Optyka — kurs podstawowy › Blok II: Załamanie światła i soczewki

Moduł 07: Konstrukcja obrazów w soczewkach i równanie soczewki

PPrezentacja dla nauczyciela

Wiesz już, czym jest ogniskowa i jak obliczyć zdolność skupiającą soczewki w dioptriach. Pora na kluczową umiejętność każdego badacza optyki: geometryczną konstrukcję obrazu dowolnego przedmiotu! Odkryj trzy niezawodne promienie charakterystyczne, przeanalizuj 5 położeń przedmiotu przed soczewką skupiającą i poznaj proste równanie soczewki, które pozwala precyzyjnie przewidzieć, gdzie i jak duży obraz powstanie.

Czego nauczysz się w tym module?

Opanujesz 3 promienie charakterystyczne używane do geometrycznej konstrukcji obrazów w soczewkach.
Skonstruujesz i scharakteryzujesz obraz w soczewce skupiającej dla 5 różnych położeń przedmiotu ($x > 2f$, $x = 2f$, $f < x < 2f$, $x = f$, $x < f$).
Zrozumiesz zasadę działania lupy (jako soczewki skupiającej dla $x < f$) oraz projektora multimedialnego ($f < x < 2f$).
Wyjaśnisz, dlaczego soczewka rozpraszająca daje zawsze obraz pozorny, prosty i pomniejszony.
Zastosujesz równanie soczewki $\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ oraz wzór na powiększenie liniowe $p = \frac{h'}{h} = \frac{|y|}{x}$.

1. Trzy promienie charakterystyczne — jak znaleźć obraz?

Każdy świecący punkt przedmiotu (np. czubek płomienia świecy $A$) wysyła nieskończenie wiele promieni świetlnych we wszystkich kierunkach. Aby jednak znaleźć położenie obrazu tego punktu ($A'$), wystarczy narysować bieg dowolnych dwóch spośród trzech tzw. promieni charakterystycznych:

Promień 1 (równoległy do osi optycznej):
Biegnie z czubka przedmiotu równolegle do głównej osi optycznej. Po załamaniu w soczewce skupiającej przechodzi przez ognisko rzeczywiste $F_2$ leżące za soczewką. (W soczewce rozpraszającej załamuje się rozbieżnie w taki sposób, że jego przedłużenie wstecz przechodzi przez ognisko pozorne $F_1$).
Promień 2 (przez środek optyczny $S$):
Biegnie z czubka przedmiotu dokładnie przez środek soczewki $S$. Przechodzi przez soczewkę prosto, bez żadnego załamania! To najłatwiejszy i najbardziej niezawodny promień w każdej konstrukcji.
Promień 3 (ogniskowy — przez ognisko $F_1$):
Biegnie z czubka przedmiotu przez przednie ognisko $F_1$ do soczewki. Po załamaniu biegnie dalej równolegle do głównej osi optycznej (wynika to z zasady odwracalności biegu promieni).

Wskazówka konstrukcyjna:
W praktyce najwygodniej jest wybrać Promień 1 (równoległy → przez ognisko) oraz Promień 2 (prosto przez środek $S$). Punkt, w którym te dwa promienie przetną się po prawej stronie soczewki (lub w którym przetną się ich przedłużenia po lewej stronie), wyznacza czubek obrazu $A'$!

1. Aby wyznaczyć położenie obrazu świecącego punktu, wystarczy narysować:

dwa dowolne promienie charakterystyczne wszystkie trzy promienie charakterystyczne jeden dowolnie wybrany promień co najmniej pięć promieni wychodzących z punktu

2. Promień biegnący równolegle do osi optycznej po przejściu przez soczewkę skupiającą:

biegnie dalej równolegle do osi przechodzi przez ognisko rzeczywiste $F_2$ wraca dokładnie po swoim torze przechodzi przez środek optyczny $S$

3. Promień przechodzący przez przednie ognisko $F_1$ po załamaniu w soczewce skupiającej:

przechodzi przez ognisko $F_2$ wraca po swoim torze do przedmiotu biegnie równolegle do głównej osi optycznej przechodzi przez środek optyczny $S$

2. Konstrukcje obrazów w soczewce skupiającej — 5 położeń

Charakter obrazu w soczewce skupiającej zależy bezpośrednio od odległości przedmiotu $x$ od środka soczewki:

Położenie przedmiotu ($x$)	Gdzie powstaje obraz ($y$)?	Cechy obrazu	Zastosowanie w przyrządach
$x > 2f$ (za podwójną ogniskową)	Między $f$ a $2f$ po drugiej stronie ($f < y < 2f$)	rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony ($p < 1$)	Aparat fotograficzny (duży krajobraz pomniejszony na małej matrycy) oraz ludzkie oko (obraz na siatkówce)
$x = 2f$ (w podwójnej ogniskowej)	Dokładnie w $y = 2f$ po drugiej stronie	rzeczywisty, odwrócony, równy ($p = 1$, $h' = h$)	Kserokopiarka optyczna kopiująca dokumenty w skali 1:1
$f < x < 2f$ (między ogniskową a podwójną)	Za podwójną ogniskową ($y > 2f$)	rzeczywisty, odwrócony, powiększony ($p > 1$)	Projektor multimedialny, rzutnik slajdów (mały slajd rzucany jako ogromny obraz na ścianę)
$x = f$ (przedmiot w ognisku)	W nieskończoności ($y \to \infty$)	Obraz nie powstaje (promienie po załamaniu są ściśle równoległe)	Latarki, szperacze, naświetlacze teatralne (tworzenie wiązki równoległej)
$x < f$ (bliżej niż ognisko)	Przed soczewką (po stronie przedmiotu)	pozorny, prosty, powiększony ($p > 1$)	LUPA (szkło powiększające) — oglądany tekst musi być bliżej lupy niż jej ognisko!

4. Przedmiot ustawiono w odległości $x > 2f$ od soczewki skupiającej. Obraz jest:

pozorny, prosty i powiększony rzeczywisty, prosty i powiększony pozorny, odwrócony i pomniejszony rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony

5. Obraz rzeczywisty, odwrócony i powiększony powstaje, gdy przedmiot znajduje się:

między ogniskiem a podwójną ogniskową ($f < x < 2f$) dalej niż podwójna ogniskowa, czyli gdy $x > 2f$ bliżej niż ognisko, czyli gdy $x < f$ dokładnie w ognisku soczewki ($x = f$)

6. Przedmiot umieszczono dokładnie w ognisku soczewki skupiającej ($x = f$). Co powstaje?

Obraz rzeczywisty w odległości $2f$ Obraz nie powstaje, bo promienie wychodzą równolegle Obraz pozorny, prosty i powiększony Obraz rzeczywisty w nieskończoności, który można złapać na ekranie

3. Obraz w soczewce rozpraszającej — zawsze stałe cechy

W soczewce rozpraszającej promienie po załamaniu zawsze się rozbiegają. Oznacza to, że promienie rzeczywiste nigdy nie przetną się po prawej stronie soczewki. Przecinają się wyłącznie ich przedłużenia wstecz.

Żelazna reguła soczewki rozpraszającej:
Niezależnie od tego, jak daleko lub blisko ustawimy przedmiot przed soczewką rozpraszającą, powstający obraz jest ZAWSZE:

Pozorny (powstaje przed soczewką na przecięciu przedłużeń promieni),
Prosty (nieodwrócony do góry nogami),
Pomniejszony ($p < 1$).

Zastosowanie: Wizjer w drzwiach wejściowych („judasz”) — pomniejsza całą klatkę schodową, dając ogromne pole widzenia, oraz okulary dla krótkowidzów.

7. Obraz przedmiotu w soczewce rozpraszającej jest zawsze:

rzeczywisty, prosty i nieznacznie powiększony pozorny, odwrócony i wyraźnie pomniejszony pozorny, prosty i pomniejszony zależny od odległości przedmiotu — raz pozorny, raz rzeczywisty

8. Wizjer w drzwiach („judasz”) to soczewka:

skupiająca, dająca obraz rzeczywisty i powiększony płaska, niemająca ogniskowej ani zdolności skupiającej rozpraszająca, dająca obraz rzeczywisty i pomniejszony rozpraszająca, dająca obraz pozorny i pomniejszony

9. Dlaczego w soczewce rozpraszającej nie powstaje obraz rzeczywisty?

Bo promienie są rozbieżne — przecinają się tylko ich przedłużenia Bo soczewka pochłania całe padające światło i nic nie przepuszcza Bo ogniskowa jest zawsze zbyt duża Bo obraz powstaje dokładnie w ognisku

4. Równanie soczewki i powiększenie liniowe

Zamiast każdorazowo rysować skomplikowaną konstrukcję geometryczną, fizycy stosują precyzyjny aparat matematyczny łączący odległość przedmiotu $x$, odległość obrazu $y$ oraz ogniskową $f$:

Równanie soczewki cienkiej: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] gdzie:
• $f$ — ogniskowa soczewki ($f > 0$ dla skupiającej, $f < 0$ dla rozpraszającej),
• $x$ — odległość przedmiotu od środka soczewki ($x > 0$),
• $y$ — odległość obrazu od środka soczewki ($y > 0$ dla obrazu rzeczywistego za soczewką, $y < 0$ dla obrazu pozornego przed soczewką).

Powiększenie liniowe ($p$)

Powiększenie liniowe określa stosunek wysokości powstałego obrazu $h'$ do wysokości rzeczywistego przedmiotu $h$. Z podobieństwa trójkątów utworzonych przez promienie przechodzące przez środek $S$ wynika, że stosunek wysokości jest równy stosunkowi odległości:

\[ p = \frac{h'}{h} = \frac{|y|}{x} \]

Jeśli $p > 1$ → obraz jest powiększony (np. w lupie lub projektorze).
Jeśli $p = 1$ → obraz jest równy przedmiotowi ($x = 2f$).
Jeśli $p < 1$ → obraz jest pomniejszony (np. w aparacie fotograficznym lub oku).

10. Równanie cienkiej soczewki ma postać:

$f = x + y$ $\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ $Z = x \cdot y$ $\frac{1}{y} = \frac{1}{f} + \frac{1}{x}$

11. Powiększenie liniowe $p$ określa wzór:

$p = \frac{x}{|y|}$ $p = \frac{f}{x}$ $p = \frac{|y|}{x}$ $p = |y| \cdot x$

12. Obrazowi pozornemu w równaniu soczewki odpowiada:

$y > 0$ $y = 0$ $y \to \infty$ $y < 0$

Animacja interaktywna: Symulator konstrukcji obrazu i równania soczewki

Sprawdź osobiście, jak zachowuje się obraz przy płynnej zmianie odległości przedmiotu $x$. Obserwuj bieg trzech promieni charakterystycznych, weryfikuj równanie soczewki i zobacz punkt przejścia w obraz pozorny (lupa):

Odległość przedmiotu ($x$): 22 cm

Ogniskowa ($f$): 9 cm (2f = 18 cm)

13. W symulatorze ($f = 9\text{ cm}$) przesuwasz przedmiot z $x = 22\text{ cm}$ na $x = 6\text{ cm}$. Obraz:

staje się pozorny, prosty i powiększony staje się rzeczywisty i pomniejszony zmniejsza się i pozostaje odwrócony przestaje powstawać, bo promienie biegną równolegle

14. Zwiększasz ogniskową, nie zmieniając odległości przedmiotu (nadal $x > f$). Obraz rzeczywisty:

przybliża się do soczewki i maleje oddala się od soczewki i rośnie nie zmienia swojego położenia staje się obrazem pozornym

15. Ustawiasz przedmiot dokładnie w odległości $x = 2f$. Obraz:

jest pozorny i powiększony nie powstaje, bo promienie są równoległe ma taką samą wielkość jak przedmiot jest pomniejszony i leży bliżej soczewki niż $2f$

Przykłady obliczeniowe krok po kroku

Przykład 1 — projektor multimedialny (obraz powiększony na ekranie)

Treść: Obiektyw projektora jest soczewką skupiającą o ogniskowej $f = 15\text{ cm}$. Wewnątrz projektora mały przezroczysty ekranik LCD umieszczono w odległości $x = 20\text{ cm}$ od soczewki.
a) W jakiej odległości $y$ od projektora należy ustawić biały ekran ścienny, aby uzyskać ostry obraz?
b) Ile wynosi powiększenie liniowe $p$ obrazu?

Rozwiązanie krok po kroku:

Wypisujemy dane: $f = 15\text{ cm}$, $x = 20\text{ cm}$. Widzimy, że $f < x < 2f$ ($15 < 20 < 30$), więc spodziewamy się obrazu rzeczywistego, odwróconego i powiększonego za podwójną ogniskową ($y > 30\text{ cm}$).
Zapisujemy równanie soczewki i wyznaczamy $\frac{1}{y}$: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \implies \frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} \]
Podstawiamy wartości liczbowe ze wspólnym mianownikiem ($60$): \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \] Stąd: \[ y = \mathbf{60\text{ cm}} = 0{,}6\text{ m} \]
Obliczamy powiększenie liniowe $p$: \[ p = \frac{y}{x} = \frac{60\text{ cm}}{20\text{ cm}} = \mathbf{3} \]

Odpowiedź: Ekran należy ustawić w odległości $60\text{ cm}$ od soczewki, a obraz będzie $3$-krotnie powiększony ($p = 3$).

Przykład 2 — lupa (obraz pozorny tekstu)

Treść: Uczeń ogląda znaczek pocztowy przez lupę o ogniskowej $f = 10\text{ cm}$, trzymając ją w odległości $x = 6\text{ cm}$ od znaczka ($x < f$).
a) Oblicz odległość obrazu $y$ z równania soczewki.
b) Jak zinterpretujesz ujemny znak wyniku?

Rozwiązanie krok po kroku:

Podstawiamy dane do przekształconego równania soczewki: \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{6} \]
Wspólny mianownik dla $10$ i $6$ wynosi $30$: \[ \frac{1}{y} = \frac{3}{30} - \frac{5}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} \] Stąd: \[ y = \mathbf{-15\text{ cm}} \]
Interpretacja fizyczna: Znak minus oznacza, że obraz jest pozorny — nie powstaje za soczewką, lecz $15\text{ cm}$ przed nią (po tej samej stronie co znaczek). Jest prosty i powiększony ($p = \frac{|y|}{x} = \frac{15}{6} = 2{,}5$).

Odpowiedź: Obraz powstaje w odległości pozornej $y = -15\text{ cm}$, jest prosty i $2{,}5$-krotnie powiększony.

16. Obiektyw projektora ma $f = 15\text{ cm}$, a ekranik LCD stoi w odległości $x = 20\text{ cm}$. Ostry obraz powstanie w odległości:

$35\text{ cm}$ $30\text{ cm}$ $15\text{ cm}$ $60\text{ cm}$

17. W tym samym projektorze powiększenie liniowe obrazu wynosi:

$3$ $0{,}33$ $4$ $1{,}5$

18. Lupa o $f = 10\text{ cm}$ stoi $6\text{ cm}$ od znaczka. Otrzymany wynik $y = -15\text{ cm}$ oznacza, że obraz:

powstał $15\text{ cm}$ za soczewką i jest rzeczywisty powstał $15\text{ cm}$ przed soczewką i jest pozorny powstał w nieskończoności jest pomniejszony i odwrócony

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie transferowe: Odwrócony slajd i odwrócony świat w oku

Dlaczego kino i ludzki mózg muszą „odkręcać” obraz?

Konstrukcje obrazów w soczewkach skupiających kryją w sobie niezwykłą zależność, z którą spotykamy się w codziennej technice i biologii:

Projektor filmowy i rzutnik slajdów:
Projektor tworzy obraz rzeczywisty i powiększony ($f < x < 2f$). Taki obraz jest jednak fizycznie odwrócony do góry nogami i zamieniony stronami.
Dlatego tradycyjne klatki taśmy filmowej lub slajdy w rzutniku muszą być wkładane do kasety do góry nogami i tyłem na przód! Gdy soczewka projektora odwróci odwrócony slajd, widzowie na sali kinowej widzą idealnie prosty obraz aktorów stojących na nogach.
Oko ludzkie:
Rogówka i soczewka naszego oka rzucają na siatkówkę obraz odległego świata ($x > 2f$). W konsekwencji na dnie Twojego oka powstaje obraz całkowicie odwrócony do góry nogami!
To kora wzrokowa w Twoim mózgu od pierwszych miesięcy życia uczy się automatycznie odwracać ten sygnał nerwowy o $180^\circ$, dzięki czemu postrzegasz świat we właściwej orientacji.

19. Dlaczego slajd w rzutniku wkłada się do kasety do góry nogami?

Bo taśma filmowa jest zawsze zwojowana w odwrotnym kierunku Bo slajd jest przezroczysty i jego orientacja nie ma znaczenia Bo soczewka daje obraz odwrócony, więc odwrócony slajd daje prosty Bo w ten sposób obraz na ekranie jest znacznie jaśniejszy

20. Obraz odległego świata rzucany przez soczewkę oka na siatkówkę jest:

pozorny i prosty rzeczywisty i prosty pozorny i odwrócony rzeczywisty i odwrócony

21. Który element układu wzrokowego odpowiada za to, że widzimy świat w prawidłowej orientacji?

kora wzrokowa mózgu soczewka oka rogówka źrenica

Sprawdź swoją wiedzę — szybki quiz

Podsumowanie modułu

Promienie charakterystyczne: promień równoległy → przez ognisko $F_2$; promień przez środek $S$ → prosto bez załamania.
Soczewka skupiająca: tworzy obrazy rzeczywiste odwrócone dla $x > f$ (aparat, oko, rzutnik) oraz obraz pozorny, prosty i powiększony dla $x < f$ (lupa).
Soczewka rozpraszająca: daje ZAWSZE obraz pozorny, prosty i pomniejszony.
Równanie soczewki: $\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ oraz powiększenie $p = \frac{h'}{h} = \frac{|y|}{x}$.
W następnym module: czas na Moduł 08: Sprawdzian II: załamanie i soczewki — punkt kontrolny podsumowujący cały Blok II z zadaniami rachunkowymi i konstrukcyjnymi!