Potwierdzone sprawdzone punkt po punkcie · 2026-10-26
← Wróć do spisu ← Wróć na pulpit
Matematyka · klasa 8

MISJA GEOMETRYCZNA · MODUŁ 02

Kąty i proste: znajdź brakującą miarę

PPrezentacja dla nauczyciela

Rozpoznasz zależności między kątami i wykorzystasz je w obliczeniach. Rozwiąż przykłady, a potem sprawdź się w krótkim quizie.

Wprowadzenie

Na rysunkach egzaminacyjnych często podano tylko jedną lub dwie miary kątów. Zamiast zgadywać, poszukaj sumy 90°, 180° albo 360°.

α α kąty wierzchołkowe k l α α k ∥ l: kąty odpowiadające równe
Rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na oznaczenia i zależności opisane w treści.
1. Dwa kąty tworzą razem kąt prosty. Jeden z nich ma 35°. Drugi ma
2. Dwa kąty przyległe tworzą razem kąt półpełny. Jeden z nich ma 118°. Drugi ma
3. Jeden kąt przyległy jest trzy razy większy od drugiego. Mniejszy z tych kątów ma

Najważniejsza własność

Kąty przyległe leżą przy jednej prostej i mają razem 180°. Kąty wierzchołkowe są równe. Kąt pełny ma 360°, a prosty 90°. Przy prostych równoległych przeciętych sieczną kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.

Wzory i zasady do zapamiętania

Przyległe: α + β = 180°. Wierzchołkowe: α = β. Kąty wokół punktu: suma = 360°. Przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.

Sprytny krok

Kąty przyległe sumują się do 180°, a wierzchołkowe są równe — najpierw ustal, który przypadek masz na rysunku.

Przykład rozwiązany

Dwie proste przecinają się. Jeden z kątów ma 65°. Podaj miary pozostałych trzech kątów.

  1. Kąt wierzchołkowy do danego też ma 65°.
  2. Kąt przyległy do 65° ma 180° − 65° = 115°.
  3. Czwarty kąt jest wierzchołkowy do kąta 115°, więc też ma 115°.

Odpowiedź: 65°, 115°, 115°.

4. Kąt przyległy do kąta 127° ma miarę
5. Kąty wierzchołkowe są
6. Przy dwóch prostych równoległych kąty odpowiadające są

Spróbuj samodzielnie

  1. Dwa kąty przyległe mają miary (3x + 15)° i (2x + 5)°. Oblicz x i miary kątów.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąty przyległe sumują się do 180°: 3x + 15 + 2x + 5 = 180. Stąd 5x = 160, x = 32. Kąty mają 111° i 69°; ich suma to 180°.

  2. Jeden z kątów wierzchołkowych ma 48°. Podaj miarę drugiego kąta wierzchołkowego oraz obu kątów przyległych.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt wierzchołkowy ma 48°. Każdy kąt przyległy ma 180° − 48° = 132°. Otrzymujemy: 48°, 132°, 48°, 132°.

  3. Proste k i l są równoległe, a sieczna tworzy z prostą k kąt 68°. Podaj miarę kąta naprzemianległego i odpowiadającego.

    Pokaż rozwiązanie
    Kąt odpowiadający i naprzemianległy są równe danemu, więc mają po 68°. Kąt przyległy do nich ma 180° − 68° = 112°.
7. Jeden z kątów wokół punktu ma 90°, drugi 130°, trzeci 70°. Czwarty ma
8. Kąt naprzemianległy do kąta 74° przy prostych równoległych ma miarę
9. Dwa kąty przyległe mają miary $(2x + 10)°$ i $(3x - 20)°$. Ile wynosi $x$?

Krótki quiz

Wybierz odpowiedź. Każde pytanie możesz rozwiązać niezależnie.

Zapamiętaj

Rozpoznasz zależności między kątami i wykorzystasz je w obliczeniach. Przy dwóch prostych równoległych wykorzystuj kąty odpowiadające i naprzemianległe.

10. Dwie proste przecinają się. Jeden z kątów ma 118°. Miary pozostałych trzech kątów to
11. Przy prostych równoległych kąt odpowiadający ma 115°. Kąt przyległy do niego przy tej samej prostej ma
12. Suma miar trzech kątów wokół punktu wynosi 250°. Czwarty kąt ma

Materiały edukacyjne Hyżyk · Figury płaskie — egzamin ósmoklasisty