PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 01
Wektor w układzie współrzędnych — podstawy
Zanim przesuniemy wykres, nauczymy się przesuwać pojedyncze punkty wektorem.
Wprowadzenie
Wyobraź sobie, że na kartce masz punkt A. Chcesz go przesunąć w inne miejsce, ale nie ręcznie — według konkretnej instrukcji. Taka instrukcja to właśnie wektor.
Wektor zapisujemy w nawiasach kwadratowych: [p, q]. Pierwsza liczba mówi, o ile przesunąć się w poziomie, a druga — o ile w pionie. Na przykład wektor [2, 3] oznacza: 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę. Wektor [−2, −3] oznacza: 2 jednostki w lewo i 3 jednostki w dół.
Wektor rysujemy jako strzałkę. Miejsce, z którego strzałka wychodzi, to początek wektora, a miejsce, do którego dochodzi — koniec. Współrzędne wektora mówią, jak przejść od początku do końca.
Ważne: wektor nie jest punktem. Punkt (2, 3) to konkretne miejsce na kartce. Wektor [2, 3] to ruch, czyli przesunięcie o 2 w prawo i 3 w górę. Punkt ma nawiasy okrągłe, a wektor — kwadratowe.
Popatrz na rysunek. Punkt A ma współrzędne (1, 2). Dodajemy wektor [3, −1]: do x dodajemy 3, a do y dodajemy −1. Otrzymujemy (1 + 3, 2 + (−1)) = (4, 1). To punkt B.
Każdy punkt można przesunąć o wektor w ten sam sposób. Wystarczy dodać pierwszą współrzędną wektora do x, a drugą do y.
Najważniejsza własność
Najważniejszy wzór jest krótki: punkt (x, y) przesunięty o wektor [p, q] daje punkt (x + p, y + q).
(x, y) + [p, q] = (x + p, y + q)
Wektor z punktu A = (x₁, y₁) do punktu B = (x₂, y₂): [x₂ − x₁, y₂ − y₁]
Znak współrzędnej mówi o kierunku:
- p dodatnie — w prawo, p ujemne — w lewo,
- q dodatnie — w górę, q ujemne — w dół.
Jeśli p = 0, punkt nie przesuwa się w poziomie. Jeśli q = 0, nie przesuwa się w pionie. Na przykład wektor [0, −4] przesuwa punkt tylko o 4 w dół.
Wektor to instrukcja ruchu, a nie punkt. Punkt (3, 2) i wektor [3, 2] wyglądają podobnie, ale znaczą coś innego. Punkt ma nawiasy okrągłe, wektor — kwadratowe.
Minus przy pierwszej współrzędnej oznacza ruch w lewo. Minus przy drugiej — ruch w dół. Nie ignoruj minusów, bo zmieniają kierunek.
Wektor między dwoma punktami liczymy „koniec minus początek”. Od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku. Jeśli A = (−2, 1), a B = (3, 4), to wektor AB = [3 − (−2), 4 − 1] = [5, 3].
Dodaj otrzymany wektor do punktu początkowego. Jeśli wrócisz do punktu końcowego, obliczenia są poprawne. Na przykład A + [5, 3] = (−2 + 5, 1 + 3) = (3, 4) = B.
Przykłady
Punkt A = (1, 2) przesuwamy o wektor [3, −1]. Podaj współrzędne nowego punktu B.
- Zapisujemy działanie: (1, 2) + [3, −1].
- Do x dodajemy 3: 1 + 3 = 4.
- Do y dodajemy −1: 2 + (−1) = 1.
- Nowy punkt to B = (4, 1). Na rysunku widać, że B leży 3 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół od A.
Odpowiedź: B = (4, 1).
Punkty A = (−2, 1) i B = (3, 4). Podaj wektor AB, który przesuwa A do B.
- Wektor AB liczymy tak: koniec minus początek.
- Pierwsza współrzędna: 3 − (−2) = 3 + 2 = 5.
- Druga współrzędna: 4 − 1 = 3.
- Zatem AB = [5, 3]. Sprawdzenie: A + [5, 3] = (−2 + 5, 1 + 3) = (3, 4) = B.
Odpowiedź: AB = [5, 3]. Wektor BA byłby przeciwny: [−5, −3].
Punkty A = (1, 2), B = (3, 0) i C = (0, −1) przesuwamy o wektor [−2, −3]. Podaj współrzędne nowych punktów.
- Punkt A: (1, 2) + [−2, −3] = (1 − 2, 2 − 3) = (−1, −1).
- Punkt B: (3, 0) + [−2, −3] = (3 − 2, 0 − 3) = (1, −3).
- Punkt C: (0, −1) + [−2, −3] = (0 − 2, −1 − 3) = (−2, −4).
- Każdy punkt przesunął się o 2 w lewo i 3 w dół. Wzajemne położenie punktów się nie zmieniło.
Odpowiedź: A′ = (−1, −1), B′ = (1, −3), C′ = (−2, −4).
Spróbuj samodzielnie
Punkt A = (2, 5) przesuń o wektor [4, −2]. Podaj współrzędne nowego punktu.
Pokaż rozwiązanie
Do x dodajemy 4: 2 + 4 = 6. Do y dodajemy −2: 5 + (−2) = 3. Nowy punkt to (6, 3).Punkt P = (−1, 3) przechodzi po przesunięciu do punktu Q = (2, −1). Podaj wektor tego przesunięcia.
Pokaż rozwiązanie
Wektor liczymy „koniec minus początek”: [2 − (−1), −1 − 3] = [3, −4]. Sprawdzenie: (−1, 3) + [3, −4] = (2, −1).Uczeń twierdzi: „Wektor [−3, 2] przesuwa punkt o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę”. Wskaż błąd i podaj poprawny opis.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza współrzędna to −3, więc punkt przesuwa się o 3 jednostki w lewo, a nie w prawo. Druga współrzędna 2 oznacza 2 jednostki w górę. Poprawnie: 3 w lewo i 2 w górę.Punkty A = (0, 1), B = (2, 3), C = (−1, 4) przesuń o wektor [2, −1]. Podaj współrzędne nowych punktów.
Pokaż rozwiązanie
A′ = (0 + 2, 1 − 1) = (2, 0). B′ = (2 + 2, 3 − 1) = (4, 2). C′ = (−1 + 2, 4 − 1) = (1, 3).
Wektor [p, q] to przesunięcie: p w poziomie, q w pionie. Punkt (x, y) przechodzi na (x + p, y + q). Dodatnie współrzędne przesuwają w prawo i w górę, ujemne — w lewo i w dół. Wektor między punktami liczymy „koniec minus początek”.