MODUŁ 12 · SPRAWDZIAN WIEDZY III · PODSUMOWANIE CZĘŚCI I

Sprawdzian III: tłumienie, rezonans i synteza ruchu drgającego

PPrezentacja dla nauczyciela

Ten moduł to wielkie podsumowanie pierwszej części kursu — ruchu drgającego. Zanim przejdziemy do fal mechanicznych, zbierzemy w jedną całość wszystkie prawa rządzące drganiem w jednym punkcie: od położenia równowagi, amplitudy i częstotliwości, przez sprężynę i wahadło, aż po tłumienie, rezonans i zasadę zachowania energii mechanicznej. Poniższe zestawienie i pytania sprawdzające pozwolą Ci upewnić się, że materiał masz opanowany na najwyższą ocenę.

Trzy poziomy zadań: A (rozumienie) — Część 2; B (zastosowanie) — Część 1; C (transfer) — Część 1b (zadanie łączące pomiar, wykres i energię).
Co decyduje o zaliczeniu: podstawowy wynik tego sprawdzianu opierają zadania z poziomów A i B — rozpoznawanie wielkości, obliczanie okresu, częstotliwości i energii. Zadania z poziomu C oraz treści oznaczone „Dla zainteresowanych” (faza, zapis $F = -k \cdot x$, wzór $T = 2\pi\sqrt{L/g}$) sprawdzają rozszerzenie i nie decydują o podstawowym zaliczeniu kursu.
Co obejmuje ten zestaw: rozumienie pojęć, obliczenia z jednostkami, interpretację wykresu i danych pomiarowych, samodzielny dobór metody oraz dobór właściwego modelu fizycznego do nowej sytuacji.

Wielkie podsumowanie: pojęcia, wzory i przykłady

Wymagane i dla zainteresowanych: na sprawdzian w szkole wystarczy to, co oznaczono „Wymagane” (rozpoznawanie drgań, amplituda, okres, częstotliwość, pomiar, dźwięk, tłumienie i energia — jakościowo). Pozycje „Dla zainteresowanych” (faza i jej liczenie, wzory $F = -k \cdot x$ oraz $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, formalny warunek rezonansu) są dla chętnych i nie muszą pojawić się na klasówce.

Moduł i temat	Definicje i wzory fizyczne	Wielkości i jednostki	Zastosowanie w życiu
01. Ruch drgający	Ruch tam i z powrotem wokół położenia równowagi. Gdy cykle powtarzają się identycznie — ruch okresowy (model idealny); gdy opory ruchu zmniejszają amplitudę — drgania tłumione.	Tor ruchu, cykl drgań	Drgająca linijka na krawędzi stołu, szarpnięta struna gitary, huśtawka.
02. Amplituda, okres i częstotliwość	Amplituda $A$ — maksymalne wychylenie z położenia równowagi. Okres $T$ — czas 1 pełnego drgania: $T = t / n$. Częstotliwość $f$ — liczba drgań na sekundę: $f = 1 / T$.	$A$ [m, cm] $T$ [s] $f$ [Hz = 1/s]	Pomiary stoperem czasu 10 wahnięć, dobór amplitudy drgań głośnika.
03. Faza i wykresy drgań	Faza określa stan drgającego ciała w danej chwili. Dwa drgania mogą być zgodne w fazie (wspólne maksima) lub w przeciwfazie (przesunięte o pół okresu).	$\Delta \varphi$, przesunięcie $\frac{T}{2}$	Synchronizacja tłoków w silniku spalinowym, redukcja hałasu w słuchawkach ANC.
05. Sprężyna i siła sprężystości	Siła sprężystości jest siłą zwracającą — jest wprost proporcjonalna do wychylenia $x$ i zwrócona w stronę równowagi: $F = -k \cdot x$.	$F$ [N] $k$ [N/m] $x$ [m]	Zawieszenie samochodu, amortyzatory rowerowe, siłomierz sprężynowy, trampolina.
06. Wahadło matematyczne	Dla małych kątów okres zależy wyłącznie od długości liny $L$ oraz grawitacji $g$: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Nie zależy od masy ciężarka ani amplitudy (izochronizm).	$L$ [m] $g \approx 9{,}81\text{ m/s}^2$	Zegar wahadłowy, metronom muzyczny, wahadło Foucaulta dowodzące obrotu Ziemi.
07. Dźwięk jako fala akustyczna	Podłużna fala zagęszczeń i rozrzedzeń cząsteczek powietrza wywołana drganiami źródła. Wysokość zależy od częstotliwości $f$, a głośność od amplitudy $A$. Zakres słyszalny: 20 Hz – 20 000 Hz.	$f$ [Hz] prędkość $v \approx 340\text{ m/s}$	Instrumenty muzyczne, ludzki aparat mowy, ultradźwięki w USG i echolokacji nietoperzy.
09. Drgania tłumione	Siły oporów ruchu (tarcie, opór powietrza) wykonują pracę ujemną, rozpraszając energię mechaniczną w ciepło. Amplituda maleje w czasie, natomiast okres $T$ pozostaje w przybliżeniu stały (przy słabym tłumieniu). To rzeczywisty ruch drgający — w odróżnieniu od idealnego ruchu okresowego z modułu 01.	Obwiednia amplitudy $A(t)$	Amortyzatory olejowe w pojeździe, domykacze hydrauliczne w meblach, wygasanie echa w sali.
10. Rezonans mechaniczny	Zjawisko maksymalnego wzrostu amplitudy drgań wymuszonych, gdy częstotliwość zewnętrznej siły wymuszającej zrównuje się z częstotliwością drgań własnych układu: $f_{\text{wym}} \approx f_0$.	$f_{\text{wym}} = f_0$ $T_{\text{wym}} = T_0$	Rozhuśtywanie huśtawki w rytmie, pudło rezonansowe gitary, marsz krokiem swobodnym na moście.
11. Zasada zachowania energii	W układzie drgającym bez strat całkowita energia mechaniczna jest stała: $E_m = E_k + E_p = \text{const}$. Przyjmując poziom zerowy energii potencjalnej w najniższym położeniu: w skrajnych punktach $E_k = 0$, $E_p = \text{max}$, a w najniższym położeniu $E_p = 0$, $E_k = \text{max}$. (Zero energii potencjalnej wynika z przyjętego poziomu odniesienia, a nie z samego faktu bycia w równowadze.)	$E_k = \frac{m v^2}{2}$ [J] $E_p = m g h$ [J]	Wahadło zegarowe, skoczek na bungee, huśtawka, rampa skateboardowa.

Kompletna struktura kursu: od opisu ruchu, przez siły i modele fizyczne, po zjawiska energetyczne i rezonansowe.

Część 1 — zadania problemowe ze wskazówkami (poziom B: zastosowanie)

Zadanie 1. Kolega twierdzi: „Jeśli pchniemy huśtawkę dwa razy mocniej, to będzie się huśtać dwa razy szybciej (okres skróci się o połowę)”. Czy ma rację?

Wskazówka 1 — od czego zależy okres wahadła?

Zgodnie ze wzorem na okres wahadła $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, okres zależy wyłącznie od długości $L$ oraz grawitacji $g$.

Wskazówka 2 — co zmienia mocniejsze pchnięcie?

Mocniejsze pchnięcie dostarcza większej energii kinetycznej, co przekłada się na większą amplitudę $A$ i większą prędkość maksymalną $v_{\text{max}}$.

Nie — mocniejsze pchnięcie zwiększa amplitudę i prędkość maksymalną, ale okres wahadła zależy od jego długości i pozostaje stały Tak — mocniejsze pchnięcie powoduje dwukrotne skrócenie okresu wahnięć, więc wahadło waha się szybciej i znacznie mocniej Tak — większa siła pchnięcia nadaje większe przyspieszenie początkowe, co zawsze skraca czas powrotu do równowagi

Zadanie 2. Dzwon kościelny po uderzeniu sercem milknie stopniowo przez kilkadziesiąt sekund. Jak zmieniają się parametry jego drgań (amplituda, częstotliwość, energia całkowita)?

Wskazówka 1 — głośność a wysokość dźwięku

Dzwon brzmi coraz ciszej (maleje natężenie dźwięku), ale wydaje cały czas ten sam ton (tę samą nutę).

Wskazówka 2 — przemiany energii

Energia drgań dzwonu jest emitowana jako fala akustyczna oraz pochłaniana przez tarcie wewnętrzne w brązie (zamiana w ciepło).

Amplituda i całkowita energia mechaniczna maleją w czasie, natomiast częstotliwość i okres drgań pozostają stałe Częstotliwość maleje stopniowo do zera, a amplituda pozostaje maksymalna i nie zmienia się przez cały czas Amplituda rośnie, a okres podwaja się co sekundę

Zadanie 3. W którym punkcie toru drgający na sprężynie ciężarek posiada największe przyspieszenie i działa na niego największa siła zwracająca?

Wskazówka 1 — prawo Hooke'a

Zgodnie z prawem Hooke'a wartość siły sprężystości wynosi $F = k \cdot |x|$.

Wskazówka 2 — II zasada dynamiki Newtona

Przyspieszenie $a = F / m$. Im większa siła sprężystości, tym większe przyspieszenie.

W położeniu równowagi (gdzie prędkość jest największa), bo tam ciało zatrzymuje się Dokładnie w jednej czwartej amplitudy W punktach maksymalnego wychylenia (w skrajnych punktach zwrotnych $x = \pm A$)

Część 1b — zadanie integrujące (poziom C: pomiar, wykres i energia)

Nie liczy się do paska postępu. Połącz w nim trzy umiejętności z różnych modułów.

Zadanie integrujące — huśtawka od pomiaru po energię

Polecenie: Zmierzono, że huśtawka wykonuje 10 pełnych wahnięć w czasie $20\text{ s}$. Czujnik narysował wykres: szczyty co $2\text{ s}$, najwyższy punkt $4\text{ cm}$ nad środkiem. (a) Wyznacz okres $T$, częstotliwość $f$ i amplitudę $A$. (b) Opisz słownie, jak zmieniają się energie huśtawki między szczytem a dołem wykresu. (c) Po minucie amplituda spadła do $3\text{ cm}$, a szczyty nadal wypadają co $2\text{ s}$. Jak nazywa się to zjawisko i gdzie podziała się brakująca energia?

Rozwiązanie

(a) $T = 20\text{ s} \div 10 = 2\text{ s}$, $f = 1/T = 0{,}5\text{ Hz}$, $A = 4\text{ cm}$ (od środka do szczytu). Szczyty co $2\text{ s}$ potwierdzają okres. (b) Na szczycie cała energia to energia pozycji (huśtawka stoi), w dole cała to energia ruchu (leci najszybciej) — energia krąży między postacami, suma stała (model bez oporów). (c) To tłumienie: amplituda maleje, okres ten sam; brakująca energia zamieniła się głównie w ciepło (powietrze, tarcie) i trochę w dźwięk.

Zadanie transferowe — wybierz właściwy model

Polecenie: Masz trzy układy: (1) huśtawkę na placu zabaw, (2) ciężarek wiszący na pionowej sprężynie, (3) napiętą strunę gitary. Dla każdego napisz: co jest siłą przywracającą, od czego zależy okres — i której zależności NIE wolno przenieść na ten układ bez dodatkowych założeń.

Rozwiązanie

(1) Huśtawka. Siłą przywracającą jest składowa ciężkości wzdłuż toru. Okres zależy od długości zawieszenia (dłuższa — wolniej); masa i amplituda nie zmieniają okresu przy małych wychyleniach. Nie wolno tu stosować wzoru $F = -k \cdot x$ ani twierdzić, że okres nie zależy od grawitacji — na Księżycu huśtawka kołysałaby się inaczej.

Rozwiązanie — układy 2 i 3

(2) Pionowa sprężyna. Siłą przywracającą jest wypadkowa siły sprężystości i ciężaru, liczona od położenia równowagi (nie od długości naturalnej!). Okres zależy od masy i sztywności, a nie zależy od grawitacji. Nie wolno utożsamiać położenia równowagi z długością naturalną sprężyny.

Rozwiązanie — układ 3

(3) Struna. Siłą przywracającą jest naciąg struny. Wysokość dźwięku zależy od częstotliwości (krótsza i mocniej napięta — wyżej), głośność od amplitudy. Nie wolno przenosić wzoru na okres wahadła $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ani twierdzić, że masa struny decyduje o wysokości dźwięku w prosty sposób — liczy się naciąg i długość.

Wspólny wniosek

Wszystkie trzy układy drgają, ale siła przywracająca i wzór na okres są różne. Każdy model ma swoje założenia (małe wychylenia, zakres sprężysty, brak oporów). Przenoszenie wzoru z jednego układu na drugi bez sprawdzenia założeń prowadzi do błędów.

Część 2 — wielki przekrojowy test wiedzy (poziom A: rozumienie)

Podsumowanie modułu

Zapamiętaj

Cały kurs: drgania, amplituda, okres, częstotliwość, sprężyna, wahadło, dźwięk, tłumienie, rezonans, energia.
Do każdego układu dobieraj właściwy model — siła przywracająca i wzór na okres są różne.
Materiał obowiązkowy (A i B) i rozszerzenia („Dla zainteresowanych”) to dwie osobne rzeczy.

Uważaj na błąd

Mylenie okresu z częstotliwością przy przepisywaniu wyniku. $T = 0{,}5\text{ s}$ to okres, a częstotliwość wynosi wtedy $f = 2\text{ Hz}$ — nigdy nie przepisuj tej samej liczby jako obu wielkości.

Sprawdź, czy rozumiesz

Jak dobrać właściwy model do nowego układu?

Odpowiedź

Najpierw ustal, co jest siłą przywracającą (sprężystość, ciężkość, naciąg), a potem sprawdź założenia (małe wychylenia, zakres sprężysty, brak oporów). Dopiero wtedy wybierz wzór — i nie przenoś go z innego układu bez sprawdzenia tych założeń.

Co dalej? Z drgań rodzi się fala!

Wiesz już, jak drga pojedyncze wahadło, ciężarek na sprężynie czy struna. Ale w przyrodzie ciała nie drgają w próżni — drgające ciało popycha sąsiadujące cząsteczki, a te kolejne. Drganie zaczyna wędrować w przestrzeni. W Części II przekonamy się, jak powstaje fala na wodzie, fala na sznurze, dźwięk w powietrzu i jak obliczać ich długość oraz prędkość.