Optyka — kurs podstawowy › Blok III: Układy optyczne, oko i barwy
MODUŁ 12 · SPRAWDZIAN WIEDZY III (PUNKT KONTROLNY)
Sprawdzian III: oko, przyrządy optyczne i barwy (moduły 09–11)
PPrezentacja dla nauczyciela
Gratulacje! Za Tobą trzeci, niezwykle fascynujący blok optyki, w którym połączyliśmy prawa geometryczne ze światem biologii, technologii i przyrody. Wiesz już, jak zbudowane jest ludzkie oko i na czym polega akomodacja, jak dobrać okulary dla krótko- i dalekowidza, jak lupa, mikroskop i luneta powiększają kąt widzenia oraz dlaczego pryzmat rozszczepia światło białe na barwy tęczy. Pora na wszechstronny sprawdzian wiedzy przed przejściem do falowej natury światła w Bloku IV!
Zakres sprawdzianu wiedzy III
- Moduł 09: Budowa oka z perspektywy optyki (rogówka, soczewka, tęczówka, siatkówka, plamka żółta i ślepa), obraz na siatkówce (rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony), akomodacja soczewki oka, odległość dobrego widzenia ($d = 25\text{ cm}$), krótkowzroczność (soczewki rozpraszające „minusy”) oraz dalekowzroczność i prezbiopia (soczewki skupiające „plusy”).
- Moduł 10: Kąt widzenia $\alpha$ i zdolność rozdzielcza oka, lupa ($x < f$, powiększenie kątowe $\gamma = d/f$), mikroskop optyczny (obiektyw + okular, powiększenie całkowite $p = p_{\text{ob}} \cdot p_{\text{ok}}$), luneta astronomiczna Keplera ($\gamma = F_{\text{ob}} / f_{\text{ok}}$), lornetka z pryzmatami Porro oraz porównanie aparatu fotograficznego z okiem.
- Moduł 11: Doświadczenie Newtona z pryzmatem, widmo ciągłe światła białego, zjawisko dyspersji (zależność prędkości $v$ i współczynnika $n$ od długości fali $\lambda$), mechanizm tęczy pierwotnej i wtórnej w kroplach deszczu ($42^\circ$ dla czerwieni, $40^\circ$ dla fioletu), barwy ciał nieświecących (selektywna absorpcja i odbicie), filtry optyczne oraz synteza addytywna RGB vs subtraktywna CMYK.
Synteza Bloku III — pojęcia, wzory i reguły
| Zagadnienie / Przyrząd | Kluczowy wzór | Cechy obrazu | Zasada fizyczna / Działanie |
|---|---|---|---|
| Oko ludzkie | $Z_{\text{oka}} \approx +60\text{ D}$ $d = 25\text{ cm}$ |
Rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony (na siatkówce) | Akomodacja: zmiana krzywizny soczewki przez mięsień rzęskowy. W dali ($x \to \infty$) soczewka płaska (odpoczynek); z bliska soczewka wypukła. |
| Krótkowzroczność (miopia) | $Z_{\text{ok}} = \frac{1}{-r_{\text{dali}}} < 0$ | Ognisko w dali leży PRZED siatkówką | Gałka oczna za długa. Korekcja: soczewka rozpraszająca („minus”, $Z < 0$) rozsuwa promienie na siatkówkę. |
| Dalekowzroczność (hipermetropia) | $Z_{\text{ok}} = \frac{1}{d} - \frac{1}{y_{\text{bl}}} > 0$ | Ognisko z bliska leży ZA siatkówką | Gałka oczna za krótka. Korekcja: soczewka skupiająca („plus”, $Z > 0$) dodaje brakującą moc skupiającą. |
| Lupa | $\gamma = \frac{d}{f} = \frac{0{,}25\text{ m}}{f}$ | Pozorny, prosty, powiększony | Przedmiot leży między ogniskiem a soczewką ($x < f$). Zwiększa kąt widzenia $\alpha \to \beta$. |
| Mikroskop optyczny | $p = p_{\text{ob}} \cdot p_{\text{ok}}$ | Pozorny, odwrócony, bardzo powiększony | Układ 2 soczewek: krótkoogniskowy obiektyw tworzy obraz pośredni rzeczywisty, powiększony i odwrócony; okular działa jak lupa. |
| Luneta Keplera (teleskop) | $\gamma = \frac{F_{\text{ob}}}{f_{\text{ok}}}$ | Pozorny, odwrócony, powiększony kątowo | Długoogniskowy obiektyw skupia promienie gwiazd w ognisku; krótkoogniskowy okular rozszerza kąt wyjścia $\beta$. |
| Dyspersja w pryzmacie | $n(\lambda) = \frac{c}{v(\lambda)}$ | Widmo ciągłe: Czerwony → Fioletowy | Światło czerwone ma największą prędkość w szkle i załamuje się najsłabiej; fioletowe najmniejszą i załamuje się najsilniej. |
| Tęcza na niebie | Kąt czerwieni: $\approx 42^\circ$ Kąt fioletu: $\approx 40^\circ$ |
Czerwień na zewnątrz (na górze łuku) | Załamanie z dyspersją na wejściu do kropli deszczu → wewnętrzne odbicie → ponowne załamanie na wyjściu ku oku obserwatora. |
| Barwy ciał i filtry | Światło odbite = Światło padające − Światło pochłonięte | Barwa zależy od widma światła padającego | Ciało odbija tylko wybrane barwy, a resztę pochłania. Np. czerwone jabłko w zielonym świetle jest czarne. |
Zadania sprawdzające i obliczeniowe
Zadanie 1 (Problemowo-obliczeniowe): Wady wzroku i dobór okularów
Dwoje pacjentów zgłosiło się do gabinetu okulistycznego:
- Pacjent A: Bez okularów widzi ostro przedmioty oddalone maksymalnie o $r_{\text{dali}} = 40\text{ cm} = 0{,}4\text{ m}$. Zdiagnozuj wadę wzroku pacjenta A, wskaż, gdzie skupiają się promienie z odległości i oblicz zdolność skupiającą soczewek okularowych do dali.
- Pacjent B: Może ostro czytać tekst dopiero wtedy, gdy odsunie książkę na odległość co najmniej $y_{\text{bl}} = 80\text{ cm} = 0{,}8\text{ m}$. Zdiagnozuj wadę pacjenta B i oblicz zdolność skupiającą okularów, które pozwolą mu wygodnie czytać z odległości dobrego widzenia $d = 25\text{ cm} = 0{,}25\text{ m}$.
Pokaż pełne rozwiązanie krok po kroku
Część a — Pacjent A:
Wada wzroku to krótkowzroczność (miopia). Gałka oczna pacjenta jest zbyt długa lub jego soczewka skupia zbyt mocno, w wyniku czego równoległe promienie z daleka skupiają się PRZED siatkówką.
Soczewka okularowa musi wytworzyć pozorny obraz obiektu z nieskończoności ($x \to \infty$) w punkcie dali pacjenta ($y = -0{,}4\text{ m}$):
$$Z = \frac{1}{\infty} + \frac{1}{-0{,}4\text{ m}} = 0 - \frac{1}{0{,}4} = -2{,}5\text{ D}$$Pacjent A potrzebuje soczewek rozpraszających o mocy $-2{,}5\text{ dioptrii}$ (tzw. „minusów”).
Część b — Pacjent B:
Wada wzroku to dalekowzroczność (nadwzroczność / prezbiopia). Gałka oczna jest zbyt krótka lub soczewka oka skupia za słabo, w wyniku czego promienie z bliska skupiłyby się ZA siatkówką.
Soczewka okularowa musi wytworzyć pozorny obraz tekstu z odległości $x = 0{,}25\text{ m}$ w punkcie bliży pacjenta ($y = -0{,}8\text{ m}$):
$$Z = \frac{1}{0{,}25\text{ m}} + \frac{1}{-0{,}8\text{ m}} = 4{,}0\text{ D} - 1{,}25\text{ D} = +2{,}75\text{ D}$$Pacjent B potrzebuje soczewek skupiających o mocy $+2{,}75\text{ dioptrii}$ (tzw. „plusów”).
Zadanie 2 (Problemowo-obliczeniowe): Układy przyrządów optycznych — mikroskop i teleskop
- Na mikroskopie biologicznym zamontowano obiektyw o powiększeniu $40\times$ oraz okular o powiększeniu $15\times$. Oblicz całkowite powiększenie tego mikroskopu. Jaki jest rzeczywisty rozmiar krwinki czerwonej (erytrocytu), jeśli jej obraz widziany przez okular ma pozorne wymiary około $4{,}8\text{ mm}$?
- W lunecie astronomicznej ogniskowa obiektywu wynosi $F_{\text{ob}} = 1000\text{ mm}$, a ogniskowa wymiennego okularu $f_{\text{ok}} = 25\text{ mm}$. Oblicz powiększenie kątowe tej lunety. Wyjaśnij, dlaczego patrząc przez tę lunetę na odległe góry, widzimy je do góry nogami i jaki element optyczny należy dodać, aby uzyskać obraz prosty w lornetce.
Pokaż pełne rozwiązanie krok po kroku
Część a — Mikroskop:
1. Powiększenie całkowite mikroskopu: $$p = p_{\text{ob}} \cdot p_{\text{ok}} = 40 \cdot 15 = 600\times$$
2. Rzeczywisty rozmiar krwinki ($h = h' / p$): $$h = \frac{4{,}8\text{ mm}}{600} = 0{,}008\text{ mm} = 8\text{ }\mu\text{m}$$ Rzeczywista średnica erytrocytu wynosi $8\text{ mikrometrów}$ ($0{,}008\text{ mm}$).
Część b — Luneta astronomiczna:
1. Powiększenie kątowe teleskopu: $$\gamma = \frac{F_{\text{ob}}}{f_{\text{ok}}} = \frac{1000\text{ mm}}{25\text{ mm}} = 40\times$$
2. Obraz jest odwrócony, ponieważ obiektyw tworzy wewnątrz tubusu obraz rzeczywisty i odwrócony, a okular działa jak lupa powiększająca ten odwrócony obraz bez zmiany jego orientacji. Aby wyprostować obraz w lornetce, stosuje się pryzmaty szklane (np. pryzmaty Porro), które dzięki całkowitemu wewnętrznemu odbiciu (CWO) odwracają bieg promieni o $180^\circ$, prostując obraz i jednocześnie skracając tubus.
Zadanie 3 (Problemowo-obliczeniowe): Dyspersja, tęcza i fizyka barw
- W szkle kryształowym prędkość światła czerwonego wynosi $v_{\text{cz}} \approx 187\,500\text{ km/s}$, a fioletowego $v_{\text{f}} \approx 181\,800\text{ km/s}$. Przyjmując $c = 300\,000\text{ km/s}$, oblicz współczynniki załamania tego szkła dla obu barw i uzasadnij, która barwa ulegnie większemu załamaniu przy wejściu do pryzmatu.
- Na ścianie wisi barwny plakat z napisem wykonanym żółtymi literami na niebieskim tle. Jak będzie wyglądał ten plakat (jakie barwy będą miały litery i tło), gdy oświetlimy go czystym, monochromatycznym światłem:
• czerwonym?
• zielonym?
• niebieskim? - Pod jakimi kątami względem promieni słonecznych wychodzi z kropel deszczu światło czerwone i fioletowe tworzące tęczę pierwotną i dlaczego czerwony łuk widzimy na zewnątrz?
Pokaż pełne rozwiązanie krok po kroku
Część a — Współczynniki załamania:
Dla czerwieni: $n_{\text{cz}} = \frac{c}{v_{\text{cz}}} = \frac{300\,000}{187\,500} = 1{,}60$.
Dla fioletu: $n_{\text{f}} = \frac{c}{v_{\text{f}}} = \frac{300\,000}{181\,800} \approx 1{,}65$.
Większemu załamaniu ulegnie światło fioletowe, ponieważ ma większy współczynnik załamania ($n_{\text{f}} > n_{\text{cz}}$) i porusza się w szkle wolniej.
Część b — Barwy plakatu (żółty odbija R+G, niebieski odbija B):
• W świetle czerwonym: żółte litery odbiją czerwień → litery czerwone; niebieskie tło pochłonie czerwień → tło czarne.
• W świetle zielonym: żółte litery odbiją zieleń → litery zielone; niebieskie tło pochłonie zieleń → tło czarne.
• W świetle niebieskim: żółte litery pochłoną błękit → litery czarne; niebieskie tło odbije błękit → tło niebieskie.
Część c — Kąty tęczy:
Czerwień wychodzi pod kątem ok. $42^\circ$, a fiolet pod kątem ok. $40^\circ$. Promienie czerwone docierają do oka z kropel deszczu zawieszonych wyżej na niebie, dlatego czerwony pas znajduje się na górnym (zewnętrznym) brzegu tęczy.
Zadania transferowe — myślenie krytyczne
Zadanie transferowe 1: Dlaczego pod wodą bez maski widzimy wszystko zamazane?
Gdy zanurkujesz w jeziorze lub basenie i otworzysz oczy bez maski pływackiej, wszystkie podwodne obiekty są skrajnie niewyraźne i zamglone. Jednak gdy tylko założysz maskę lub gogle, ostrość widzenia natychmiast wraca do normy. Wyjaśnij to zjawisko, odwołując się do optyki oka i współczynników załamania ośrodków.
Pokaż wyjaśnienie fizyczne
Wyjaśnienie: Rogówka oka załamuje światło najsilniej ze wszystkich elementów oka ($+43\text{ D}$ z $+60\text{ D}$ całej mocy oka) wyłącznie dlatego, że na granicy powietrze–rogówka występuje duża różnica współczynników załamania ($n_{\text{powietrza}} \approx 1{,}00 \to n_{\text{rogówki}} \approx 1{,}376$).
Woda ma współczynnik załamania $n_{\text{wody}} \approx 1{,}333$, niemal identyczny ze współczynnikiem załamania rogówki ($1{,}376$)! Pod wodą światło niemal nie ulega załamaniu na rogówce, a cała moc optyczna oka spada z $+60\text{ D}$ do zaledwie kilkunastu dioptrii. Oko staje się skrajnie dalekowzroczne — promienie skupiłyby się daleko za siatkówką! Maska pływacka przywraca przed rogówką warstwę powietrza, co natychmiast przywraca naturalne załamanie światła i pełną ostrość.
Zadanie transferowe 2: Dlaczego niebo w dzień jest błękitne, a podczas zachodu Słońca czerwone?
Zarówno błękit południowego nieba, jak i płomienna czerwień zachodzącego Słońca wynikają z oddziaływania światła z cząsteczkami atmosfery Ziemi. Wyjaśnij, dlaczego barwy te tak drastycznie się różnią.
Pokaż wyjaśnienie fizyczne
Wyjaśnienie: Zjawisko to nazywa się rozpraszaniem Rayleigha. Cząsteczki gazów w atmosferze (azot, tlen) są wielokrotnie mniejsze od długości fali światła widzialnego. Z praw fizyki wynika, że intensywność rozpraszania jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali ($I \sim \frac{1}{\lambda^4}$).
• W ciągu dnia: Fale o najkrótszej długości (światło niebieskie i fioletowe, $\lambda \approx 400\text{--}480\text{ nm}$) są rozpraszane w atmosferze we wszystkich kierunkach niemal 10 razy silniej niż fale czerwone ($\lambda \approx 700\text{ nm}$). Dlatego patrząc w dowolny punkt bezchmurnego nieba, widzimy rozproszone światło błękitne!
• Podczas zachodu: Promienie słoneczne wpadają pod bardzo małym kątem i muszą przebyć w gęstej atmosferze drogę wielokrotnie dłuższą niż w południe. Niemal całe światło niebieskie i zielone zostaje po drodze rozproszone na boki i usunięte z wiązki pierwotnej. Do naszych oczu docierają prosto ze Słońca jedynie fale najdłuższe — czerwone i pomarańczowe — które bez przeszkód przenikają przez grubą warstwę powietrza.
Sprawdzian wiedzy — miniquiz (7 pytań)
Pytanie 1: Obraz powstający na siatkówce zdrowego oka ludzkiego podczas patrzenia na krajobraz jest:
Pytanie 2: Dalekowzroczność (hipermetropia) polega na tym, że promienie z bliska ogniskują się:
Pytanie 3: Aby uzyskać za pomocą lupy obraz powiększony, prosty i pozorny, obserwowany przedmiot należy umieścić:
Pytanie 4: Jeśli w mikroskopie optycznym użyjemy obiektywu o powiększeniu $20\times$ oraz okularu o powiększeniu $10\times$, całkowite powiększenie mikroskopu wynosi:
Pytanie 5: Luneta astronomiczna ma obiektyw o ogniskowej $F_{\text{ob}} = 1200\text{ mm}$ i okular o ogniskowej $f_{\text{ok}} = 30\text{ mm}$. Powiększenie kątowe tej lunety wynosi:
Pytanie 6: Bezpośrednią fizyczną przyczyną rozszczepienia (dyspersji) światła białego w pryzmacie jest to, że:
Pytanie 7: W ciemnym pokoju oświetlono czystym światłem czerwonym czerwoną różę o intensywnie zielonych liściach. Jakie barwy będą miały płatki i liście tej róży?