Optyka — kurs podstawowy › Blok I: Źródła światła i zwierciadła

Moduł 03: Zwierciadła kuliste wklęsłe i wypukłe

PPrezentacja dla nauczyciela

W zwierciadle płaskim obraz jest zawsze prosty i dokładnie tej samej wielkości co przedmiot. Wystarczy jednak spojrzeć na metalową łyżkę stołową, by zauważyć coś niezwykłego: w jej zagłębieniu widzimy naszą twarz do góry nogami, a po drugiej stronie — miniaturową i wyprostowaną! W tym module odkryjesz prawa rządzące zwierciadłami sferycznymi: poznasz ognisko i ogniskową, opanujesz bieg promieni charakterystycznych oraz nauczysz się konstruować obrazy rzeczywiste i pozorne.

Czego nauczysz się w tym module?

Rozróżnisz zwierciadło kuliste wklęsłe od wypukłego i wskażesz ich codzienne odpowiedniki.
Zdefiniujesz pojęcia geometryczne: oś optyczną, wierzchołek $W$, środek krzywizny $O$, promień $r$, ognisko $F$ i ogniskową $f = \frac{r}{2}$.
Wyjaśnisz różnicę między ogniskiem rzeczywistym (wklęsłe) a ogniskiem pozornym (wypukłe).
Wykorzystasz 3 promienie charakterystyczne do geometrycznej konstrukcji obrazów.
Przeanalizujesz 5 położeń przedmiotu przed zwierciadłem wklęsłym i zrozumiesz, kiedy obraz jest rzeczywisty, a kiedy pozorny i powiększony (np. w lusterku kosmetycznym).
Wyjaśnisz, dlaczego zwierciadło wypukłe daje zawsze obraz pomniejszony i dlaczego jest niezastąpione w lusterkach samochodowych i drogowych.

1. Jaki związek wiąże ogniskową zwierciadła kulistego z promieniem krzywizny?

$f = r/2$ $f = r$ $f = 2r$ $f = r/4$

2. Które zwierciadło ma ognisko pozorne?

Wklęsłe Wypukłe Płaskie Każde zwierciadło kuliste

3. Ile promieni charakterystycznych wystarczy narysować, aby wyznaczyć położenie obrazu?

Jeden Pięć Dwa Co najmniej cztery

1. Czym są zwierciadła kuliste (sferyczne)?

Zwierciadło sferyczne to gładka powierzchnia odbijająca światło, która stanowi wycinek powierzchni kuli (czaszy kulistej). W zależności od tego, po której stronie wycinka kuli znajduje się warstwa odbijająca, wyróżniamy dwa typy zwierciadeł:

Zwierciadło kuliste wklęsłe

Światło odbija się od wewnętrznej powierzchni czaszy (tak jak wewnątrz miski lub zagłębienia łyżki stołowej).

Działa jak układ skupiający promienie świetlne.
W zależności od odległości przedmiotu może tworzyć obrazy rzeczywiste (odwrócone) lub pozorne (powiększone).
Zastosowanie: reflektory samochodowe, latarki, lusterka kosmetyczne, teleskopy astronomiczne, elektrownie słoneczne.

Zwierciadło kuliste wypukłe

Światło odbija się od zewnętrznej powierzchni czaszy (tak jak od zewnętrznego brzuszka łyżki lub bombki choinkowej).

Działa jak układ rozpraszający wiązkę światła.
Daje zawsze obraz pozorny, prosty i pomniejszony, niezależnie od odległości!
Daje bardzo szerokie pole widzenia (panoramę).
Zastosowanie: prawe lusterko samochodowe, lustra drogowe na skrzyżowaniach, lustra bezpieczeństwa w sklepach.

4. Zwierciadło kuliste wklęsłe odbija światło od:

Zewnętrznej powierzchni czaszy Płaskiej tafli szklanej Czoła soczewki skupiającej Wewnętrznej powierzchni czaszy

5. Który zestaw zastosowań odpowiada zwierciadłu wypukłemu?

Lusterko samochodowe, lustro drogowe, lustro w sklepie Reflektor samochodowy, latarka, teleskop astronomiczny Lusterko kosmetyczne, lusterko dentystyczne Peryskop, kalejdoskop

6. Czym różni się działanie zwierciadła wypukłego od wklęsłego?

Oba skupiają promienie, ale w różnych odległościach Wypukłe rozprasza wiązkę, a wklęsłe ją skupia Wypukłe skupia wiązkę, a wklęsłe ją rozprasza Oba rozpraszają wiązkę, ale wypukłe silniej

2. Kluczowe elementy geometrii zwierciadła

Aby konstruować bieg promieni w zwierciadłach sferycznych, wprowadzamy układ odniesienia oparty na geometrii kuli:

Środek krzywizny ($O$): geometryczny środek kuli, której wycinkiem jest zwierciadło.
Promień krzywizny ($r$): promień tej kuli (odległość od środka $O$ do zwierciadła).
Wierzchołek zwierciadła ($W$): punkt centralny na powierzchni czaszy zwierciadła.
Główna oś optyczna: prosta przechodząca przez środek krzywizny $O$ i wierzchołek $W$. Jest to oś symetrii całego układu.
Ognisko ($F$, z łac. focus): punkt na głównej osi optycznej, w którym po odbiciu przecinają się (lub którego przedłużenia przecinają się) promienie biegnące pierwotnie równolegle do osi optycznej.
Ogniskowa ($f$): odległość od wierzchołka zwierciadła $W$ do ogniska $F$.

Fundamentalna zależność ogniskowej:
Dla zwierciadeł kulistych o małym kącie rozwarcia (tzw. zwierciadeł paraksjalnych) ognisko $F$ leży dokładnie w połowie promienia krzywizny: \[ f = \frac{r}{2} \iff r = 2f \] Środek krzywizny $O$ leży zatem w odległości podwójnej ogniskowej ($2f$) od zwierciadła!

7. Promień krzywizny zwierciadła wynosi $r = 24\text{ cm}$. Ogniskowa tego zwierciadła to:

$24\text{ cm}$ $48\text{ cm}$ $12\text{ cm}$ $6\text{ cm}$

8. W jakiej odległości od wierzchołka zwierciadła leży środek krzywizny $O$?

W ognisku, czyli w odległości $f$ W odległości $f/2$ W odległości $4f$ W odległości $2f$

9. Czym jest główna oś optyczna zwierciadła kulistego?

Prostą przechodzącą przez środek krzywizny $O$ i wierzchołek $W$ Prostą styczną do zwierciadła w wierzchołku Odcinkiem między ogniskiem $F$ a wierzchołkiem $W$, czyli ogniskową Dowolną prostą przechodzącą przez ognisko $F$

3. Promienie charakterystyczne do konstrukcji obrazów

Każdy punkt świecącego przedmiotu wysyła nieskończenie wiele promieni. Aby jednak znaleźć położenie obrazu na rysunku, wystarczy narysować bieg dowolnych dwóch spośród trzech tzw. promieni charakterystycznych:

Promień równoległy do osi optycznej:
Biegnie z czubka przedmiotu równolegle do głównej osi optycznej. Po odbiciu od zwierciadła wklęsłego przechodzi przez ognisko $F$ (w zwierciadle wypukłym jego przedłużenie przechodzi przez ognisko pozorne).
Promień ogniskowy (przechodzący przez ognisko $F$):
Biegnie z czubka przedmiotu przez ognisko $F$ do zwierciadła. Po odbiciu biegnie równolegle do głównej osi optycznej (wynika to bezpośrednio z zasady odwracalności biegu promieni świetlnych).
Promień środkowy (przechodzący przez środek krzywizny $O$):
Biegnie przez środek kuli $O$. Ponieważ uderza w powierzchnię kuli pod kątem prostym ($90^\circ$, czyli wzdłuż normalnej), kąt padania wynosi $\alpha = 0^\circ$. Po odbiciu zawraca dokładnie po tej samej linii!

10. Promień biegnący równolegle do głównej osi optycznej po odbiciu od zwierciadła wklęsłego:

Zawraca po tej samej linii Przechodzi przez ognisko $F$ Biegnie przez środek krzywizny $O$ Pozostaje równoległy do osi

11. Promień przechodzący przez ognisko $F$ po odbiciu od zwierciadła wklęsłego:

Przechodzi przez środek krzywizny $O$ Zawraca po tej samej linii Biegnie równolegle do głównej osi optycznej Przechodzi przez ognisko po drugiej stronie zwierciadła

12. Promień biegnący przez środek krzywizny $O$ pada na zwierciadło wzdłuż normalnej. Po odbiciu:

Biegnie równolegle do osi optycznej Przechodzi przez ognisko $F$ Odbija się pod kątem prostym Zawraca po tej samej linii

4. Konstrukcje obrazów w zwierciadle wklęsłym — 5 przypadków

Charakter obrazu w zwierciadle wklęsłym zależy radykalnie od tego, w jakiej odległości $x$ od zwierciadła ustawimy przedmiot:

Położenie przedmiotu ($x$)	Gdzie powstaje obraz ($y$)?	Cechy obrazu	Praktyczny przykład
$x > 2f$ (za środkiem krzywizny)	Między ogniskiem a środkiem ($f < y < 2f$)	rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony ($p < 1$)	Zwierciadło teleskopu astronomicznego fotografujące odległe gwiazdy
$x = 2f$ (w środku krzywizny $O$)	Dokładnie w środku krzywizny ($y = 2f$)	rzeczywisty, odwrócony, równy ($p = 1$)	Punkt graniczny skali powiększenia
$f < x < 2f$ (między ogniskiem a środkiem)	Za środkiem krzywizny ($y > 2f$)	rzeczywisty, odwrócony, powiększony ($p > 1$)	Projektory zwierciadlane (rzucanie dużego obrazu na ekran)
$x = f$ (w ognisku)	W nieskończoności ($y \to \infty$)	Obraz nie powstaje (promienie odbite są ściśle równoległe)	Reflektory samochodowe, szperacze, latarki: żarówka umieszczona w $F$ tworzy wąską, dalekosiężną wiązkę równoległą!
$x < f$ (między ogniskiem a zwierciadłem)	Za zwierciadłem	pozorny, prosty, powiększony ($p > 1$)	Lusterko kosmetyczne (do makijażu/golenia) oraz lusterko stomatologiczne dentysty!

Czym różni się obraz rzeczywisty od pozornego?
• Obraz rzeczywisty: powstaje z fizycznego przecięcia rzeczywistych promieni świetlnych. Można go złapać na ekranie (np. kartce papieru umieszczonej w odległości $y$).
• Obraz pozorny: promienie odbite rozbiegają się, a obraz powstaje w miejscu przecięcia ich myślowych przedłużeń „za lustrem”. Widzi go nasze oko, ale nie da się go wyświetlić na ekranie!

13. Przedmiot stoi dalej niż środek krzywizny ($x > 2f$). Jaki obraz powstaje?

Rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony Rzeczywisty, odwrócony i powiększony Pozorny, prosty i powiększony Rzeczywisty, prosty i tej samej wielkości

14. Przedmiot umieszczono dokładnie w ognisku ($x = f$). Co powstaje?

Obraz rzeczywisty tej samej wielkości co przedmiot Obraz nie powstaje, bo promienie odbite są równoległe Obraz pozorny i powiększony Obraz rzeczywisty i pomniejszony

15. Lusterko kosmetyczne daje obraz prosty i powiększony, gdy twarz znajduje się:

Dalej niż $2f$ Dokładnie w odległości $2f$ Bliżej niż $f$ Dokładnie w ognisku $F$

5. Zwierciadło wypukłe — dlaczego jest niezastąpione na drogach?

W zwierciadle kulistym wypukłym ognisko $F$ oraz środek krzywizny $O$ znajdują się za zwierciadłem. Oznacza to, że promienie odbite zawsze się rozbiegają. W konsekwencji:

Żelazna reguła zwierciadła wypukłego:
Niezależnie od tego, jak daleko lub blisko ustawimy przedmiot przed zwierciadłem wypukłym, powstający obraz jest ZAWSZE:

Pozorny (powstaje za zwierciadłem na przedłużeniu promieni),
Prosty (nieodwrócony do góry nogami),
Pomniejszony ($p < 1$).

Dlaczego pomniejszenie jest zaletą?
Ponieważ każdy element obrazu jest mniejszy, w niewielkiej powierzchni lustra mieści się ogromny wycinek przestrzeni (bardzo szeroki kąt widzenia). Z tego powodu zwierciadła wypukłe montuje się:

Na niebezpiecznych, ciasnych skrzyżowaniach i wyjazdach z posesji (kierowca widzi nadjeżdżające pojazdy zza rogu budynku).
Jako prawe i zewnętrzne lusterka w samochodach (redukcja tzw. martwego pola). Uwaga: obiekty w lustrze wypukłym wydają się dalej niż są w rzeczywistości!
W sklepach i marketach pod sufitem (monitoring alejek sklepowych).

16. Jakie cechy ma obraz w zwierciadle wypukłym, niezależnie od odległości przedmiotu?

Rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony Pozorny, odwrócony i powiększony Rzeczywisty, prosty i tej samej wielkości Pozorny, prosty i pomniejszony

17. Dlaczego zwierciadło wypukłe daje tak szerokie pole widzenia?

Bo obraz jest pomniejszony, więc w lustrze mieści się duży wycinek przestrzeni Bo ma znacznie większą ogniskową niż lustro płaskie Bo odbija więcej światła niż płaskie lustro tej samej wielkości Bo odwraca obraz do góry nogami i pokazuje go w całości

18. Dlaczego w lusterku wypukłym samochodu obiekty wydają się dalsze, niż są?

Bo obraz jest powiększony, więc zajmuje więcej miejsca Bo obraz jest pomniejszony, a mózg odczytuje to jako większą odległość Bo lustro odwraca obraz i zaburza ocenę kierunku Bo lustro pochłania część światła i obraz jest ciemniejszy

Animacja interaktywna: Symulator zwierciadła wklęsłego i wypukłego

Przekonaj się na własne oczy, jak działa ognisko i jak zmienia się obraz. Zmieniaj rodzaj zwierciadła (wklęsłe / wypukłe), przesuwaj przedmiot suwakiem wzdłuż osi optycznej i obserwuj bieg promieni charakterystycznych:

Odległość przedmiotu ($x$): 22 cm

Ogniskowa ($f$): 9 cm (r = 18 cm)

19. W symulatorze przesuwasz przedmiot od $x > 2f$ do $x = 2f$ (zwierciadło wklęsłe). Co dzieje się z obrazem?

Staje się pozorny i prosty, jak w lusterku kosmetycznym Maleje i przesuwa się coraz bliżej ogniska Rośnie do rozmiarów przedmiotu i przesuwa się do $2f$ Znika, bo promienie stają się równoległe

20. W symulatorze przełączasz zwierciadło z wklęsłego na wypukłe, nie zmieniając położenia przedmiotu. Obraz:

Staje się rzeczywisty i odwrócony Pozostaje tej samej wielkości Odwraca się do góry nogami Staje się pozorny, prosty i mniejszy

21. W symulatorze zwiększasz ogniskową z $9\text{ cm}$ do $12\text{ cm}$ przy niezmienionym $x = 22\text{ cm}$ (zwierciadło wklęsłe). Przedmiot znajdzie się wtedy między $f$ a $2f$, więc obraz:

Stanie się rzeczywisty, odwrócony i powiększony Pozostanie rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony Stanie się pozorny i prosty Przestanie powstawać

Przykłady obliczeniowo-geometryczne krok po kroku

Przykład 1 — wyznaczenie ogniska i analiza cech obrazu

Treść: Promień krzywizny zwierciadła wklęsłego wynosi $r = 40\text{ cm}$. Przed zwierciadłem ustawiono zapaloną świecę w odległości $x = 50\text{ cm}$.
a) Ile wynosi ogniskowa $f$ tego zwierciadła?
b) Określ cechy powstałego obrazu bez rysowania pełnej konstrukcji.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie ogniskowej: \[ f = \frac{r}{2} = \frac{40\text{ cm}}{2} = \mathbf{20\text{ cm}} \]
Porównanie położenia przedmiotu $x$ z $f$ i $2f$:
• Ogniskowa: $f = 20\text{ cm}$.
• Środek krzywizny: $2f = r = 40\text{ cm}$.
• Odległość przedmiotu: $x = 50\text{ cm}$.
Widzimy, że $x > 2f$ (świeca stoi dalej niż środek krzywizny zwierciadła).
Określenie cech obrazu:
Dla $x > 2f$ powstający obraz jest:
• rzeczywisty,
• odwrócony,
• pomniejszony ($p < 1$).

Odpowiedź: Ogniskowa wynosi $20\text{ cm}$, a obraz świecy jest rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony.

Przykład 2 — lusterko kosmetyczne (do makijażu)

Treść: Zwierciadło powiększające do makijażu ma ogniskową $f = 30\text{ cm}$.
a) Jaki to typ zwierciadła (wklęsłe czy wypukłe)?
b) W jakiej odległości od twarzy należy je trzymać, aby widzieć w nim powiększony i nieodwrócony obraz swojej twarzy?

Rozwiązanie krok po kroku:

Zwierciadło płaskie daje zawsze obraz niepowiększony ($p=1$), a zwierciadło wypukłe daje zawsze obraz pomniejszony ($p<1$). Jedynym zwierciadłem zdolnym wytworzyć obraz powiększony i prosty jest zwierciadło wklęsłe.
Aby obraz w zwierciadle wklęsłym był prosty i pozorny (oraz powiększony), przedmiot musi znajdować się bliżej niż ognisko: \[ x < f \]
Skoro $f = 30\text{ cm}$, twarz musi znajdować się w odległości mniejszej niż $30\text{ cm}$ od powierzchni lusterka (np. $15\text{–}20\text{ cm}$). Gdybyśmy odsunęli twarz dalej niż $30\text{ cm}$, zobaczylibyśmy własną twarz odwróconą do góry nogami!

Odpowiedź: Jest to zwierciadło wklęsłe, a twarz musi znajdować się w odległości mniejszej niż $30\text{ cm}$ ($x < f$).

22. Zwierciadło wklęsłe ma $r = 40\text{ cm}$, a świeca stoi $50\text{ cm}$ przed nim. Ogniskowa i obraz to:

$f = 80\text{ cm}$; obraz pozorny i prosty $f = 20\text{ cm}$; obraz rzeczywisty, odwrócony i pomniejszony $f = 20\text{ cm}$; obraz pozorny, prosty i powiększony $f = 40\text{ cm}$; obraz rzeczywisty i tej samej wielkości

23. Lusterko do makijażu ma ogniskową $f = 30\text{ cm}$. Aby obraz twarzy był prosty i powiększony, twarz musi być:

Dokładnie $30\text{ cm}$ od lusterka Między $30\text{ cm}$ a $60\text{ cm}$ od lusterka Bliżej niż $30\text{ cm}$ od lusterka Dalej niż $60\text{ cm}$ od lusterka

24. Dlaczego lusterko powiększające musi być wklęsłe?

Bo zwierciadło wypukłe zawsze odwraca obraz Bo tylko zwierciadło wklęsłe odbija światło w stronę oka Bo obraz w zwierciadle płaskim jest pozorny i mniejszy Bo tylko wklęsłe przy $x < f$ daje obraz pozorny, prosty i powiększony

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie transferowe: Teleskop Newtona i anteny satelitarne

Jak wklęsła czasza zbiera sygnał z kosmosu?

W 1668 roku sir Isaac Newton skonstruował pierwszy działający teleskop zwierciadlany (reflektor). Zamiast drogich szklanych soczewek, które zniekształcały barwy gwiazd, użył wklęsłego zwierciadła sferycznego jako zwierciadła głównego na dnie tubusu.

Światło odległych gwiazd dociera do Ziemi jako wiązka promieni idealnie równoległych do osi optycznej.
Wklęsłe zwierciadło główne skupia całe to światło w jednym punkcie — swoim ognisku $F$.
Newton ustawił tuż przed ogniskiem małe płaskie zwierciadełko nachylone pod kątem $45^\circ$, które wyrzuca skupioną wiązkę w bok tubusu wprost do okularu.
Dokładnie na tej samej zasadzie działają czasze anten satelitarnych: metalowa czasza to zwierciadło wklęsłe (paraboliczne), a konwerter odbierający sygnał telewizyjny umieszczony jest precyzyjnie w jej ognisku $F$, skupiając niewidzialne fale radiowe wysyłane przez satelitę odległego o $36\,000\text{ km}$!

25. W teleskopie Newtona światło odległej gwiazdy po odbiciu od zwierciadła głównego:

Skupia się w ognisku $F$ tego zwierciadła Biegnie dalej równolegle Rozprasza się na całej powierzchni tubusu Zawraca w stronę gwiazdy

26. Jaką rolę w teleskopie Newtona pełni małe płaskie zwierciadełko pod kątem $45^\circ$?

Powiększa obraz gwiazdy przed okularem Kieruje skupioną wiązkę w bok tubusu, do okularu Zatrzymuje nadmiar światła i chroni okular Rozdziela światło na barwy, jak pryzmat

27. Dlaczego konwerter anteny satelitarnej umieszcza się w ognisku czaszy?

Bo tylko tam panuje odpowiednio niska temperatura Bo czasza odbija fale we wszystkich kierunkach równie mocno Bo równoległe promienie od satelity skupiają się właśnie w tym punkcie Bo sygnał dociera wyłącznie do środka czaszy, a nie na brzegi

Sprawdź swoją wiedzę — szybki quiz

Podsumowanie modułu

Ogniskowa i promień: ognisko leży w połowie promienia krzywizny ($f = \frac{r}{2}$, $r = 2f$).
Zwierciadło wklęsłe (skupiające): ma ognisko rzeczywiste. Dla $x > f$ tworzy obrazy rzeczywiste i odwrócone (pomniejszone, równe lub powiększone). Dla $x < f$ tworzy obraz pozorny, prosty i powiększony (lusterko kosmetyczne). Dla $x = f$ daje wiązkę równoległą (reflektory).
Zwierciadło wypukłe (rozpraszające): ma ognisko pozorne. Tworzy ZAWSZE obraz pozorny, prosty i pomniejszony, oferując bardzo szerokie pole widzenia (lustra drogowe, samochodowe).
W następnym module: czas na Moduł 04: Sprawdzian I: bieg światła i zwierciadła — podsumujesz cały Blok I, sprawdzisz swoje umiejętności w przekrojowym teście z zadaniami obliczeniowymi i konstrukcyjnymi!