Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · klasa 8

MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 09

Twierdzenie Pitagorasa

PPrezentacja dla nauczyciela

Rozpoznasz przeciwprostokątną i obliczysz brakujący bok trójkąta prostokątnego. Rozwiąż przykłady, a potem sprawdź się w krótkim quizie.

Wprowadzenie

Twierdzenie Pitagorasa stosujemy wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna i jest najdłuższym bokiem.

abca² + b² = c²
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. W jakim trójkącie stosujemy twierdzenie Pitagorasa?
2. Przeciwprostokątna to bok leżący
3. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 3 cm i 4 cm. Przeciwprostokątna ma

Najważniejsza własność

Kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Jeśli szukasz przyprostokątnej, odejmij kwadrat drugiej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej. Na końcu sprawdź, czy wynik pasuje do rysunku. W trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° boki mają długości a, a√3 i 2a. W trójkącie 45°, 45°, 90° boki to a, a i a√2. Wynik często zostaje w postaci pierwiastka, np. √72 = 6√2.

Wzory i zasady do zapamiętania

a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna. Zatem c = √(a² + b²). 30°-60°-90°: a, a√3, 2a. 45°-45°-90°: a, a, a√2.

Sprytny krok

Najdłuższy bok zawsze stoi sam po jednej stronie twierdzenia Pitagorasa.

Przykład rozwiązany

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 cm i 12 cm. Oblicz przeciwprostokątną.

  1. Twierdzenie Pitagorasa: a² + b² = c².
  2. Podstawiamy: 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
  3. c = √225 = 15, bo 15² = 225.

Odpowiedź: 15 cm.

4. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają 9 cm i 12 cm. Przeciwprostokątna ma
5. Przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Druga przyprostokątna ma
6. Przekątna kwadratu o boku 5 cm ma długość

Spróbuj samodzielnie

  1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 6 cm i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.

    Pokaż rozwiązanie
    c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, więc c = 10 cm.

  2. Przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą przyprostokątną.

    Pokaż rozwiązanie
    b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, więc b = 12 cm.

  3. W trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° krótsza przyprostokątna ma 4 cm. Oblicz pozostałe boki.

    Pokaż rozwiązanie
    Naprzeciw kąta 30° leży krótsza przyprostokątna a = 4 cm. Przeciwprostokątna to 2a = 8 cm, a dłuższa przyprostokątna to a√3 = 4√3 cm.

  4. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają po 6 cm. Oblicz przeciwprostokątną i uprość wynik.

    Pokaż rozwiązanie
    c² = 36 + 36 = 72, więc c = √72 = √(36 · 2) = 6√2 cm.
7. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 6 cm i 8 cm. Przeciwprostokątna ma
8. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają po 6 cm. Przeciwprostokątna ma
9. W trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° krótsza przyprostokątna ma 4 cm. Przeciwprostokątna ma

Krótki quiz

Wybierz odpowiedź. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie.

Zapamiętaj

Rozpoznasz przeciwprostokątną i obliczysz brakujący bok trójkąta prostokątnego. Sprawdź, czy wynik da się uprościć: √72 = 6√2.

10. Jeżeli przeciwprostokątna ma 10 cm, a jedna przyprostokątna 6 cm, to druga przyprostokątna ma
11. Przekątna kwadratu o boku a ma długość
12. Trójkąt ma boki 7 cm, 24 cm i 25 cm. Jest prostokątny, ponieważ

Materiały edukacyjne Hyżyk · Figury płaskie — egzamin ósmoklasisty