PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 07
Wykres y = k·f(x) oraz y = f(kx), k ≠ 0
Mnożnik przed funkcją działa inaczej niż mnożnik przy x.
Wprowadzenie
Mnożnik można postawić w dwóch miejscach wzoru. To ważne, bo każde miejsce robi co innego.
Przed funkcją: y = k · f(x). Najpierw liczysz f(x), a potem mnożysz wynik przez k. Mnożnik zmienia więc wartości y — działa w pionie.
Przy x: y = f(k · x). Najpierw mnożysz argument x przez k, a potem liczysz f. Mnożnik zmienia argumenty — działa w poziomie.
Zakładamy, że k ≠ 0. Dla k = 0 wzór y = 0·f(x) = 0 opisuje prostą y = 0, a nie przekształcenie wykresu.
Przed funkcją → zmieniasz y. Przy x → zmieniasz x. To dwa różne kierunki: pion i poziom.
Weź f(x) = x² i k = 2. Wtedy 2 · f(x) = 2x², ale f(2x) = (2x)² = 4x². Te funkcje mają inne wykresy. W pierwszej każda wartość y jest mnożona przez 2 — jej odległość od osi OX rośnie dwa razy. W drugiej przez 2 jest mnożony każdy argument x, zanim policzymy kwadrat.
y = 2x² to parabola, której każde piętro jest dwa razy wyższe — wierzchołek zostaje w (0, 0), a ramiona są dwa razy bardziej strome. y = (2x)² to parabola ściśnięta do osi OY — te same wysokości pojawiają się dwa razy bliżej środka.
Najważniejsza własność
Zapiszmy to na punktach. Jeśli punkt (x, y) leży na wykresie y = f(x), to:
y = k · f(x): punkt (x, y) przechodzi na (x, k·y).
y = f(k · x): punkt (x, y) przechodzi na (x/k, y).
W pierwszym przypadku zmienia się y. W drugim zmienia się x — i to odwrotnie, niż podpowiada intuicja.
Teraz popatrz na wartość k:
- k > 1 w pionie: wykres y = k·f(x) rozciąga się w górę i w dół k razy. W poziomie: y = f(kx) zwęża się do osi OY k razy.
- 0 < k < 1 w pionie: wykres y = k·f(x) ściska się do osi OX. W poziomie: y = f(kx) rozszerza się od osi OY.
- k < 0: pojawia się odbicie. y = k·f(x) odbija wykres względem osi OX, bo zmienia znak y. y = f(kx) odbija wykres względem osi OY, bo zmienia znak x. O tym, czy wykres jest dodatkowo rozciągnięty, czy ściśnięty, decyduje |k|.
Na przykład y = −2f(x) to odbicie względem osi OX i pionowe rozciągnięcie dwa razy. Z kolei y = f(−2x) to odbicie względem osi OY i poziome zwężenie dwa razy.
| Zapis | Co mnożymy? | Co dzieje się z wykresem? | Punkt (x, y) idzie na |
|---|---|---|---|
| y = k·f(x) | wynik f(x), czyli y | k > 1 — rozciąga pionowo; 0 < k < 1 — ściska pionowo; k < 0 — odbija od OX (i rozciąga/ściska według |k|) | (x, k·y) |
| y = f(k·x) | argument x | k > 1 — zwęża poziomo; 0 < k < 1 — rozszerza poziomo; k < 0 — odbija od OY (i rozciąga/ściska według |k|) | (x/k, y) |
Uwaga na odwrotność w poziomie. Jeśli k = 2, to punkt x = 4 przechodzi na x = 4/2 = 2 — bliżej osi OY. Jeśli k = 0,5, to x = 4 przechodzi na x = 4/0,5 = 8 — dalej od osi OY.
| x | f(x) = x² | 2·f(x) = 2x² | f(2x) = (2x)² = 4x² |
|---|---|---|---|
| −2 | 4 | 8 | 16 |
| −1 | 1 | 2 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 16 |
2x² i (2x)² to nie to samo. 2x² = 2 · x · x, a (2x)² = 4x². Podobnie 0,5x² i (0,5x)² to różne funkcje: druga równa się 0,25x².
Zobacz to na żywo. W demie suwak a stoi przed funkcją i mnoży wartość f(k(x − p)); dopiero potem dodawane jest q. Suwak k stoi przy x i mnoży argumenty. We wzorach oba mnożniki nazywamy k, bo taki jest temat; w demie po prostu nadano im różne nazwy. Patrz na miejsce mnożnika, nie na literę.
a = 2 rozciąga wykres w pionie, a = 0,5 ściska. k = 2 zwęża w poziomie, k = 0,5 rozszerza.
Strzałki na razie pomiń — w tym module patrzymy tylko na suwaki a i k. Na start wykres jest przesunięty o 1 w prawo i 2 w górę — to ustawienie demonstracji. Nie przeszkadza to w obserwacji. Zmieniaj tylko a: zobacz, że ramiona stają się bardziej lub mniej strome — mnożnik a działa na część f, a dodane 2 zostaje. Potem zmieniaj tylko k: wykres zwęża się lub rozszerza poziomo. Ustaw a = −1, żeby zobaczyć, jak ramiona odwracają się w dół.
W y = 2x² mnożnik 2 stoi przed całą funkcją, więc mnoży wynik. W y = (2x)² mnożnik 2 stoi przy x, więc najpierw zmienia argument. Nie przenoś mnożnika z jednego miejsca na drugie „na czuja”.
Przykłady
Narysuj wykres y = 2x², wychodząc od y = x². Opisz, co dzieje się z każdym punktem.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i przekształcony y = 2x² (ciągły). Każdy punkt jest dwa razy wyżej.
- Zacznij od y = x². Wierzchołek to (0, 0), a punkty kontrolne to (−2, 4), (−1, 1), (1, 1), (2, 4).
- Mnożnik 2 stoi przed funkcją, więc mnożymy każdą wartość y przez 2. Współrzędne x zostają bez zmian.
- Otrzymujemy punkty: (−2, 8), (−1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8).
- Połącz je gładką parabolą. Wierzchołek nadal jest w (0, 0), ale ramiona są dwa razy bardziej strome.
Odpowiedź: y = 2x². Wykres jest rozciągnięty pionowo dwa razy, a zbiór wartości to [0, ∞).
Narysuj wykres y = (2x)², wychodząc od y = x². Porównaj go z wykresem y = 2x².
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i y = (2x)² = 4x² (ciągły). Ta parabola jest węższa od y = 2x² — przy tym samym x osiąga dwa razy większe wartości.
- Zacznij od y = x² i tych samych punktów kontrolnych: (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).
- Mnożnik 2 stoi przy x. Każdy punkt (x, y) przechodzi na (x/2, y), czyli x dzielimy przez 2, a y zostaje bez zmian.
- Otrzymujemy punkty: (−1, 4), (−1/2, 1), (0, 0), (1/2, 1), (1, 4).
- Wykres jest ściśnięty poziomo dwa razy — te same wysokości pojawiają się bliżej osi OY.
- Po uproszczeniu (2x)² = 4x². Ten sam wykres można więc opisać jako pionowe rozciągnięcie y = x² cztery razy. To nie sprzeczność: jeden zbiór punktów można opisać na dwa sposoby. Ważne, że y = 2x² to inny wykres niż y = 4x².
Odpowiedź: y = (2x)² = 4x². Współrzędne x są dwa razy mniejsze, więc wykres jest ściśnięty poziomo; wierzchołek zostaje w (0, 0), a zbiór wartości to [0, ∞).
Porównaj y = 0,5|x| oraz y = |0,5x|. Zacznij od y = |x| i prześledź punkty (2, 2) oraz (4, 4).
y = 0,5|x| — mnożnik przed funkcją ściska wykres w pionie.
y = |0,5x| — mnożnik przy x rozszerza wykres w poziomie. Wykres jest taki sam jak y = 0,5|x|, bo 0,5|x| = |0,5x| dla każdego x.
- Wykres y = |x| ma wierzchołek (0, 0) i ramiona przechodzące przez (2, 2) oraz (4, 4).
- W y = 0,5|x| mnożnik stoi przed funkcją. Mnożymy y przez 0,5: (2, 2) przechodzi na (2, 1), a (4, 4) na (4, 2). To pionowe ściśnięcie.
- W y = |0,5x| mnożnik stoi przy x. Dzielimy x przez 0,5, czyli mnożymy przez 2: (2, 2) przechodzi na (4, 2), a (4, 4) na (8, 4). To poziome rozszerzenie.
- Zauważ, że |0,5x| = 0,5|x|. Dlatego oba wykresy wyglądają tak samo, choć opisujemy je różnymi przekształceniami.
- Sprawdź na liczbie: dla x = −4 mamy 0,5|−4| = 2 oraz |0,5 · (−4)| = |−2| = 2.
Odpowiedź: Oba wzory dają ten sam wykres y = 0,5|x|. Mnożnik przed funkcją ściska wykres w pionie, a mnożnik przy x rozszerza go w poziomie — dla funkcji |x| te dwa efekty wyglądają identycznie. Nie znaczy to, że zawsze tak jest: dla y = x² mnożnik 0,5 przed funkcją i przy x dają różne wzory: 0,5x² oraz 0,25x².
- Mylenie 2x² z (2x)². Pierwsze mnoży y, drugie mnoży x, zanim pojawi się kwadrat.
- Uznanie, że f(2x) to zawsze rozciągnięcie. W poziomie mnożnik większy od 1 zwęża wykres.
- Zapominanie, że k < 0 daje odbicie: przed funkcją od OX, przy x od OY.
- Przenoszenie mnożnika z wnętrza na zewnątrz bez sprawdzenia wzoru. 2f(x) i f(2x) to na ogół różne funkcje.
Spróbuj samodzielnie
Funkcja f(x) = x². Podaj wzór wykresu po pionowym rozciągnięciu trzy razy. Podaj trzy punkty kontrolne tego wykresu.
Pokaż rozwiązanie
Pionowe rozciągnięcie trzy razy to mnożnik przed funkcją: y = 3·f(x) = 3x². Bierzemy punkty z y = x² i mnożymy tylko y: (0, 0) → (0, 0), (1, 1) → (1, 3), (2, 4) → (2, 8). Współrzędne x się nie zmieniają. Wzór: y = 3x².Opisz, jak z wykresu y = |x| otrzymać y = −2|x|. Podaj trzy punkty kontrolne i zbiór wartości.
Pokaż rozwiązanie
Mnożnik −2 stoi przed funkcją. Najpierw wartość funkcji |x| jest mnożona przez 2 (rozciągnięcie pionowe), a znak minus odbija wykres względem osi OX. Punkty: (0, 0) zostaje, (1, 1) → (1, −2), (2, 2) → (2, −4). Ramiona są skierowane w dół, wierzchołek jest w (0, 0), a zbiór wartości to (−∞, 0].Uczeń mówi: „y = (3x)² to rozciągnięcie wykresu y = x² w poziomie trzy razy”. Wskaż błąd i podaj poprawny opis.
Pokaż rozwiązanie
Mnożnik przy x działa odwrotnie: y = f(3x) zwęża wykres poziomo trzy razy, bo punkt (x, y) przechodzi na (x/3, y). Na przykład punkt (3, 9) wykresu y = x² przechodzi na (1, 9). Po uproszczeniu (3x)² = 9x², więc ten sam wykres można też opisać jako pionowe rozciągnięcie dziewięć razy. Poprawnie: to poziome zwężenie trzy razy (lub pionowe rozciągnięcie dziewięć razy), a nie poziome rozciągnięcie.Dana jest funkcja f(x) = x² − 4. Porównaj wykresy y = 2f(x) i y = f(2x). Podaj oba wzory, wierzchołki i wyjaśnij różnicę.
Pokaż rozwiązanie
Pierwszy wzór: y = 2(x² − 4) = 2x² − 8. Mnożymy całą wartość funkcji przez 2, więc wierzchołek (0, −4) przechodzi na (0, −8). Drugi wzór: y = f(2x) = (2x)² − 4 = 4x² − 4. Tutaj mnożymy argument przez 2, więc wierzchołek zostaje w (0, −4), a miejsca zerowe x = ±2 przechodzą na x = ±1. To dwa różne wykresy: pierwszy jest przesunięty niżej, drugi jest węższy. Wspólny jest tylko wierzchołek x = 0, bo 2·0 = 0.