POWTÓRKA PRZEKROJOWA

Wielki zestaw zadań — wszystkie moduły

Rozwiąż zadania bez zaglądania do podpowiedzi. Potem rozwiń rozwiązanie, porównaj kolejne kroki i zaznacz, co warto powtórzyć.

01. Start: jednostki, obwód i pole

Odróżnisz obwód od pola i dobierzesz właściwe jednostki.

Prostokąt ma boki 12 cm i 0,5 m. Oblicz obwód w centymetrach i pole w cm².
Pokaż rozwiązanie
Zamieniamy 0,5 m = 50 cm. Obwód: 2 · 12 + 2 · 50 = 24 + 100 = 124 cm. Pole: 12 · 50 = 600 cm².
Ile centymetrów kwadratowych ma 3 m²? Ile metrów kwadratowych ma 4500 cm²?
Pokaż rozwiązanie
1 m² = 10 000 cm², więc 3 m² = 30 000 cm². Z kolei 4500 cm² = 4500 : 10 000 = 0,45 m².

Rozpoznasz zależności między kątami i wykorzystasz je w obliczeniach.

Dwa kąty przyległe: jeden jest trzy razy większy od drugiego. Podaj ich miary.
Pokaż rozwiązanie
Oznaczmy mniejszy kąt przez x. Wtedy x + 3x = 180°, czyli 4x = 180° i x = 45°. Kąty mają 45° i 135°.
Kąty wierzchołkowe mają miary (2x + 10)° i (3x − 20)°. Wyznacz x i miarę kąta.
Pokaż rozwiązanie
Kąty wierzchołkowe są równe: 2x + 10 = 3x − 20. Stąd x = 30. Kąt ma 2 · 30 + 10 = 70°.

Rozpoznasz rodzaje trójkątów i obliczysz brakujące kąty.

Kąty trójkąta mają miary 2x, 3x i 4x. Wyznacz x oraz miary kątów.
Pokaż rozwiązanie
Suma kątów wynosi 180°: 2x + 3x + 4x = 180°, więc 9x = 180° i x = 20°. Kąty to 40°, 60° i 80°.
Trójkąt ma kąty 35° i 55°. Oblicz trzeci kąt i określ rodzaj trójkąta.
Pokaż rozwiązanie
Trzeci kąt: 180° − 35° − 55° = 90°. Trójkąt ma kąt prosty, więc jest prostokątny.

Dobierzesz wzór na pole trójkąta i wskażesz właściwą wysokość.

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 9 cm i 12 cm. Oblicz jego pole i obwód.
Pokaż rozwiązanie
Pole: P = (9 · 12) : 2 = 54 cm². Przeciwprostokątna: c = √(81 + 144) = √225 = 15 cm. Obwód: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
Pole trójkąta wynosi 36 cm², a podstawa 9 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Pokaż rozwiązanie
Ze wzoru P = (a · h) : 2 mamy 36 = (9 · h) : 2, czyli 9h = 72. Stąd h = 8 cm.

Odróżnisz kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez.

Czworokąt ma przekątne równej długości, które przecinają się w połowie. Jaki to czworokąt? Uzasadnij.
Pokaż rozwiązanie
Równe przekątne przecinające się w połowie ma prostokąt (szczególnym przypadkiem jest kwadrat). Taki czworokąt ma cztery kąty proste.
W trapezie równoramiennym kąt przy dłuższej podstawie ma 72°. Podaj miary pozostałych kątów.
Pokaż rozwiązanie
Kąty przy tej samej podstawie są równe, więc drugi kąt przy dłuższej podstawie to też 72°. Kąty przy krótszej podstawie: 180° − 72° = 108° każdy.

Zastosujesz wzory na pola czworokątów i przekształcisz je, gdy brakuje wymiaru.

Romb ma przekątne 8 cm i 10 cm. Oblicz jego pole.
Pokaż rozwiązanie
Pole rombu: P = (e · f) : 2 = (8 · 10) : 2 = 40 cm².
Równoległobok ma pole 54 cm² i podstawę 9 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Pokaż rozwiązanie
P = a · h, więc 54 = 9 · h. Stąd h = 6 cm.

Podzielisz złożoną figurę na prostsze części i obliczysz jej pole lub obwód.

Figura składa się z prostokąta 12 cm × 5 cm i trójkąta o podstawie 12 cm i wysokości 4 cm. Oblicz pole figury.
Pokaż rozwiązanie
Pole prostokąta: 12 · 5 = 60 cm². Pole trójkąta: (12 · 4) : 2 = 24 cm². Razem: 60 + 24 = 84 cm².
Z prostokąta 12 cm × 7 cm wycięto dwa prostokąty 2 cm × 3 cm. Oblicz pole pozostałej figury.
Pokaż rozwiązanie
Pole dużego prostokąta: 12 · 7 = 84 cm². Oba wycięcia: 2 · (2 · 3) = 12 cm². Zostaje 84 − 12 = 72 cm².

Odróżnisz koło od okręgu i zastosujesz wzory z liczbą π.

Obwód koła wynosi 10π cm. Oblicz promień i pole koła.
Pokaż rozwiązanie
O = 2πr, więc 10π = 2πr i r = 5 cm. Pole: P = πr² = 25π cm².
Pole koła wynosi 49π cm². Oblicz obwód tego koła.
Pokaż rozwiązanie
πr² = 49π, więc r² = 49 i r = 7 cm. Obwód: O = 2πr = 14π cm.

Rozpoznasz przeciwprostokątną i obliczysz brakujący bok trójkąta prostokątnego.

Prostokąt ma boki 7 cm i 24 cm. Oblicz długość jego przekątnej.
Pokaż rozwiązanie
Przekątna to przeciwprostokątna: d² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Zatem d = 25 cm.
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą przyprostokątną.
Pokaż rozwiązanie
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, więc b = 12 cm.

Odczytasz punkty z siatki i rozpoznasz osie symetrii figur.

Odcinek AB ma końce A = (−3, 4) i B = (1, 4). Podaj jego długość i współrzędne środka.
Pokaż rozwiązanie
Oba punkty mają tę samą współrzędną y, więc długość to różnica x: 1 − (−3) = 4. Środek: ((−3 + 1) : 2, 4) = (−1, 4).
Punkt (5, −3) odbito względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne obrazu.
Pokaż rozwiązanie
Odbicie względem punktu (0, 0) zmienia znak obu współrzędnych: (5, −3) → (−5, 3).

Połączysz kilka faktów geometrycznych w jednym rozwiązaniu.

Trójkąt równoboczny ma obwód 24 cm. Oblicz jego pole.
Pokaż rozwiązanie
Bok: 24 : 3 = 8 cm. Wysokość: h² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48, więc h = 4√3 cm. Pole: P = (8 · 4√3) : 2 = 16√3 cm² (około 27,7 cm²).
Prostokąt ma pole 72 cm² i obwód 34 cm. Wyznacz długości jego boków.
Pokaż rozwiązanie
a + b = 17 oraz a · b = 72. Wypisujemy pary dzielników 72: 1 · 72 (suma 73), 2 · 36 (38), 3 · 24 (27), 4 · 18 (22), 6 · 12 (18), 8 · 9 (17). Pasuje para 8 i 9, bo 8 + 9 = 17 i 8 · 9 = 72. Boki mają 8 cm i 9 cm.

Rozwiążesz zadanie w stylu egzaminu i sprawdzisz, czy odpowiedź jest uzasadniona.

Uczeń obliczył obwód prostokąta o bokach 6 cm i 4 cm jako 6 · 4 = 24 cm. Wskaż błąd i podaj poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanie
Uczeń policzył pole, a nie obwód. Obwód to suma wszystkich boków: 2 · 6 + 2 · 4 = 20 cm. Poprawna odpowiedź to 20 cm.
Uczeń podał pole koła o promieniu 5 cm jako 10π cm². Wskaż błąd i podaj poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanie
10π to obwód (2πr), a nie pole. Pole liczymy ze wzoru P = πr² = π · 25 = 25π cm².