Optyka — kurs podstawowy › Blok II: Załamanie światła i soczewki

Moduł 05: Załamanie światła i całkowite wewnętrzne odbicie

PPrezentacja dla nauczyciela

Dlaczego zanurzona w szklance wody słomka wygląda na złamaną i przesuniętą, a dno basenu wydaje się płytsze niż w rzeczywistości? Jak to możliwe, że impuls światła potrafi uwięzić się wewnątrz giętkiego szklanego włókna i pokonać tysiące kilometrów po dnie oceanu bez żadnych strat? Odkryj zjawisko załamania światła (refrakcji), poznaj jego przyczynę oraz tajemnicę całkowitego wewnętrznego odbicia.

Czego nauczysz się w tym module?

Zdefiniujesz załamanie światła (refrakcję) i wskażesz jego fizyczną przyczynę: różne prędkości światła w różnych ośrodkach.
Zastosujesz dwie fundamentalne reguły: załamanie do normalnej ($\beta < \alpha$) oraz od normalnej ($\beta > \alpha$).
Wyjaśnisz codzienne złudzenia optyczne: pozorne zagięcie słomki w wodzie i pozorne spłycenie dna zbiornika.
Sformułujesz pojęcie kąta granicznego $\alpha_{gr}$ oraz dwa konieczne warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (CWO).
Opiszesz budowę i rewolucyjne zastosowanie światłowodów w telekomunikacji internetowej i medycynie (endoskopia).

1. Dlaczego światło się załamuje? Prędkość fali w różnych ośrodkach

Gdy promień światła pada ukośnie na granicę dwóch różnych ośrodków przezroczystych (np. z powietrza do wody lub ze szkła do powietrza), część światła ulega odbiciu, ale większość wnika do drugiego ośrodka, zmieniając kierunek swojego biegu. Zjawisko to nazywamy załamaniem światła (z łac. refrakcją).

Jaka jest fizyczna przyczyna refrakcji?
Światło w próżni i powietrzu porusza się z maksymalną prędkością we Wszechświecie: $c \approx 300\,000\text{ km/s}$. Gdy jednak wpada do gęstszego ośrodka przezroczystego, oddziałuje z atomami materii i wyraźnie zwalnia:

Próżnia / Powietrze

$300\,000\text{ km/s}$

prędkość maksymalna $c$

Woda

$225\,000\text{ km/s}$

zwalnia o ok. 25% ($v \approx \frac{3}{4}c$)

Szkło zwykłe

$200\,000\text{ km/s}$

zwalnia o ok. 33% ($v \approx \frac{2}{3}c$)

Diament

$124\,000\text{ km/s}$

zwalnia niemal 2,5-krotnie!

Uwaga: podane prędkości światła w ośrodkach są przybliżone. Prędkość światła zależy od rodzaju ośrodka (inne jest np. szkło zwykłe, inne kronowe czy flintowe), od jego temperatury oraz od długości fali światła. Dokładną wartość dla konkretnego materiału wyznacza jego współczynnik załamania $n = c/v$ — dlatego w zadaniach posługujemy się wartościami typowymi dla danego ośrodka.

Świetna analogia intuicyjna — wózek zjeżdżający na piasek:
Wyobraź sobie dwukołowy wózek toczący się szybko po gładkim asfalcie w stronę piaszczystego pobocza. Jeśli wózek wjeżdża na piasek pod kątem, jedno koło uderza w piasek pierwsze i gwałtownie zwalnia, podczas gdy drugie koło nadal toczy się szybko po asfalcie. Wynik? Cały wózek gwałtownie skręca w stronę wolniejszego ośrodka! Dokładnie to samo dzieje się z czołem fali świetlnej na granicy dwóch ośrodków.

1. Jaka jest fizyczna przyczyna załamania światła na granicy dwóch ośrodków przezroczystych?

Różna prędkość światła w obu ośrodkach Zmiana barwy światła po przejściu do drugiego ośrodka Pochłanianie części promieni przez drugi ośrodek Odbicie światła od granicy ośrodków

2. W szkle zwykłym światło porusza się z prędkością około $200\,000\text{ km/s}$. Stanowi to około:

połowy prędkości światła w próżni dwóch trzecich prędkości światła w próżni trzech czwartych prędkości światła w próżni dziewięćdziesięciu procent prędkości światła w próżni

3. W analogii z wózkiem wjeżdżającym ukośnie na piasek cały wózek skręca, ponieważ:

oba koła zwalniają dokładnie w tej samej chwili piasek działa na wózek siłą odśrodkową pierwsze koło wpada na piasek i zwalnia przed drugim wózek zmienia masę przy wjeździe na piasek

2. Dwie reguły załamania — bieg do i od normalnej

Tak samo jak przy odbiciu, wszystkie kąty mierzymy wyłącznie od normalnej (prostopadłej do granicy w punkcie padania):

Kąt padania ($\alpha$): kąt między promieniem padającym w pierwszym ośrodku a normalną.
Kąt załamania ($\beta$): kąt między promieniem załamanym w drugim ośrodku a normalną.

Zapamiętaj dwie żelazne reguły:

Gdy światło przechodzi do ośrodka, w którym porusza się wolniej (np. powietrze → woda / szkło):
Promień załamuje się DO NORMALNEJ: $\mathbf{\beta < \alpha}$.
Gdy światło przechodzi do ośrodka, w którym porusza się szybciej (np. woda / szkło → powietrze):
Promień załamuje się OD NORMALNEJ: $\mathbf{\beta > \alpha}$.

Wyjątek: Jeśli promień pada dokładnie prostopadle do powierzchni ($\alpha = 0^\circ$), biegnie prosto bez zmiany kierunku ($\beta = 0^\circ$), mimo że jego prędkość ulega zmianie!

4. Promień światła przechodzi z wody do powietrza pod kątem padania $\alpha = 30^\circ$. Kąt załamania $\beta$ jest:

mniejszy od $30^\circ$ równy $30^\circ$ równy $0^\circ$ większy od $30^\circ$

5. Kąt padania $\alpha$ to kąt między:

promieniem padającym a normalną w punkcie padania promieniem padającym a powierzchnią granicy ośrodków promieniem padającym a promieniem załamanym normalną a powierzchnią granicy ośrodków

6. Promień lasera pada prostopadle na powierzchnię szkła ($\alpha = 0^\circ$). Co się z nim dzieje?

Załamuje się od normalnej, bo szkło jest gęstsze Biegnie prosto ($\beta = 0^\circ$), ale jego prędkość maleje Ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu Załamuje się do normalnej pod kątem większym od zera

3. Pozorna głębokość i „złamana” słomka

Dlaczego kafelki na dnie basenu wydają się być znacznie bliżej powierzchni, niż są w rzeczywistości, a zanurzona słomka wygląda na złamaną w miejscu styku wody z powietrzem?

Światło odbite od dna zbiornika biegnie w wodzie ku powierzchni. Gdy przekracza granicę woda → powietrze, przechodzi do ośrodka szybszego i załamuje się od normalnej (odgina się w stronę poziomu). Ludzki mózg nie zdaje sobie z tego sprawy — zakłada, że światło porusza się zawsze po linii prostej. Przedłużając promienie wstecz, mózg lokalizuje dno w miejscu przecięcia tych przedłużeń — czyli zauważalnie płycej (o około 25%)!

W ten sam sposób słomka w szklance wydaje się przesunięta i „odcięta” na granicy faz, ponieważ promienie z jej zanurzonej części dochodzą do Twojego oka pod innym kątem niż promienie z części wystającej w powietrzu.

7. Dlaczego dno basenu wydaje się płytsze, niż jest w rzeczywistości?

Woda pochłania część światła odbitego od dna, przez co obraz traci kontrast Światło w wodzie porusza się szybciej niż w powietrzu, więc dociera wcześniej Promienie z wody załamują się od normalnej, a mózg prostuje ich bieg Oko nieustannie zmienia ogniskowanie, aby widzieć dno pod kątem

8. Dno basenu ma rzeczywistą głębokość $2\text{ m}$. Obserwator stojący na brzegu widzi je na głębokości około:

$1{,}9\text{ m}$ $1{,}75\text{ m}$ $1{,}25\text{ m}$ $1{,}5\text{ m}$

9. Dlaczego zanurzona w szklance słomka wygląda na złamaną w miejscu styku wody z powietrzem?

Promienie z części zanurzonej wchodzą do oka pod innym kątem Część zanurzona jest słabiej oświetlona, więc oko widzi ją przesuniętą Woda zmienia barwę światła odbitego od zanurzonej części słomki Promienie od zanurzonej części ulegają całkowitemu wewnętrznemu odbiciu

4. Kąt graniczny i całkowite wewnętrzne odbicie (CWO)

Zbadajmy fascynujący eksperyment myślowy: umieszczamy silne źródło światła (np. zielony laser) pod wodą i świecimy w stronę powierzchni (przejście woda → powietrze):

Gdy kąt padania $\alpha$ jest mały, promień załamuje się od normalnej ($\beta > \alpha$), a niewielka część światła odbija się z powrotem pod wodę.
Gdy zwiększamy kąt padania $\alpha$, kąt załamania $\beta$ rośnie jeszcze szybciej!
Przy pewnym specyficznym kącie padania kąt załamania osiąga wartość maksymalną: $\beta = 90^\circ$. Promień załamany nie wnika już do powietrza, lecz ślizga się dokładnie po powierzchni wody! Kąt ten nazywamy kątem granicznym ($\alpha_{gr}$):
• Dla granicy woda → powietrze: $\alpha_{gr} \approx 48{,}6^\circ \approx 49^\circ$.
• Dla granicy szkło → powietrze: $\alpha_{gr} \approx 42^\circ$.
• Dla granicy diament → powietrze: $\alpha_{gr} \approx 24{,}4^\circ$!
Co się stanie, gdy kąt padania będzie większy od granicznego ($\alpha > \alpha_{gr}$)?
Światło w ogóle nie może opuścić wody! 100% energii świetlnej ulega odbiciu od granicy z powietrzem w głąb wody — dokładnie tak, jak od idealnego, bezstratnego zwierciadła. Zjawisko to nazywamy całkowitym wewnętrznym odbiciem.

Dwa bezwzględne warunki całkowitego wewnętrznego odbicia:

Światło musi biec z ośrodka o mniejszej prędkości do ośrodka o większej prędkości (optycznie z gęstszego do rzadszego, np. woda → powietrze, szkło → powietrze). Z powietrza do wody zjawisko to nigdy nie zajdzie!
Kąt padania musi być większy od kąta granicznego: $\mathbf{\alpha > \alpha_{gr}}$.

10. Kąt graniczny dla granicy szkło–powietrze wynosi około:

$24^\circ$ $42^\circ$ $49^\circ$ $90^\circ$

11. W którym przypadku może zajść całkowite wewnętrzne odbicie?

Przejście z powietrza do wody pod kątem większym od $48{,}6^\circ$ Przejście z wody do powietrza pod kątem mniejszym od $48{,}6^\circ$ Przejście z wody do powietrza pod kątem większym od $48{,}6^\circ$ Przejście z wody do szkła pod dowolnym kątem

12. Co dzieje się z energią światła, gdy kąt padania na granicy woda–powietrze przekracza kąt graniczny?

Połowa energii ulega odbiciu, a połowa przechodzi do powietrza Cała energia przechodzi do powietrza, ale pod kątem $90^\circ$ Energia zamienia się w ciepło już na powierzchni wody Cała energia wraca do wody — odbicie jest praktycznie całkowite

5. Zastosowania: światłowody, medycyna i pryzmaty

A. Światłowód — szklana autostrada Internetu

Światłowód to cienkie jak ludzki włos włókno wykonane z ultraczystego szkła kwarcowego. Składa się z wewnętrznego rdzenia oraz otaczającego go płaszcza o nieco mniejszym współczynniku załamania (światło w płaszczu porusza się minimalnie szybciej niż w rdzeniu):

Światło lasera wprowadzone pod odpowiednim kątem do rdzenia uderza w jego ścianki pod kątem większym od kąta granicznego.
Dzięki całkowitemu wewnętrznemu odbiciu promień zygzakiem „odbija się” wewnątrz włókna i wędruje na odległość setek kilometrów niemal bez tłumienia.
Nawet jeśli kabel zostanie zgięty lub zwinięty w pętlę, światło nie ucieka na zewnątrz!
Medycyna: giętkie wiązki światłowodów w endoskopach i gastroskopach pozwalają lekarzom oświetlić wnętrze żołądka lub stawu i przesłać obraz do kamery bez konieczności inwazyjnej operacji.

B. Pryzmaty całkowitego odbicia (lornetki i peryskopy)

Wysokiej klasy lornetki polowe oraz aparaty fotograficzne (lustrzanki) nie używają luster ze srebrną powłoką (które z czasem matowieją i tracą 4–8% światła), lecz szklanych pryzmatów o kątach $45^\circ-90^\circ-45^\circ$. Promień wpadający do pryzmatu uderza w skośną ściankę pod kątem $\alpha = 45^\circ$. Ponieważ dla szkła $\alpha_{gr} \approx 42^\circ$, warunek $\alpha > \alpha_{gr}$ jest spełniony — światło odbija się o $90^\circ$ ze 100% sprawnością!

13. Dzięki czemu światło nie ucieka z rdzenia światłowodu na zewnątrz?

Na granicy rdzeń–płaszcz zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie Płaszcz jest pokryty cienką warstwą srebra, która odbija światło Rdzeń jest cieńszy niż długość fali przepuszczanego światła Światło odbija się od zewnętrznej osłony z tworzywa

14. Współczynnik załamania płaszcza światłowodu w porównaniu z rdzeniem jest:

większy, bo płaszcz otacza rdzeń i zagęszcza światło mniejszy, bo światło w płaszczu porusza się szybciej taki sam, bo oba elementy wykonano z tego samego szkła zerowy, bo płaszcz w ogóle nie przewodzi światła

15. Dlaczego w dobrej lornetce stosuje się pryzmaty zamiast luster?

Pryzmaty są znacznie tańsze w produkcji niż lustra ze srebrną powłoką Lustra odwracają obraz, a pryzmaty zachowują jego orientację Pryzmaty odbijają całe światło, a srebrna powłoka traci kilka procent Lustra przestają działać w niskich temperaturach i przy zapyleniu

Animacja interaktywna: Symulator refrakcji i całkowitego wewnętrznego odbicia

Eksperymentuj ze światłem. Sprawdź bieg promienia przy przejściu do ośrodka wolniejszego (załamanie do normalnej) oraz szybszego (załamanie od normalnej). Przekrocz kąt graniczny i zobacz, jak działa całkowite wewnętrzne odbicie:

Kąt padania ($\alpha$): 45°

16. W symulatorze ustawiono przejście powietrze $\rightarrow$ woda i kąt padania $45^\circ$. Jak pobiegnie promień?

Prosto, bez zmiany kierunku Załamie się od normalnej, czyli $\beta > 45^\circ$ Ulegnie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu Załamie się do normalnej, czyli $\beta < 45^\circ$

17. Przy przejściu woda $\rightarrow$ powietrze zwiększasz kąt padania od $20^\circ$ do $60^\circ$. Co obserwujesz?

Po przekroczeniu ok. $49^\circ$ promień załamany znika i zostaje tylko odbity Promień załamany coraz bardziej zbliża się do normalnej, a jego jasność rośnie Bieg promienia nie zmienia się aż do $60^\circ$ Od samego początku widoczny jest wyłącznie promień odbity

18. W symulatorze zmieniasz ośrodek z wody na diament. Kąt graniczny diament–powietrze jest:

większy niż dla wody, bo diament ma większy współczynnik załamania mniejszy niż dla wody i wynosi około $24^\circ$ taki sam jak dla wody, bo zależy tylko od powietrza równy $90^\circ$, więc całkowite odbicie nigdy nie zajdzie

Przykłady obliczeniowo-jakościowe krok po kroku

Przykład 1 — prędkość światła w ośrodku a współczynnik załamania

Treść: Prędkość światła w pewnym gatunku szkła wynosi $v = 187\,500\text{ km/s}$.
a) Ile wynosi współczynnik załamania $n$ tego szkła ($n = c / v$)?
b) Ile razy wolniej światło porusza się w tym szkle niż w próżni?

Rozwiązanie krok po kroku:

Prędkość światła w próżni wynosi $c = 300\,000\text{ km/s}$.
Współczynnik załamania ośrodka $n$ określa, ile razy prędkość światła w danym ośrodku jest mniejsza od prędkości w próżni: \[ n = \frac{c}{v} = \frac{300\,000\text{ km/s}}{187\,500\text{ km/s}} = \mathbf{1{,}6} \]
Współczynnik $n$ jest wielkością bezwymiarową (jednostki prędkości $\text{km/s}$ upraszczają się).

Odpowiedź: Współczynnik załamania wynosi $n = 1{,}6$, co oznacza, że światło w tym szkle porusza się $1{,}6$ raza wolniej niż w próżni.

Przykład 2 — sprawdzenie warunku całkowitego odbicia w pryzmacie

Treść: W peryskopie zamiast luster zastosowano pryzmaty ze szkła kronowego, dla którego kąt graniczny wynosi $\alpha_{gr} = 42^\circ$. Promień światła uderza od wewnątrz pryzmatu w ukośną ściankę pod kątem $\alpha = 45^\circ$.
Czy promień wyjdzie na zewnątrz do powietrza, czy ulegnie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu?

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprawdzamy dwa warunki całkowitego wewnętrznego odbicia:
• Warunek 1 (kierunek): Promień wędruje ze szkła ($v \approx 200\,000\text{ km/s}$) do powietrza ($v \approx 300\,000\text{ km/s}$), czyli z ośrodka wolniejszego do szybszego. Warunek 1 jest spełniony!
• Warunek 2 (kąt): Kąt padania wynosi $\alpha = 45^\circ$, a kąt graniczny to $\alpha_{gr} = 42^\circ$. Ponieważ $45^\circ > 42^\circ$, kąt padania jest większy od granicznego ($\alpha > \alpha_{gr}$). Warunek 2 jest spełniony!
Oba warunki zaszły jednocześnie, zatem promień w 100% odbije się od ścianki pryzmatu, zmieniając kierunek o $90^\circ$ bez utraty jasności.

Odpowiedź: Promień ulegnie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i nie wyjdzie do powietrza.

19. W pewnym szkle światło porusza się z prędkością $v = 187\,500\text{ km/s}$. Współczynnik załamania tego szkła wynosi:

$0{,}625$ $1{,}25$ $1{,}6$ $2{,}4$

20. Promień w pryzmacie ($\alpha_{gr} = 42^\circ$) pada na skośną ściankę pod kątem $45^\circ$. Co się z nim stanie?

Wyjdzie do powietrza, załamując się od normalnej Wyjdzie prostopadle do ścianki Zostanie pochłonięty przez szkło Odbije się całkowicie i zmieni kierunek o $90^\circ$

21. Współczynnik załamania $n$ jest wielkością:

bezwymiarową, bo jednostki prędkości się upraszczają wyrażaną w metrach na sekundę, bo opisuje prędkość światła wyrażaną w dioptriach, tak jak zdolność skupiająca soczewki wyrażaną w kilometrach na sekundę, ponieważ dotyczy fali

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie transferowe: „Okno Snella” — jak widzi świat ryba pod wodą?

Podwodny stożek widzenia i lustrzany sufit

Gdy nurek lub ryba spogląda z głębiny pionowo w górę ku powierzchni wody, nie widzi nieskończonego nieba od brzegu do brzegu. Zamiast tego obserwuje niezwykłe zjawisko optyczne nazywane oknem Snella:

Cały świat zewnętrzny nad wodą (niebo, chmury, drzewa, stojący na brzegu wędkarze) zostaje skompresowany i wciśnięty w jasne, koliste okno o kącie rozwarcia ok. $97^\circ$ (dwukrotność kąta granicznego wody: $2 \cdot 48{,}6^\circ \approx 97^\circ$).
Promienie biegnące niemal płasko nad wodą (pod kątem padania bliskim $90^\circ$ do normalnej) załamują się do wody pod maksymalnym kątem równym dokładnie kątowi granicznemu $\alpha_{gr} \approx 48{,}6^\circ$.
A co znajduje się poza tym jasnym kołem?
Wszystko wokół okna Snella zachowuje się jak idealne, srebrzyste lustro! Promienie dochodzące pod kątem większym niż $48{,}6^\circ$ ulegają całkowitemu wewnętrznemu odbiciu od powierzchni wody, odbijając... dno zbiornika i pływające obok wodorosty!

22. Kąt rozwarcia okna Snella widzianego spod wody wynosi około:

$49^\circ$ $97^\circ$ $180^\circ$ $24^\circ$

23. Co widzi nurek poza jasnym kołem okna Snella?

Niebo i brzeg, tylko mocno zmniejszone Ciemność, bo żadne światło tam nie dociera Odbicie dna zbiornika i wodorostów, jak w srebrzystym lustrze Rozproszone światło odbite od powierzchni od strony brzegu

24. Dlaczego promienie biegnące niemal płasko nad wodą wchodzą do niej pod kątem nie większym niż $48{,}6^\circ$?

Bo woda pochłania najbardziej strome promienie Bo odbijają się od powierzchni wody Bo mają one największą energię Bo kąt załamania nie może przekroczyć kąta granicznego

Sprawdź swoją wiedzę — szybki quiz

Podsumowanie modułu

Przyczyna załamania: zmiana prędkości światła na granicy dwóch ośrodków przezroczystych ($v = c/n$).
Reguły kierunku: do ośrodka wolniejszego $\to$ do normalnej ($\beta < \alpha$); do ośrodka szybszego $\to$ od normalnej ($\beta > \alpha$).
Kąt graniczny: kąt padania, dla którego kąt załamania osiąga $\beta = 90^\circ$. Występuje tylko przy przejściu z ośrodka wolniejszego do szybszego.
Całkowite wewnętrzne odbicie: dla $\alpha > \alpha_{gr}$ całe światło odbija się bezstratnie wewnątrz ośrodka. Jest to fundament działania światłowodów i pryzmatów.
W następnym module: jak wykorzystać załamanie światła na zakrzywionych powierzchniach szklanych? W Module 06 poznasz soczewki skupiające i rozpraszające, ich ogniska oraz zdolność skupiającą $Z = \frac{1}{f}$ wyrażaną w dioptriach!