Optyka — kurs podstawowy › Blok II: Załamanie światła i soczewki

Moduł 06: Soczewki skupiające i rozpraszające: ognisko i zdolność skupiająca

PPrezentacja dla nauczyciela

Jak działa lupa powiększająca drobny druk w książce i dlaczego niektórzy ludzie noszą okulary „plusy”, a inni „minusy”? W tym module dowiesz się, jak dwukrotne załamanie światła na zakrzywionych powierzchniach przezroczystej bryły pozwala formować wiązki promieni. Poznasz soczewki skupiające i rozpraszające, ognisko rzeczywiste i pozorne oraz nauczysz się bezbłędnie obliczać zdolność skupiającą w dioptriach!

Czego nauczysz się w tym module?

Rozróżnisz soczewki skupiające (wypukłe, grubsze w środku) od rozpraszających (wklęsłych, cieńszych w środku) oraz narysujesz ich symbole graficzne.
Zdefiniujesz ognisko rzeczywiste soczewki skupiającej oraz ognisko pozorne soczewki rozpraszającej.
Zrozumiesz pojęcie zdolności skupiającej ($Z$) i jej wzór $Z = \frac{1}{f}$.
Nauczysz się poprawnie stosować jednostkę dioptrii ($1\text{ D} = 1/\text{m}$), pamiętając o koniecznej zamianie centymetrów na metry!
Wyjaśnisz znaczenie znaków „$+$” i „$-$” w receptach na okulary korekcyjne.
Opiszesz prosty eksperyment wyznaczania ogniskowej lupy za pomocą promieni słonecznych.

1. Czym jest soczewka? Kształt i rodzaje soczewek

Soczewka to ciało przezroczyste (wykonane zazwyczaj ze szkła optycznego lub specjalnego tworzywa sztucznego), ograniczone co najmniej jedną zakrzywioną powierzchnią sferyczną (kulistą), a z drugiej strony powierzchnią sferyczną lub płaską.

Gdy promień światła wpada do soczewki, załamuje się dwukrotnie: najpierw na przedniej powierzchni (przejście powietrze → szkło, załamanie do normalnej), a następnie na tylnej powierzchni (przejście szkło → powietrze, załamanie od normalnej). W zależności od tego, jak zakrzywione są ścianki, soczewka może skupiać lub rozpraszać padające światło:

Soczewki skupiające (wypukłe)

Są grubsze w środku niż na brzegach (np. dwuwypukła, płasko-wypukła, wklęsło-wypukła).

Wiązkę promieni równoległych skupiają w jednym punkcie — ognisku rzeczywistym $F$.
Ogniskowa jest dodatnia: $\mathbf{f > 0}$.
Zdolność skupiająca ma znak plus: $\mathbf{Z > 0}$ (tzw. „plusy” w okularach dla dalekowidzów).
Symbol schematyczny: odcinek zakończony grotami strzałek skierowanymi na zewnątrz ($\updownarrow$).

Soczewki rozpraszające (wklęsłe)

Są cieńsze w środku niż na brzegach (np. dwuwklęsła, płasko-wklęsła, wypukło-wklęsła).

Wiązkę promieni równoległych zamieniają w wiązkę rozbieżną, której przedłużenia wstecz przecinają się w ognisku pozornym $F$.
Ogniskowa jest ujemna: $\mathbf{f < 0}$.
Zdolność skupiająca ma znak minus: $\mathbf{Z < 0}$ (tzw. „minusy” w okularach dla krótkowidzów).
Symbol schematyczny: odcinek zakończony grotami strzałek skierowanymi do środka (zbieżnymi).

1. Soczewka skupiająca jest:

grubsza w środku niż na brzegach cieńsza w środku niż na brzegach wszędzie dokładnie tej samej grubości zbudowana z dwóch zwierciadeł

2. Promień światła wpadający do soczewki załamuje się:

tylko raz, na tylnej powierzchni dwukrotnie, na obu powierzchniach soczewki wcale, bo soczewka jest przezroczysta tylko wtedy, gdy pada prostopadle do soczewki

3. Który kształt odpowiada soczewce rozpraszającej?

dwuwypukła płasko-wypukła dwuwklęsła wklęsło-wypukła

2. Ognisko rzeczywiste i ognisko pozorne

Wprowadzamy podstawowe pojęcia geometrii układu soczewkowego:

Główna oś optyczna: prosta przechodząca przez środki krzywizn obu powierzchni soczewki. Jest to oś symetrii soczewki.
Środek optyczny soczewki ($S$): geometryczny punkt centralny soczewki leżący na osi optycznej. Promień świetlny przechodzący dokładnie przez środek optyczny $S$ nie ulega załamaniu — biegnie dalej prosto!
Ognisko ($F$): punkt na głównej osi optycznej, w którym skupiają się (lub z którego pozornie wychodzą) promienie biegnące początkowo równolegle do osi optycznej.
Ogniskowa ($f$): odległość od środka soczewki $S$ do ogniska $F$. Ponieważ światło może wpadać do soczewki z lewej lub z prawej strony, każda soczewka ma dwa symetryczne ogniska (przednie $F_1$ i tylne $F_2$) leżące w tej samej odległości $f$ od środka.

4. Promień świetlny przechodzi dokładnie przez środek optyczny $S$ soczewki. Jak biegnie dalej?

Załamuje się w stronę ogniska Odbija się od soczewki Załamuje się pod kątem $90^\circ$ Biegnie prosto, bez zmiany kierunku

5. Ogniskowa $f$ soczewki to odległość:

od środka soczewki do ogniska między oboma ogniskami $F_1$ i $F_2$ od soczewki do przedmiotu od ogniska do powstającego obrazu

6. Soczewka rozpraszająca ma ognisko:

rzeczywiste, leżące za soczewką pozorne, leżące przed soczewką w nieskończoności dokładnie w środku optycznym $S$

3. Zdolność skupiająca ($Z$) i dioptria

Wyobraź sobie dwie soczewki skupiające: jedną lekko wypukłą, a drugą bardzo mocno zakrzywioną (grubą). Ta druga załamie promienie znacznie gwałtowniej — skupi je w punkcie leżącym tuż za soczewką (jej ogniskowa $f$ będzie bardzo mała). Mówimy, że taka soczewka ma dużą zdolność skupiającą.

Wzór na zdolność skupiającą soczewki:
Zdolność skupiająca $Z$ to odwrotność ogniskowej soczewki $f$: \[ Z = \frac{1}{f} \] Jednostka: dioptria [$\text{D}$]: \[ 1\text{ D} = \frac{1}{1\text{ metr}} = 1\text{ m}^{-1} \] Jedna dioptria ($1\text{ D}$) to zdolność skupiająca soczewki o ogniskowej równej dokładnie $1\text{ metr}$.

Śmiertelna pułapka jednostek: ZAWSZE zamieniaj centymetry na metry!
W zadaniach ogniskowa jest niemal zawsze podawana w centymetrach (np. $f = 25\text{ cm}$).
• Jeśli podstawisz $Z = \frac{1}{25}$, otrzymasz $0{,}04$ — to jest KATASTROFALNY BŁĄD!
• Prawidłowy krok: najpierw zamień na metry: $f = 25\text{ cm} = \mathbf{0{,}25\text{ m}}$, a dopiero potem dziel: \[ Z = \frac{1}{0{,}25\text{ m}} = \mathbf{+4\text{ D}} \]

„Plusy” i „minusy” w okularach korekcyjnych

W optyce okulistycznej moc soczewek podaje się właśnie w dioptriach:

Soczewki skupiające mają $Z > 0$ (np. $+1{,}5\text{ D}$, $+3{,}0\text{ D}$):
Nazywane potocznie „plusami”. Służą do korekcji dalekowzroczności (nadwzroczności) oraz starczowzroczności (okulary do czytania). Pomagają zbyt słabemu układowi optycznemu oka skupić obraz na siatkówce.
Soczewki rozpraszające mają $Z < 0$ (np. $-2{,}0\text{ D}$, $-4{,}5\text{ D}$):
Nazywane potocznie „minusami”. Służą do korekcji krótkowzroczności. Ich zadaniem jest wstępne rozproszenie zbyt silnie skupianych promieni, by ostry obraz przesunął się w głąb oka — dokładnie na siatkówkę.

7. Soczewka ma ogniskową $f = 25\text{ cm}$. Jej zdolność skupiająca wynosi:

$0{,}04\text{ D}$ $+0{,}25\text{ D}$ $+4\text{ D}$ $+25\text{ D}$

8. Okulary o zdolności skupiającej $Z = -2{,}5\text{ D}$ to soczewki:

skupiające, stosowane przy dalekowzroczności płaskie, niemające zdolności skupiającej skupiające o ogniskowej $-40\text{ cm}$ rozpraszające, stosowane przy krótkowzroczności

9. Dlaczego przy obliczaniu $Z$ trzeba zamienić centymetry na metry?

Bo dioptria jest zdefiniowana przez ogniskową wyrażoną w metrach Bo pomiary w centymetrach są zbyt mało dokładne do obliczeń Bo jednostką zdolności skupiającej jest centymetr Bo ogniskowa w zadaniach zawsze jest podana w metrach

4. Doświadczenie: Jak wyznaczyć ogniskową lupy za pomocą Słońca?

Nie musisz znać promieni krzywizny szkła, by poznać ogniskową lupy ze swojego biurka. Wystarczy słoneczny dzień:

Słońce znajduje się w odległości $150\text{ mln km}$, co w optyce oznacza odległość praktycznie nieskończoną ($x \to \infty$). Promienie słoneczne padają na Ziemię jako wiązka ściśle równoległa.
Ustaw soczewkę prostopadle do promieni słonecznych, a za nią umieść ekran (np. białą kartkę papieru lub kawałek tektury).
Zbliżaj i oddalaj kartkę od soczewki, aż na papierze pojawi się najmniejsza i najjaśniejsza plamka światła (ognisko).
Zmierz zwykłą linijką odległość od środka soczewki do kartki papieru — jest to dokładnie ogniskowa $f$ Twojej lupy!

OSTRZEŻENIE BHP:
• NIGDY nie wolno patrzeć przez soczewkę skupiającą bezpośrednio na Słońce! Skupione promienie słoneczne w ułamku sekundy trwale wypalają siatkówkę oka, powodując nieodwracalną ślepotę!
• Skupione w ognisku promienie słoneczne osiągają temperaturę kilkuset stopni Celsjusza i mogą błyskawicznie podpalić papier lub suchą trawę.

10. Dlaczego promienie słoneczne padające na lupę można uznać za równoległe?

Bo Słońce ma niewielką średnicę w porównaniu ze średnicą Ziemi Bo Słońce jest tak daleko, że wiązka jest praktycznie równoległa Bo atmosfera prostuje wszystkie promienie Bo soczewka sama ustawia promienie równolegle

11. Najmniejsza i najjaśniejsza plamka na kartce powstaje, gdy kartka znajduje się:

w odległości $2f$ od soczewki tuż przy samej soczewce w ognisku, czyli w odległości $f$ bardzo daleko za soczewką

12. Dlaczego nie wolno patrzeć przez lupę w stronę Słońca?

Bo obraz Słońca jest odwrócony i trudny do rozpoznania Bo szkło soczewki pęka pod wpływem światła Bo światło słoneczne traci w soczewce barwę Bo skupione promienie mogą trwale uszkodzić siatkówkę oka

Animacja interaktywna: Symulator soczewki, ogniska i dioptrii

Sprawdź osobiście, jak zmienia się bieg promieni, gdy przekształcasz soczewkę skupiającą w rozpraszającą. Reguluj ogniskową i obserwuj, jak automatycznie przeliczają się dioptrie:

Ogniskowa ($f$): 12 cm (Z = +8,3 D)

13. W symulatorze zwiększasz ogniskową soczewki skupiającej z $12\text{ cm}$ do $20\text{ cm}$. Wskazanie zdolności skupiającej:

maleje, bo $Z$ jest odwrotnością $f$ rośnie, bo większa ogniskowa oznacza mocniejszą soczewkę nie zmienia się, bo zależy tylko od kształtu zmienia znak na ujemny

14. Po przełączeniu soczewki skupiającej na rozpraszającą o tej samej wartości $|f|$ wskazanie dioptrii:

pozostaje dodatnie zmienia znak na ujemny spada do zera rośnie dwukrotnie

15. W symulatorze soczewki rozpraszającej promienie równoległe do osi po przejściu przez soczewkę:

skupiają się w ognisku rzeczywistym leżącym za soczewką biegną dalej bez żadnej zmiany kierunku, jakby soczewki nie było rozbiegają się, a ich przedłużenia wstecz przecinają się przed soczewką załamują się pod kątem $90^\circ$ do osi optycznej

Przykłady obliczeniowe krok po kroku

Przykład 1 — obliczanie zdolności skupiającej lupy

Treść: Podczas doświadczenia ze światłem słonecznym uczeń ustalił, że ogniskowa lupy wynosi $f = 12{,}5\text{ cm}$.
Oblicz zdolność skupiającą $Z$ tej soczewki w dioptriach.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wypisujemy dane i zamieniamy centymetry na metry: \[ f = 12{,}5\text{ cm} = 0{,}125\text{ m} \]
Zapisujemy wzór na zdolność skupiającą: \[ Z = \frac{1}{f} \]
Podstawiamy wartość w metrach: \[ Z = \frac{1}{0{,}125\text{ m}} = \frac{1000}{125}\text{ D} = \mathbf{+8\text{ D}} \]

Odpowiedź: Zdolność skupiająca lupy wynosi $+8\text{ dioptrii}$ ($+8\text{ D}$).

Przykład 2 — wyznaczanie ogniskowej z recepty okulistycznej

Treść: Okulista zapisał pacjentowi szkła korekcyjne o zdolności skupiającej $Z = -2{,}5\text{ D}$.
a) Jaki to rodzaj soczewki (skupiająca czy rozpraszająca)?
b) Ile wynosi ogniskowa tej soczewki wyrażona w centymetrach?

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozpoznanie typu soczewki:
Zdolność skupiająca ma znak ujemny ($Z < 0$). Oznacza to, że jest to soczewka rozpraszająca (wklęsła), korygująca krótkowzroczność.
Obliczenie ogniskowej:
Przekształcamy wzór $Z = \frac{1}{f} \implies f = \frac{1}{Z}$: \[ f = \frac{1}{-2{,}5\text{ D}} = -0{,}4\text{ m} \]
Przeliczamy metry na centymetry: \[ f = -0{,}4\text{ m} = \mathbf{-40\text{ cm}} \]

Odpowiedź: Jest to soczewka rozpraszająca o ogniskowej równej $-40\text{ cm}$ (jej ognisko pozorne leży $40\text{ cm}$ przed soczewką).

16. Lupa ma ogniskową $f = 12{,}5\text{ cm}$. Jej zdolność skupiająca wynosi:

$+0{,}08\text{ D}$ $+1{,}25\text{ D}$ $+12{,}5\text{ D}$ $+8\text{ D}$

17. Okulista zapisał szkła o zdolności skupiającej $Z = -2{,}5\text{ D}$. Ogniskowa tych soczewek wynosi:

$-40\text{ cm}$ $-2{,}5\text{ cm}$ $+40\text{ cm}$ $-25\text{ cm}$

18. Ujemna zdolność skupiająca oznacza, że soczewka:

jest skupiająca i ma ognisko rzeczywiste jest rozpraszająca i ma ognisko pozorne w ogóle nie załamuje światła ma dodatnią ogniskową, ale odwróconą oś

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie transferowe: Szklana butelka w suchym lesie a pożar

Jak śmieci w lesie stają się podpalaczem?

Leśnicy i strażacy nieustannie apelują o bezwzględny zakaz porzucania szklanych i plastikowych butelek w lasach, zwłaszcza podczas letnich upałów. Jak fizyka tłumaczy to zagrożenie?

Okrągła szklana butelka (szczególnie wypełniona resztkami deszczówki lub napoju) ma przekrój kołowy — działa w przestrzeni dokładnie tak jak gruba cylindryczna soczewka skupiająca.
W upalny dzień silne promienie słoneczne padają na butelkę i zostają załamane, skupiając się w wąskim, ostrym pasie ogniska na ściółce leśnej (suchym mchu, opadłych igłach sosnowych lub liściach).
Temperatura w punkcie skupienia promieni potrafi w kilka minut przekroczyć $300\text{–}400^\circ\text{C}$, co wystarcza do natychmiastowego zapłonu suchej ściółki i wywołania niszczycielskiego pożaru lasu!

19. Butelka z resztką wody, leżąca w słońcu na leśnej ściółce, działa jak:

płaskie zwierciadło pryzmat rozpraszający światło soczewka skupiająca o krótkiej ogniskowej filtr zatrzymujący promieniowanie UV

20. Dlaczego porzucona butelka może wywołać pożar lasu?

Bo odbija światło jak lustro i oślepia przechodzące zwierzęta Bo nagrzewa się od słońca i sama się zapala Bo zatrzymuje promieniowanie UV i nagrzewa powietrze nad ściółką Bo skupia promienie w małym punkcie o bardzo wysokiej temperaturze

21. Która sytuacja stwarza największe ryzyko zapłonu ściółki?

Butelka z wodą ustawiona w słońcu na suchym mchu Pusta butelka leżąca w cieniu drzewa Butelka zakopana w wilgotnej ziemi Butelka z wodą stojąca w cieniu pod ścianą

Sprawdź swoją wiedzę — szybki quiz

Podsumowanie modułu

Soczewki skupiające: grubsze w środku, skupiają promienie w ognisku rzeczywistym ($f > 0$), $Z > 0$ (okulary „plusy”).
Soczewki rozpraszające: cieńsze w środku, rozpraszają wiązkę, ognisko pozorne ($f < 0$), $Z < 0$ (okulary „minusy”).
Zdolność skupiająca: $Z = \frac{1}{f}$, jednostka: dioptria [$\text{D}$] ($1\text{ D} = 1/\text{m}$). Przed obliczeniem $Z$ ogniskowa musi być wyrażona w metrach!
W następnym module: jak powstają obrazy w soczewkach? W Module 07 nauczysz się konstruować obrazy w soczewkach za pomocą promieni charakterystycznych, poznasz równanie soczewki i dowiesz się, jak działa lupa oraz projektor filmowy!