym układzie sprężyna jest nierozciągnięta właśnie w położeniu równowagi, więc siła sprężystości jest tu jednocześnie siłą wypadkową. W układzie pionowym z ciężarkiem tak nie jest — położenie równowagi jest niżej niż długość naturalna sprężyny, a siła ciężkości nadal działa na ciężarek (patrz ramka wyżej).

Trzy stany poziomego oscylatora sprężynowego: sprężyna ściśnięta (pcha w prawo), stan spoczynku (brak siły) oraz sprężyna rozciągnięta (ciągnie w lewo).

7. Na rysunku klocek jest ściśnięty z lewej strony ($x = -A$). W którą stronę działa siła wypadkowa?

W lewo, zgodnie z wychyleniem klocka W dół, bo decyduje ciężar klocka W prawo, czyli ku położeniu równowagi Nie działa żadna siła, bo sprężyna jest ściśnięta, a nie rozciągnięta

8. Czym różni się sprężyna pozioma z rysunku od pionowej z ciężarkiem?

W poziomie siła sprężystości w ogóle nie zależy od wychylenia W pionie długość naturalna pokrywa się z położeniem równowagi W poziomie trzeba uwzględniać ciężar klocka, a w pionie nie W poziomie długość naturalna pokrywa się z równowagą, a w pionie nie

9. Klocek z rysunku mija położenie równowagi ($x = 0$). Co dzieje się w tej chwili?

Sprężyna jest nieodkształcona, więc siła wypadkowa wynosi zero Siła wypadkowa osiąga największą wartość, bo wychylenie jest zerowe Klocek zatrzymuje się na chwilę przed zmianą kierunku Sprężyna jest najbardziej rozciągnięta, a klocek najszybszy

Animacja: pociągnij, puść, zobacz

Ustaw suwakiem wychylenie klocka ze środka, a następnie naciśnij Puść. Sprężyna pociągnie klocek w stronę równowagi, rozpoczynając drgania. Wykres po lewej rejestruje kolejne wahnięcia.

Wychylenie początkowe: +45 px

Doświadczenie domowe: Zawieś mały ciężarek (np. pęk kluczy) na gumce recepturce. Pociągnij lekko w dół i puść — ciężarek zacznie drgać w pionie. Zwróć uwagę, że w skrajnych punktach na chwilę staje, a przez położenie równowagi przelatuje najszybciej!

10. Po puszczeniu klocka z wychylenia, w którym punkcie porusza się on najszybciej?

W skrajnym wychyleniu, tuż przed zawróceniem W położeniu równowagi, przez które przelatuje W połowie drogi między równowagą a skrajem W każdym punkcie toru prędkość jest taka sama

11. Czym charakteryzuje się skrajne wychylenie klocka na sprężynie?

Klocek ma tam największą prędkość, a siła wynosi zero Sprężyna jest nieodkształcona, więc klocek nic nie hamuje Klocek zatrzymuje się na chwilę, a siła przywracająca jest największa Klocek porusza się tam ruchem jednostajnym po prostej

12. Klocek puszczony z wychylenia przechodzi przez równowagę, choć działa tam siła zero. Dlaczego nie zatrzymuje się w środku?

Bo siła sprężystości w równowadze osiąga maksimum i popycha go dalej Bo sprężyna jest wtedy najbardziej rozciągnięta i ciągnie go w bok Bo tarcie o podłoże popycha klocek w stronę przeciwną Bo ma w równowadze największą prędkość i bezwładność niesie go dalej

Przykład na liczbach

Przykład 1 — proporcjonalność siły sprężystości

Zadanie: Do poziomej sprężyny przyczepiono klocek. Gdy wychylono go o 4 cm od środka, sprężyna działała na niego siłą powrotną równą 2 N. Jaka siła zadziała na klocek, gdy odciągniemy go o 12 cm? Przyjmij, że sprężyna pracuje w zakresie sprężystym (odkształcenia są niezbyt duże).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wychylenie początkowe $x_1 = 4\text{ cm}$, wychylenie końcowe $x_2 = 12\text{ cm}$.
Obliczamy, ile razy zwiększyło się wychylenie: $12\text{ cm} \div 4\text{ cm} = 3$ razy.
Zgodnie z prawem Hooke'a siła sprężystości rośnie wprost proporcjonalnie do wychylenia — ale tylko w zakresie sprężystym:
$$F_2 = 3 \times F_1 = 3 \times 2\text{ N} = 6\text{ N}$$

Odpowiedź: Siła powrotna wyniesie 6 N i będzie skierowana w stronę położenia równowagi. Gdybyśmy rozciągnęli sprężynę znacznie mocniej (poza zakres sprężysty), proporcja przestałaby obowiązywać i takie mnożenie dałoby błędny wynik.

Przykład 2 — siłomierz szkolny

Zadanie: Na szkolnym siłomierzu zawieszono plecak. Sprężyna siłomierza wydłużyła się o 6 cm, a wskazówka pokazała siłę 3 N. Następnie dołożono drugi, identyczny plecak i wydłużenie wzrosło do 12 cm. Jaką siłę pokazał wtedy siłomierz?

Rozwiązanie krok po kroku:

Wydłużenie wzrosło z 6 cm do 12 cm, czyli $12 \div 6 = 2$ razy.
Siłomierz pracuje w zakresie, w którym siła jest wprost proporcjonalna do wydłużenia, więc wskazanie też rośnie dwukrotnie: $2 \times 3\text{ N} = 6\text{ N}$.
Właśnie dlatego siłomierz nadaje się do ważenia: równe podziałki na skali odpowiadają równym przyrostom siły.

Wniosek: Proporcjonalne liczenie działa, gdy sprężyna pracuje w swoim normalnym zakresie. Trampolina z listy powyżej to przykład tylko jakościowy: przy bardzo głębokich ugięciach jej siatka i sprężyny zachowują się bardziej skomplikowanie niż prosta proporcja, więc nie liczymy jej siły zwykłym mnożeniem — za to świetnie widać na niej, jak ugięcie gromadzi energię, którą sprężysta siatka przekazuje potem skoczkowi, dzięki czemu może on ponownie wznieść się w górę. Trampolina ilustruje ogólną rolę sprężystości, a nie jest modelem do bezpośrednich obliczeń z prawa Hooke'a.

13. Przy wychyleniu $4\text{ cm}$ siła sprężystości wynosi $2\text{ N}$. Jaka siła działa przy wychyleniu $12\text{ cm}$ w zakresie sprężystym?

$6\text{ N}$, bo siła rośnie tyle samo razy co wychylenie $2\text{ N}$, bo siła nie zależy od wychylenia $4\text{ N}$, bo siła rośnie o tyle, ile wychylenie w centymetrach $24\text{ N}$, bo mnożymy siłę przez wychylenie

14. Siłomierz przy wydłużeniu $6\text{ cm}$ wskazuje $3\text{ N}$. Ile wskaże przy wydłużeniu $18\text{ cm}$?

$6\text{ N}$, bo wydłużenie wzrosło trzy razy, a siła dwa razy $9\text{ N}$, bo siła rośnie proporcjonalnie do wydłużenia $3\text{ N}$, bo wskazanie zależy tylko od masy, nie od wydłużenia $18\text{ N}$, bo wskazanie jest równe wydłużeniu w centymetrach

15. Dlaczego w obu przykładach trzeba zastrzec, że sprężyna pracuje w zakresie sprężystym?

Bo poza tym zakresem sprężyna przestaje działać i nie wraca do kształtu Bo poza tym zakresem siła rośnie szybciej niż wychylenie Bo tylko tam siła jest proporcjonalna do wychylenia i mnożenie daje poprawny wynik Bo w tym zakresie sztywność $k$ rośnie razem z siłą ciężkości

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Sprężynę rozciągnięto o 3 cm, uzyskując siłę sprężystości 1,5 N. Następnie rozciągnięto ją o 9 cm. Ile wynosi nowa siła sprężystości?

Wskazówka 1 — proporcjonalność

Siła sprężystości rośnie wprost proporcjonalnie do wydłużenia: ile razy większe wydłużenie, tyle razy większa siła.

Wskazówka 2 — oblicz krotność

$9\text{ cm} \div 3\text{ cm} = 3$. Siła musi wzrosnąć 3-krotnie.

1,5 N (siła nie zależy od rozciągnięcia) 3,0 N 4,5 N

Zadanie 2. Co jest bezpośrednią przyczyną tego, że drzwi ze sprężynowym samozamykaczem po puszczeniu same wracają do framugi?

Wskazówka 1 — co dzieje się ze sprężyną podczas otwierania?

Otwierając drzwi, pokonujesz opór i naciągasz sprężynę w mechanizmie.

Wskazówka 2 — dążenie do spoczynku

Odkształcona sprężyna dąży do powrotu do swojej pierwotnej długości spoczynkowej.

Siła bezwładności powietrza wypychająca skrzydło drzwi z powrotem w stronę ościeżnicy Siła sprężystości odkształconej sprężyny, dążącej do pierwotnego kształtu Działanie siły grawitacji dążącej do obniżenia środka ciężkości skrzydła drzwi

Zadanie 3. W którym z poniższych układów siłą zwracającą (ciągnącą do położenia równowagi) jest siła sprężystości, a NIE siła grawitacji?

Wskazówka 1 — rola grawitacji w wahadłach

Huśtawka i kulka na sznurku to wahadła — tam ciało wraca na dół dzięki sile grawitacji (ciężkości).

Wskazówka 2 — odkształcenie sprężyste

Szukaj układu, w którym dochodzi do ugięcia, ściskania lub rozciągania sprężystego materiału.

Poduszka sprężynowa w fotelu biurowym Ciężarek kołyszący się na sznurku (wahadło) Huśtawka łańcuchowa na placu zabaw

Zadanie transferowe — wykres siły sprężystości $F(x)$

Nie liczy się do paska postępu. Odpowiedź znajdziesz w rozwijanym polu.

Siła sprężystości w funkcji wychylenia. Do pewnego wychylenia wykres jest prostą (proporcjonalność), potem się wygina.

Pytanie

Polecenie: Korzystając z wykresu, oceń: (a) czy do $12\text{ cm}$ siła jest proporcjonalna do wychylenia? (b) czy jest proporcjonalna dla $20\text{ cm}$? (c) co to znaczy dla stosowania wzoru $F = -k \cdot x$?

Rozwiązanie

(a) Tak — do $12\text{ cm}$ wykres jest odcinkiem prostej przez początek układu, więc siła rośnie wprost proporcjonalnie do wychylenia (to zakres prawa Hooke'a). (b) Nie — przy $20\text{ cm}$ krzywa wyraźnie się wygina w dół: siła rośnie już wolniej niż wychylenie. (c) Wzór $F = -k \cdot x$ wolno stosować tylko w zakresie prostego odcinka. Powyżej niego sprężyna „nie trzyma proporcji” i wzór daje błędny wynik — dlatego w zadaniach zawsze trzeba sprawdzić, czy nie przekraczamy zakresu sprężystego.

16. Jak zinterpretować wygięcie wykresu w dół powyżej $x = 12\text{ cm}$?

Siła zaczyna maleć, choć wychylenie wciąż rośnie Siła przestaje zależeć od wychylenia i pozostaje stała Sprężyna wraca do długości naturalnej mimo wychylenia Siła rośnie coraz wolniej niż wychylenie, więc proporcja przestaje działać

17. W jakim zakresie wykres uzasadnia stosowanie wzoru $F = -k \cdot x$?

Do $12\text{ cm}$, gdzie wykres jest prostą przez początek układu Do $20\text{ cm}$, bo tam wykres wciąż rośnie Tylko do $4\text{ cm}$, bo dalej prosta zaczyna się wyginać W całym zakresie, bo wzór opisuje każdą sprężynę dokładnie

18. Jak odczytać z wykresu, że przy $x = 20\text{ cm}$ proporcjonalność już nie obowiązuje?

Punkt dla $20\text{ cm}$ leży powyżej przedłużenia prostego odcinka Punkt dla $20\text{ cm}$ leży poniżej przedłużenia prostego odcinka Wykres dla $20\text{ cm}$ wraca do zera, bo siła znika Nachylenie wykresu po $12\text{ cm}$ rośnie, więc siła rośnie szybciej

Quiz wiedzy — Moduł 05

1. Jeżeli sprężynę rozciągniemy dwa razy mocniej, to siła sprężystości: Pozostanie bez zmian, bo siła sprężystości nie zależy od wydłużenia Wzrośnie dwukrotnie (zgodnie z prawem Hooke'a) Zmaleje do zera

2. W którą stronę ZAWSZE skierowana jest siła sprężystości drgającego klocka? Zawsze pionowo w dół, ku środkowi Ziemi, niezależnie od wychylenia Zawsze w stronę największego wychylenia Zawsze w stronę położenia równowagi (dąży do cofnięcia odkształcenia)

3. Klocek na sprężynie przelatuje dokładnie przez położenie równowagi ($x = 0$). Ile wynosi w tej chwili siła sprężystości? $F = 0$ (sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta) Siła sprężystości osiąga wtedy największą możliwą wartość Siła wynosi dokładnie 100 N

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj

W zakresie sprężystym siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia i skierowana przeciwnie do niego.
W układzie drgającym wypadkowa siła przywracająca jest skierowana ku położeniu równowagi: $F_{\text{wyp}} = -k \cdot x$, gdzie $x$ to wychylenie od równowagi.
Długość naturalna i położenie równowagi to nie to samo (w pionie się nie pokrywają).

Uważaj na błąd

Utożsamianie siły sprężystości z siłą wypadkową. Siła sprężystości zależy od odkształcenia względem długości naturalnej; dopiero wypadkowa (z uwzględnieniem ciężaru) jest siłą przywracającą względem równowagi.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dlaczego w pionowej sprężynie z ciężarkiem położenie równowagi nie wypada przy długości naturalnej?

Odpowiedź

Bo ciężar ciężarka już w spoczynku rozciąga sprężynę. Równowaga jest tam, gdzie siła sprężystości równoważy ciężar — czyli niżej niż długość naturalna. Dlatego wychylenie liczymy od tego nowego położenia równowagi.