MODUŁ 06 · BLOK II: CO CIĄGNIE CIAŁO Z POWROTEM

Wahadło: huśtawka, zegar i metronom

PPrezentacja dla nauczyciela

Sprężyna przyciąga siłą sprężystości. Wahadło wraca dzięki sile grawitacji (ciężkości). Wahadła od stuleci fascynowały fizyków, ponieważ przy niezbyt dużych wychyleniach wykazują niezwykłą cechę: ich czas kołysania zależy niemal wyłącznie od długości nici, a nie od masy ciężarka ani od siły pchnięcia!

Czym jest wahadło

Wahadło to ciało o określonej masie zawieszone na lince, nici lub pręcie, mogące swobodnie wykonywać wahania wokół poziomej osi zawieszenia pod wpływem siły ciężkości.

Gdy wahadło wisi nieruchomo pionowo w dół, siła ciężkości jest równoważona przez napięcie nici — to jest położenie równowagi. Po odchyleniu ciężarka w bok składowa siły ciężkości skierowana wzdłuż toru ruchu ściąga go po łuku z powrotem w stronę najniższego położenia. Uwaga: podczas ruchu siły działające na ciężarek nie muszą się równoważyć — w najniższym punkcie ciężarek pędzi, więc napięcie nici jest wtedy większe niż sam ciężar. Równowaga sił dotyczy tylko chwili, gdy wahadło wisi nieruchomo.

1. Co równoważy siłę ciężkości, gdy wahadło wisi nieruchomo pionowo?

Napięcie nici, dlatego wypadkowa siła wynosi zero Siła sprężystości nici, która chce się skrócić Siła odśrodkowa, bo ciężarek krąży wokół osi Nic — ciężar znika, gdy ciało wisi nieruchomo

2. Jak zmienia się napięcie nici, gdy wahadło mija najniższy punkt podczas ruchu?

Jest mniejsze niż ciężar, bo nić się rozluźnia Jest większe niż ciężar, bo ciężarek pędzi po łuku Jest dokładnie równe ciężarowi, tak jak w spoczynku Spada do zera, bo w najniższym punkcie działa tylko ciężar

3. Która siła ściąga odchylony ciężarek z powrotem po łuku?

Napięcie nici skierowane wzdłuż jej długości Siła odśrodkowa odpychająca ciężarek od osi Składowa ciężaru styczna do toru ruchu Opór powietrza hamujący ruch ciężarka

Od czego zależy okres wahadła?

To jedno z najważniejszych odkryć w historii fizyki, przypisywane Galileuszowi, który miał obserwować kołyszący się żyrandol w katedrze w Pizie (to popularna opowieść — historycy spierają się, ile w niej prawdy, ale samo odkrycie izochronizmu wahadła jest bezsporne):

Im dłuższa nić wahadła, tym dłuższy okres drgań ($T$). Długie wahadło kołysze się dostojnie i wolno, a krótkie tyka bardzo szybko.
Masa ciężarka NIE wpływa na okres. Ciężka ołowiana kula i lekka drewniana kulka zawieszone na niciach tej samej długości wykonują wahnięcia w dokładnie takim samym tempie.
Amplituda (dla małych kątów) NIE wpływa na okres. Zjawisko to nazywamy izochronizmem: mocniej pchnięta huśtawka unosi się wyżej i leci szybciej, ale pełen cykl zajmuje jej tyle samo sekund, co przy lekkim pchnięciu!

Ścisła zależność matematyczna (dla zainteresowanych):
Okres wahadła matematycznego zależy od pierwiastka z długości nici: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$ Oznacza to, że aby wydłużyć okres 2-krotnie (czyli by wahadło kołysało się dwa razy wolniej), długość nici $L$ trzeba zwiększyć aż 4-krotnie ($2^2 = 4$). Aby okres wzrósł 3-krotnie, nić musi być aż 9 razy dłuższa! Na sprawdzianie wystarczy zależność jakościowa z listy powyżej (dłuższa nić — dłuższy okres).
Kiedy ten wzór obowiązuje: dla małych wychyleń, przy pomijalnym oporze powietrza i w zwykłych warunkach grawitacyjnych (stałe $g$). Przy dużych kątach albo silnym tłumieniu okres może się różnić od tego wyniku.

4. Wydłużono nić wahadła czterokrotnie. Jak zmieni się okres drgań?

Wzrośnie czterokrotnie, bo okres jest proporcjonalny do długości Wzrośnie szesnastokrotnie, bo liczy się kwadrat długości Nie zmieni się, bo okres zależy tylko od masy ciężarka Wzrośnie dwukrotnie, bo okres zależy od pierwiastka z długości

5. Dwie kulki — ołowiana i drewniana — wiszą na niciach tej samej długości. Co można powiedzieć o ich okresach?

Są takie same, bo masa nie wpływa na okres wahadła Ołowiana ma dłuższy okres, bo jest cięższa Drewniana ma krótszy okres, bo lżejsza kulka szybciej wraca do równowagi Okresy zależą od amplitudy, więc bez pchnięcia nie da się ich porównać

6. Aby okres wahadła był trzy razy dłuższy, długość nici trzeba zwiększyć...

trzy razy, bo okres rośnie wprost proporcjonalnie do długości dziewięć razy, bo okres rośnie jak pierwiastek z długości półtora razy, bo pierwiastek z trzech jest mniejszy od trzech dowolnie, bo okres nie zależy od długości przy małych kątach

Wahadła, które spotkasz w życiu

Huśtawka na placu zabaw — klasyczne wahadło: huśtawka na długich łańcuchach kołysze się znacznie wolniej niż huśtawka malucha na krótkich linkach.
Zegar wahadłowy (stojący lub ścienny z kukułką) — wahadło o długości około 1 metra ma okres około $T = 2\text{ s}$ (każde półwahnięcie w jedną stronę trwa około 1 sekundę; to przybliżenie zależne od lokalnego przyspieszenia ziemskiego). Zegar zlicza te wahnięcia, przesuwając wskazówki. Aby wyregulować spóźniający się zegar, wkręca się śrubę na dole wahadła, podnosząc ciężarek (skrócenie wahadła przyspiesza chód zegara).
Metronom muzyczny — odwrócone wahadło z przesuwnym ciężarkiem. Przesunięcie ciężarka w górę oddala masę od osi obrotu, wydłużając okres (metronom tyka wolniej). Przesunięcie ciężarka w dół sprawia, że metronom tyka szybciej.
Pion murarski (pionica) — ciężarek na sznurku używany na budowie: po ustaniu wahań sznurek wskazuje idealny pion wyznaczony przez siłę grawitacji.
Wahadło Foucaulta — potężna, kilkudziesięciokilogramowa kula na kilkudziesięciometrowej linie (np. w Centrum Nauki Kopernik), której płaszczyzna wahań powoli obraca się, dowodząc obrotu Ziemi wokół własnej osi.

7. Zegar wahadłowy późni się. Co zrobić z ciężarkiem na dole wahadła?

Opuścić go, żeby wydłużyć wahadło i przyspieszyć zegar Dodać obciążnik, bo cięższe wahadło chodzi szybciej Podnieść go, żeby skrócić wahadło i skrócić okres Przesunąć zegar wyżej, bo tam grawitacja jest mniejsza

8. W którą stronę przesunąć ciężarek metronomu, aby tykał szybciej?

W górę, bo wtedy masa jest dalej od osi obrotu W górę, bo zwiększa to amplitudę wahnięć ramienia W bok, bo zmiana położenia w poziomie skraca okres W dół, bo masa zbliża się do osi i okres maleje

9. Czego dowodzi powolny obrót płaszczyzny wahań wahadła Foucaulta?

Obrót Ziemi wokół własnej osi, widoczny jako skręt płaszczyzny Zmian przyspieszenia ziemskiego w ciągu doby Niezmienności okresu wahadła przy dużych amplitudach Istnienia siły odśrodkowej w układzie nieruchomym

Rysunek: dwie huśtawki, dwa okresy

Dwie huśtawki o różnej długości zawieszenia. Amplituda kątowa jest taka sama, ale dłuższa huśtawka potrzebuje znacznie więcej czasu na wykonanie jednego pełnego cyklu.

Zależność okresu wahadła od długości: 4-krotne wydłużenie nici ($L_2 = 4 L_1$) skutkuje dokładnie 2-krotnym wydłużeniem okresu drgań ($T_2 = 2 T_1$). Rysunek poglądowy, nie w skali.

10. Krótkie wahadło z rysunku ma $T_1 = 1{,}0\text{ s}$, a długie $T_2 = 2{,}0\text{ s}$. Jaka jest częstotliwość długiego wahadła?

$2{,}0\text{ Hz}$ $0{,}5\text{ Hz}$ $1{,}0\text{ Hz}$ $0{,}25\text{ Hz}$

11. Oba wahadła z rysunku mają tę samą amplitudę kątową, ale długie jest cztery razy dłuższe. Co wynika z tego dla okresów?

Okresy są równe, bo decyduje jednakowa amplituda kątowa Długie ma okres cztery razy większy, wprost proporcjonalnie do długości Długie ma okres dwa razy większy, bo $T \sim \sqrt{L}$ Krótkie ma okres dwa razy większy, bo szybciej traci energię

12. Krótkie wahadło ma nić $25\text{ cm}$. Jak długą nić musi mieć wahadło o dwa razy dłuższym okresie?

$50\text{ cm}$, bo długość i okres rosną tak samo $200\text{ cm}$, bo okres rośnie z kwadratem długości $12{,}5\text{ cm}$, bo dłuższy okres wymaga krótszej nici $100\text{ cm}$, bo podwojenie okresu wymaga czterokrotnej długości

Animacja: porównaj dwa wahadła

Zmieniaj suwakami długość nici obu wahadeł niezależnie. Kliknij Puść oba i zobacz, jak wahadło na krótszej nici wyprzedza dłuższe, wykonując znacznie więcej pełnych cykli w tym samym czasie.

Długość 1 (L₁): 0,35 m Długość 2 (L₂): 1,40 m

Doświadczenie w domu: Weź sznurek o długości 25 cm i ciężarek (np. nakrętkę lub jabłko). Zmierz stoperem czas 10 drgań — zajmie to około 10 sekund ($T \approx 1,0\text{ s}$). Następnie wydłuż sznurek do 100 cm (4 razy dłuższy) i powtórz pomiar: 10 drgań zajmie około 20 sekund ($T \approx 2,0\text{ s}$). Przekonaj się na własne oczy, że 4 razy dłuższy sznur podwaja okres!

13. Zmieniasz suwakiem tylko długość pierwszego wahadła, wydłużając je. Co dzieje się z liczbą jego cykli w tym samym czasie?

Maleje, bo dłuższe wahadło ma dłuższy okres Rośnie, bo dłuższa nić daje szybsze wahania Nie zmienia się, bo liczba cykli zależy od amplitudy Najpierw rośnie, a po przekroczeniu $1\text{ m}$ maleje

14. Po kliknięciu „Puść oba” oba wahadła startują z tego samego wychylenia. Które wykona więcej pełnych cykli?

Dłuższe, bo ma większą amplitudę początkową Krótsze, bo ma krótszy okres i szybciej domyka cykle Oba tyle samo, bo długość nie zmienia liczby cykli Dłuższe, bo jego okres jest krótszy przy tej samej amplitudzie

15. W doświadczeniu 10 drgań wahadła o nici $25\text{ cm}$ trwa około $10\text{ s}$. Ile potrwa 10 drgań po wydłużeniu nici do $100\text{ cm}$?

Około $5\text{ s}$, bo dłuższa nić drga szybciej Około $40\text{ s}$, bo okres rośnie czterokrotnie Około $20\text{ s}$, bo okres rośnie dwukrotnie Około $10\text{ s}$, bo okres nie zależy od długości

Przykład na liczbach

Przykład 1 — zegar z kukułką

Zadanie: Wahadło w starym zegarze ma długość $L = 1\text{ m}$ i okres drgań $T = 2\text{ s}$. Ile wahnięć wykona ten zegar w ciągu 1 minuty? Ile wahnięć w tym samym czasie wykonałoby wahadło o długości 4 razy większej ($L = 4\text{ m}$)?

Rozwiązanie krok po kroku:

Czas $t = 1\text{ minuta} = 60\text{ sekund}$.
Liczba wahnięć pierwszego zegara: $n_1 = 60\text{ s} \div 2\text{ s} = 30$ pełnych wahnięć.
Gdy wydłużymy wahadło 4-krotnie, jego okres wzrośnie $\sqrt{4} = 2$ razy, czyli wyniesie: $T_2 = 2 \times 2\text{ s} = 4\text{ s}$.
Liczba wahnięć dłuższego wahadła w ciągu 1 minuty: $n_2 = 60\text{ s} \div 4\text{ s} = 15$ pełnych wahnięć.

Odpowiedź: Pierwsze wahadło wykona 30 wahnięć, a 4 razy dłuższe wykona dokładnie 15 wahnięć.

16. Wahadło o $L = 1\text{ m}$ ma okres $2\text{ s}$. Ile pełnych wahnięć wykona w ciągu minuty?

15, bo minuta to 15 okresów po 4 s 60, bo jedno wahnięcie trwa sekundę 120, bo w każdej sekundzie mieszczą się dwa wahnięcia 30, bo w minucie mieści się 30 okresów po 2 s

17. Wahadło wydłużono z $1\text{ m}$ do $4\text{ m}$. Ile wahnięć wykona w ciągu minuty?

15, bo jego okres wzrósł do $4\text{ s}$ 30, bo wydłużenie nici nie zmienia okresu 7,5, bo okres wzrósł czterokrotnie 60, bo dłuższe wahadło wykonuje więcej wahnięć

18. Ile wahnięć w ciągu minuty wykona wahadło o nici $0{,}25\text{ m}$, którego okres wynosi $1\text{ s}$?

30, bo dzielimy 60 s przez 2 s, tak jak dla metrowego wahadła 60, bo w minucie mieści się 60 okresów po 1 s 15, bo krótkie wahadło kołysze się wolniej niż długie 120, bo w każdej sekundzie mieszczą się dwa pełne okresy

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Na placu zabaw zawieszono obok siebie dwie huśtawki: jedna ma łańcuchy o długości 1,5 m, a druga o długości 3,0 m. Na obu siadają dzieci o jednakowej wadze. Która huśtawka będzie kołysać się wolniej (będzie miała dłuższy okres drgań)?

Wskazówka 1 — długość nici a okres

Im dłuższa jest nić wahadła, tym dłuższy ma okres drgań.

Wskazówka 2 — co z masą dziecka?

Masa ciała na huśtawce nie wpływa na okres drgań wahadła. Decyduje wyłącznie długość zawieszenia.

Huśtawka na krótszych łańcuchach (1,5 m) Huśtawka na dłuższych łańcuchach (3,0 m) Obie huśtają się dokładnie z takim samym okresem

Zadanie 2. Dziecko na huśtawce pchnięto najpierw lekko, a potem z całej siły. Jak zmienił się okres drgań huśtawki (dla standardowych kątów wychylenia)?

Zakładamy niezbyt duże wychylenia; dla dużych wychyleń okres może się nieco zmienić.

Wskazówka 1 — cecha izochronizmu

Przypomnij sobie obserwację Galileusza: czas jednego pełnego wahnięcia nie zależy od amplitudy pchnięcia.

Wskazówka 2 — dlaczego tak się dzieje?

Przy mocniejszym pchnięciu huśtawka unosi się wyżej, więc w drodze w dół osiąga większą prędkość. Większa prędkość kompensuje dłuższą drogę, dając ten sam czas powrotu.

Okres skrócił się o połowę Okres drgań drastycznie się wydłużył, bo większa amplituda to dłuższa droga Okres pozostał praktycznie taki sam — zmieniła się tylko amplituda

Zadanie 3. Muzyk chce, aby mechaniczny metronom wyznaczał szybsze tempo (mniejszy okres między uderzeniami). W którą stronę powinien przesunąć ciężarek na ramieniu metronomu?

Wskazówka 1 — budowa metronomu

Ramię metronomu obraca się wokół dolnej osi. Ciężarek znajduje się powyżej osi obrotu.

Wskazówka 2 — analogia do długości wahadła

Przesunięcie ciężarka w dół przybliża masę do osi obrotu, co odpowiada skróceniu efektywnego wahadła. Krótsze wahadło drga szybciej.

W dół (bliżej osi obrotu) W górę (dalej od osi obrotu) Położenie ciężarka w metronomie nie ma znaczenia

Zadanie transferowe — zaplanuj uczciwe doświadczenie

Nie liczy się do paska postępu. Odpowiedź znajdziesz w rozwijanym polu.

Co musi pozostać bez zmian?

Polecenie: Koleżanka chce sprawdzić, czy okres wahadła zależy od masy ciężarka. Bierze dwa wahadła o różnej długości nici i zawiesza na nich kulki o różnej masie. Mierzy okresy i wnioskuje: „okres zależy od masy”. Co jest nie tak w jej doświadczeniu i jak je poprawić?

Rozwiązanie

Zmieniła dwie rzeczy naraz (długość i masę), więc nie wiadomo, która z nich wpłynęła na wynik. To nie jest doświadczenie kontrolowane. Poprawnie: wziąć nici o tej samej długości i zmieniać tylko masę kulek — a potem porównać okresy. Wtedy każda różnica w wyniku pochodzi od masy. (Wniosek z takiego poprawnego doświadczenia: masa nie zmienia okresu.)

19. Koleżanka bada wpływ masy na okres, ale bierze wahadła o różnej długości i różnej masie. Jaki jest błąd?

Za mało wahnięć, żeby wynik był wiarygodny Powinna mierzyć amplitudę zamiast czasu wahnięć Zmieniła dwie wielkości naraz, więc nie wiadomo, co wpłynęło na wynik Użyła zbyt lekkich kulek, przez co opór powietrza dominuje

20. Jak poprawić to doświadczenie, żeby sprawdzić wpływ masy?

Zmieniać długość nici, a masę zostawić bez zmian Zmieniać obie wielkości, ale mierzyć po kilka prób Zawieszać kulki na różnych niciach i uśrednić wyniki Zachować tę samą długość nici i zmieniać tylko masę kulek

21. Jaki wynik daje poprawnie przeprowadzone doświadczenie, w którym zmieniamy tylko masę kulek?

Okres pozostaje taki sam, więc masa nie wpływa na okres Im cięższa kulka, tym dłuższy okres, bo większa bezwładność Im cięższa kulka, tym krótszy okres, bo szybciej wraca Okres zależy od masy tylko dla nici dłuższych niż metr

Quiz wiedzy — Moduł 06

1. Jaka siła pełni rolę siły zwracającej w wahadle grawitacyjnym? Składowa siły ciężkości (grawitacji) skierowana wzdłuż łuku toru do środka Siła tarcia powietrza, która stopniowo wygasza drgania wahadła i w końcu zatrzymuje je Siła odśrodkowa

2. Jak zmieni się okres drgań wahadła, gdy wydłużymy jego nić 4-krotnie? Skróci się 4-krotnie, bo okres zależy od kwadratu długości, a nie od jej pierwiastka Pozostanie bez zmian Wydłuży się 2-krotnie (ponieważ okres zależy od pierwiastka z długości)

3. Na czym polega cecha izochronizmu wahadła (dla niewielkich kątów)?

Przypomnienie: izochronizm to przybliżenie dla małych wychyleń.

Okres drgań nie zależy od amplitudy — mocniej i słabiej pchnięte wahadło drga w tym samym czasie Wahadło porusza się ze stałą prędkością na całej trasie, niezależnie od wielkości wychylenia Wahadło nigdy nie traci energii

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj

Dłuższa nić — dłuższy okres (wahadło kołysze się wolniej).
Masa ciężarka nie zmienia okresu.
Amplituda nie zmienia okresu — ale to przybliżenie dla małych wychyleń.

Uważaj na błąd

Mylenie długości z masą albo sądzenie, że mocniejsze pchnięcie przyspiesza wahadło. Mocniejsze pchnięcie zwiększa amplitudę, ale okres zostaje (dla małych wychyleń) ten sam.

Sprawdź, czy rozumiesz

Co musi pozostać bez zmian, żeby uczciwie sprawdzić, czy okres zależy od masy ciężarka?

Odpowiedź

Wszystko poza masą: ta sama długość nici, to samo miejsce i warunki, podobne (małe) wychylenie, ten sam sposób pomiaru. Wtedy każda różnica w wyniku pochodzi od masy — to doświadczenie kontrolowane.